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第九章整式的乘法与因式分解单元测试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3=a6 B. （a2）3=a5
C. 2a2+3a2=5a6 D. （a+2b）（a-2b）=a2-4b2
2. 若 x+m 与 2-x 的乘积中不含 x 的一次项，则实数 m 的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. 0 D. 1
3. 下列式子可以用平方差公式计算的是（ ）
A. （-x+1）（x-1） B. （a-b）（-a+b）
C. （-x-1）（x+1） D. （-2a-b）（-2a+b）
4. 分解因式 a2b-b3 结果正确的是（ ）
A. b（a+b）（a-b） B. b（a-b）2
C. b（a2-b2） D. b（a2+b2）
5. 已知 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a2c2-b2c2=a4-b4，则△ABC 是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
6. 下面是一名学生所做的 4 道练习题：①（-3）0=1；②a3+a3=a6；③4m-4= ；④（xy2）3=x3y6，他做对的
个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 将边长分别为 a+b 和 a-b 的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是
（ ）
A. a-b
B. a+b
C. 2ab
D. 4ab
8. 若 x- =1，则 x2+ 的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
9. 若有理数 x，y 满足|2x-1|+y2-4y=-4，则 x•y 的值等于（ ）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：
如对于多项式 x4-y4，因式分解的结果是（x-y）（x+y）（x2+y2），若取 x=9，y=9 时，则各个因式的值
是：（x-y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于
多项式 x3-xy2，取 x=20，y=10，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A. 201010 B. 203010 C. 301020 D. 201030
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
11. 用科学记数法表示：0.00034= ______ ，-0.0000073= ______ ．
12. 分解因式-a2+4b2=______．第 2页，共 9页
13. 已知 a+b=10，a-b=8，则 a2-b2=______．
14. 已知 x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2 的值为______ ．
15. 若 x2+2（m-3）x+16 是一个完全平方式，那么 m 应为______．
16. 观察：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，据此规律，当（x-1）
（x5+x4+x3+x2+x+1）=0 时，代数式 x2015-1 的值为______ ．
三、计算题（本大题共 4 小题，共 24.0 分）
17. 利用乘法公式计算：
（1）1972； （2）20092-2008×2010．
18. 因式分解
（1）a2（x+y）-b2（x+y）； （2）x4-8x2+16．
19. 先化简，再求值：（x+5）（x-1）+（x-2）2，其中 x=-2．
20. 已知 x2+y2-4x+6y+13=0，求 x2-6xy+9y2 的值．第 3页，共 9页
四、解答题（本大题共 4 小题，共 32.0 分）
21. 已知（x2+mx+1）（x2-2x+n）的展开式中不含 x2 和 x3 项．
（1）分别求 m、n 的值；
（2）化简求值：（m+2n+1）（m+2n-1）+（2m2n-4mn2+m3）÷（-m）
22. 下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4 进行因式分解的过程．
解：设 x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______ ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1 进行因式分解．第 4页，共 9页
23. 观察下列各式
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
…
①根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ______ ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）= ______ ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235 的结果．
24. 如图 1 是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图 2 的形状拼
成一个正方形.
（1）图 2 的阴影部分的正方形的边长是 ______ ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法 1】S 阴影= ______ ；
【方法 2】S 阴影= ______ ；
（3）观察如图 2，写出（a+b）2，（a-b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若 x+y=10，xy=16，求 x-y 的值．
图 1
图 2第 5页，共 9页
答案和解析
【答案】
1. D 2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 7. D
8. A 9. B 10. A
11. 3.4×10-4；-7.3×10-5
12. （2b+a）（2b-a）
13. 80
14. 160
15. -1 或 7
16. 0 或-2
17. 解：（1）原式=（200-3）2=40000-1200+9=38809；
（2）原式=20092-（2009-1）×（2019+1）=20092-（20092-1）=1．
18. 解：（1）原式=（a2-b2）（x+y）=（a+b）（a-b）（x+y）；
（2）原式=（x2-4）2=[（x+2）（x-2）]2=（x+2）2（x-2）2．
19. 解：原式=x2-x+5x-5+x2-4x+4=2x2-1，
当 x=-2 时，
原式=8-1=7．
20. 解：∵x2+y2-4x+6y+13=（x-2）2+（y+3）2=0，
∴x-2=0，y+3=0，即 x=2，y=-3，
则原式=（x-3y）2=112=121．
21. 解：（1）（x2+mx+1）（x2-2x+n）
=x4-2x3+nx2+mx3-2mx2+mnx+x2-2x+n
=x4+（-2+m）x3+（n-2m+1）x2+（mn-2）x+n，
∵（x2+mx+1）（x2-2x+n）的展开式中不含 x2 和 x3 项，
∴ ，得 ，
即 m 的值为 2，n 的值为 3；
（2）（m+2n+1）（m+2n-1）+（2m2n-4mn2+m3）÷（-m）
=[（m+2n）+1][（m+2n）-1]-2mn+4n2-m2
=（m+2n）2-1-2mn+4n2-m2
=m2+4mn+4n2-1-2mn+4n2-m2
=2mn+8n2-1，
当 m=2，n=3 时，
原式=2×2×3+8×32-1=83．第 6页，共 9页
22. C；不彻底；（x-2）4
23. x7-1；xn+1-1
24. a-b；（a-b）2；（a+b）2-4ab
【解析】
1. 解：A、底数不变指数相加，故 A 错误；
B、底数不变指数相乘，故 B 错误；
C、系数相加字母部分不变，故 C 错误；
D、两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故 D 正确；
故选：D．
根据同底数幂的乘法，可判断 A，根据幂的乘方，可判断 B，根据合并同类项，可判断 C，根据平方差公式，
可判断 D．
本题考查了平方差，利用了平方差公式，同底数幂的乘法，幂的乘方．
2. 解：根据题意得：
（x+m）（2-x）=2x-x2+2m-mx，
∵x+m 与 2-x 的乘积中不含 x 的一次项，
∴m=2；
故选 B．
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 解：A、（-x+1）（x-1）两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；
B、（a-b）（-a+b）两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；
C、（-x-1）（x+1）两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；
D、（-2a-b）（-2a+b）相同项是-2a，相反项是-b 和 b，能用平方差公式计算．
故选 D．
根据利用平方差公式计算必须满足两项的和与两项的差的积，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
