2018届高考数学（理）二轮专题复习限时规范训练：第一部分 专题五 立体几何 1-5-2 Word版含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 限时规范训练十三　空间中的平行与垂直　 一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α、β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A.‎ ‎2．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD A1B‎1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 解析：选C.根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A项，若A1E⊥DC1，那么D1E⊥DC1，很显然不成立；B项， 若A1E⊥BD，那么BD⊥AE，显然不成立；C项，若A1E⊥BC1，那么BC1⊥B1C，成立，反过来BC1⊥B1C时，也能推出BC1⊥A1E，所以C成立，D项，若A1E⊥AC，则AE⊥AC，显然不成立，故选C.‎ ‎3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β(　　)‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 解析：选A.选项A中，由平面与平面垂直的判定定理可知A正确；选项B中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l∥β时，α，β可以相交；选项D中，α∥β时，l，m也可以异面．‎ ‎4．已知α，β为两个平面，l为直线，若α⊥β，α∩β＝l，则(　　)‎ A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直 解析：选D.由α⊥β，α∩β＝l，知：‎ 垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A不正确；‎ 垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面与l的关系有l⊂β，l∥β，l与β相交，故C不正确；‎ 由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．‎ ‎5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是(　　)‎ A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α D．a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若α⊥β，则c⊂β 解析：选C.利用排除法求解．A的逆命题为：c⊥α，若α∥β，则c⊥β，成立；B的逆命题为：b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，成立；C的逆命题为：b⊂β，若β⊥α，则b⊥α，不成立；D的逆命题为：a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若c⊂β，则α⊥β，成立，故选C.‎ ‎6．(2017·江西六校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；‎ ‎②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；‎ ‎③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；‎ ‎④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.‎ 其中所有正确命题的序号是(　　)‎ A．①④　 B．②④‎ C．① D．④‎ 解析：选A.借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(1)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(3)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．综上，选A.‎ 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．‎ 解析：取PD的中点F，连接EF，AF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在△PCD中，EFCD.‎ 又因为AB∥CD且CD＝2AB，‎ 所以EFAB，所以四边形ABEF是平行四边形，‎ 所以EB∥AF.‎ 又因为EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，‎ 所以BE∥平面PAD.‎ 答案：平行 ‎8．(2017·山师大附中模拟)若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；‎ ‎②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；‎ ‎③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；‎ ‎④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．‎ 解析：对于①，若直线m⊥α如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；‎ 对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，在平面β内存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线均与直线m垂直，故②正确；‎ 对于③，④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．‎ 答案：②④‎ ‎9．(2017·沈阳三模)如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，下列结论中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)‎ ‎①PD⊥CD；‎ ‎②BD⊥平面PAO；‎ ‎③PB⊥CB；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎④BC∥平面PAD.‎ 解析：对于①，因为CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，则①正确；‎ 对于②，BD⊥PA，当BD⊥AO时，BD⊥平面PAO，但BD与AO不一定垂直，故②不正确；‎ 对于③，因为CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，所以CB⊥平面PAB，所以CB⊥PB，则③正确；‎ 对于④，因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，则④正确．故填①③④.‎ 答案：①③④‎ 三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎10．(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.‎ ‎(1)证明：直线BC∥平面PAD；‎ ‎(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积．‎ 解：‎ ‎(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.‎ ‎(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.‎ 设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝AD＝x，PC＝PD＝＝2x.‎ 如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，‎ 所以PN＝＝＝x.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，‎ 解得x＝－2(舍去)或x＝2.‎ 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.‎ 所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.‎ ‎11．(2017·山东潍坊模拟)如图，在四棱台ABCDA1B‎1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.‎ ‎(1)证明：AA1⊥BD；‎ ‎(2)证明：CC1∥平面A1BD.‎ 证明：(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，‎ 所以D1D⊥BD.‎ 又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，‎ 在△ABD中，由余弦定理得 BD＝ ‎＝＝AD，‎ 所以AD2＋BD2＝AB2，即AD⊥BD.‎ 又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.‎ 又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.‎ ‎(2)连接AC，A‎1C1.‎ 设AC∩BD＝E，连接EA1，‎ 因为四边形ABCD为平行四边形，‎ 所以EC＝AC.‎ 由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，‎ 所以四边形A1ECC1为平行四边形，‎ 因此CC1∥EA1.‎ 又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以CC1∥平面A1BD.‎ ‎12．(2017·吉林调研)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值．‎ 解：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.‎ 即在题图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，‎ 从而BE⊥平面A1OC，‎ 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.‎ ‎(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，‎ 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，‎ 又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，‎ 即A1O是四棱锥A1BCDE的高．‎ 由题图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.‎ 从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费