2018届高考数学（理）二轮专题复习限时规范训练：第一部分 专题四 数列 1-4-2 Word版含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 限时规范训练十一　数列求和及综合应用　 一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．数列{an}中，a1＝1，对所有n∈N*都有a1·a2·…·an＝n2，则a3＋a5＝(　　)‎ A.　　 B. C. D. 解析：选A.当n≥1时，a1·a2·a3·…·an＝n2；当n≥2时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.两式相除，得an＝2.∴a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝，故选A.‎ ‎2．已知Sn表示数列{an}的前n项和，若对任意n∈N*满足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，则S2 019＝(　　)‎ A．1 008×2 020 B．1 008×2 019‎ C．1 009×2 019 D．1 009×2 020‎ 解析：选C.在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，得a2＝a1＋a2，a1＝0；令n＝2，得a3＝2＝2a2，a2＝1，于是an＋1－an＝1，故数列{an}是首项为0，公差为1的等差数列，S2 019＝＝1 009×2 019.‎ ‎3．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a‎1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2等于(　　)‎ A．2 B. C．3 D. 解析：选C.∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，‎ ‎∴＝＋＋，‎ ‎∵a‎1a2a3＝15.‎ ‎∴＝＋＋＝，即a2＝3.‎ ‎4．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(　　)‎ A．120 B．99‎ C．11 D．121‎ 解析：选A.an＝ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝ ‎＝－，‎ 所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝－1＝10.‎ 即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.‎ ‎5.＋＋＋…＋的值为(　　)‎ A. B.－ C.－ D.－＋ 解析：选C.∵＝＝＝.‎ ‎∴＋＋＋…＋＝ ‎＝＝－.‎ ‎6．定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.设数列{an}的前n项和为Sn，由＝得Sn＝n(2n＋1)，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，‎ ‎∴bn＝＝n，则＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故选C.‎ 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 019＝________.‎ 解析：∵an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π＝(－1)n＋1，∴当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 k∈N*，∴S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝1＋(－1)×1 009＝－ 1008.‎ 答案：－1 008‎ ‎8．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.‎ 解析：当n＝1时，由已知Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，所以an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.‎ 答案：(－2)n－1‎ ‎9．在等比数列{an}中，0＜a1＜a4＝1，则能使不等式＋＋…＋≤0成立的最大正整数n是________．‎ 解析：设等比数列的公比为q，由已知得a1q3＝1，且q＞1，＋＋…＋＝(a1＋a2＋…＋an)－＝－≤0，化简得q－3≤q4－n，‎ 则－3≤4－n，n≤7.‎ 答案：7‎ 三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎10．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 由已知得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝2n＋n.‎ 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10‎ ‎＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)‎ ‎＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)‎ ‎＝＋ ‎＝(211－2)＋55‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝211＋53＝2 101.‎ ‎11．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*)．‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)若bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)∵4Sn＝(an－1)(an＋3)＝a＋2an－3，‎ ‎∴当n≥2时，4Sn－1＝a＋2an－1－3，‎ 两式相减得，‎ ‎4an＝a－a＋2an－2an－1，‎ 化简得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，‎ ‎∵{an}是正项数列，∴an＋an－1≠0，‎ ‎∴an－an－1－2＝0，对任意n≥2，n∈N*都有an－an－1＝2，‎ 又由4S1＝a＋2a1－3得，a－2a1－3＝0，‎ 解得a1＝3或a1＝－1(舍去)，‎ ‎∴{an}是首项为3，公差为2的等差数列，‎ ‎∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.‎ ‎(2)由已知及(1)知，‎ bn＝(2n＋1)·2n，‎ Tn＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①‎ ‎2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②‎ ‎②－①得，‎ Tn＝－3×21－2(22＋23＋24＋…＋2n)＋(2n＋1)·2n＋1‎ ‎＝－6－2×＋(2n＋1)·2n＋1‎ ‎＝2＋(2n－1)·2n＋1.‎ ‎12．若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan.‎ 求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋＜.‎ 解：(1)∵Sn＝－an，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，‎ ‎∴an＝an－1.又∵S1＝－a1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴a1＝，‎ ‎∴an＝n－1＝2n＋1.‎ ‎(2)证明：由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，得当n≥2时，‎ cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)．‎ ‎∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ‎＝× ‎＝＝－＜.‎ 又∵＋＋＋…＋≥＝，‎ ‎∴原式得证．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费