4. 解：原式=b（a2-b2）=b（a+b）（a-b），
故选 A
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5. 解：移项得，a2c2-b2c2-a4+b4=0，
c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，
（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，
所以，a2-b2=0 或 c2-a2-b2=0，
即 a=b 或 a2+b2=c2，
因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形．
故选 C．
移项并分解因式，然后解方程求出 a、b、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解．
本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到 a、b、c 的关系式是解题的关键．
6. 解：①根据零指数幂的性质，得（-3）0=1，故正确；
②根据同底数的幂运算法则，得 a3+a3=2a3，故错误；第 7页，共 9页
③根据负指数幂的运算法则，得 4m-4= ，故错误；
④根据幂的乘方法则，得（xy2）3=x3y6，故正确．
故选 C．
分别根据零指数幂，合并同类项的法则，负指数幂的运算法则，幂的乘方法则进行分析计算．
本题主要考查了零指数幂，负指数幂的运算，合并同类项法则和幂的乘方法则．负整数指数为正整数指数
的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 1．合并同类项的时候，只需把它们的系数相加减．
7. 解：阴影部分的面积为（a+b）2-（a-b）2
=a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2）
=4ab，
故选 D．
根据图形得出阴影部分的面积为（a+b）2-（a-b）2，再求出即可．
本题考查了整式的混合运算的应用，能正确根据题意列出算式是解此题的关键在，注意运算顺序．
8. 解：当 x- =1 时，
x2+ =
=
=12+2
=3．
故答案为：A．
将代数式依据完全平方公式配方成 ，然后整体代入可得．
本题主要考查完全平方公式应用和整体代入求代数式值得能力，将原代数式配方是关键，属中档题．
9. 解：∵|2x-1|+y2-4y=-4，
∴|2x-1|+y2-4y+4=0，即|2x-1|+（y-2）2=0，
∴ ，解得 x= ，y=2，
∴xy= =1，
故选 B．
先移项，再由非负数的性质，列方程求得 x、y 的值，代入即可．
本题主要考查非负数的性质和完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）
2=a2±2ab+b2．
10. 解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
当 x=20，y=10 时，x=20，x+y=30，x-y=10，
组成密码的数字应包括 20，30，10，
所以组成的密码不可能是 201010．
故选 A．
对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
本题主要考查提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．
11. 解：0.00034=3.4×10-4；-0.0000073=-7.3×10-5．
故答案为：3.4×10-4；-7.3×10-5第 8页，共 9页
利用科学记数法的规则变形即可得到结果．
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 解：-a2+4b2=4b2-a2=（2b+a）（2b-a）．
故答案为：（2b+a）（2b-a）．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
13. 解：∵（a+b）（a-b）=a2-b2，
∴a2-b2=10×8=80，
故答案为：80
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14. 解：∵x+y=10，xy=16，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．
故答案为：160．
首先提取公因式 xy，进而将已知代入求出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15. 解：由于（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（m-3）x+16，
∴2（m-3）=±8，
解得 m=-1 或 m=7．
故答案为：-1；7．
本题考查的是完全平方式，这里首末两项是 x 和 4 的平方，那么中间项为加上或减去 x 和 4 的乘积的 2 倍，
故 2（m-3）=±8，解得 m 的值即可．
本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的 2 倍，在已知首
尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值．
16. 解：∵（x-1）（x5+x4+x3+x2+x+1）=0，且（x-1）（x5+x4+x3+x2+x+1）=x6-1
∴x6-1=0，
解得：x=1 或 x=-1，
则原式=0 或-2，
故答案为：0 或-2
由已知等式为 0 确定出 x 的值，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. （1）原式变形后，利用完全平方公式展开即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
18. （1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19. 原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结
果，将 x 的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出 x 与 y 的值，代入原式计算即可得到结
果．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．第 9页，共 9页
21. （1）先将题目中的式子化简，然后根据（x2+mx+1）（x2-2x+n）的展开式中不含 x2 和 x3 项，可以求得
m、n 的值；
（2）先化简题目中的式子，然后将 m、n 的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查整式的混合运算--化简求值，解题的关键是明确整式化简求值的方法．
22. 解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择 C，
故答案为：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2）4；
故答案为：不彻底；（x-2）4；
（3）原式=（x2-2x）2+2（x2-2x）+1=（x2-2x+1）2=（x-1）4．
（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；
（2）该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；
（3）仿照题中方法将原式分解即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23. 解：①根据题意得：（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7-1；
②根据题意得：（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1-1；
③原式=（2-1）（1+2+22+…+234+235）=236-1．
故答案为：①x7-1；②xn+1-1；③236-1
①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；
②原式利用得出的规律化简即可得到结果；
③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．
此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
24. 解：（1）a-b；
（2）方法 1：S 阴影=（a-b）2，
方法 2：S 阴影=（a+b）2-4ab；
（3）（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（4）∵x+y=10，xy=16，
∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=102-4×14=36，
∴x-y=±6．
（1）观察图意直接得出正方形的边长是 a-b；
（2）利用大正方形的面积减去 4 个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积；
（3）把（2）中的两个代数式联立即可；
（4）类比（3）求出（x-y）2，再开方即可．
此题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型．
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