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2018 年玄武区中考模拟卷（一）
数 学
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
1. 2 的相反数是（ ）
A． 2 B．2 C． 1
2 D． 1
2
2. 下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab B． 32 6a a C．(a+b)2 =a2+b2 D． 2 2 2 22 3 6a b a b
3. 下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，AB∥CD，直线 EF 与 AB、CD 分别交于点 E、F、FG 平分∠EFD，交 AB 于点 G，
若∠1=72°，则∠2 的度数为（ ）
A．36° B．30° C．34° D．33°
5. 已知二次函数 2 5y x x m 的图像与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），
则另一个交点的坐标为（ ）
A．（ 1 ，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（ 6 ，0）
6. 如图，点 A 的反比例函数 4 0y xx 的图像上，点 B 在反比例函数 0ky xx 的图像
上，AB∥x 轴，BC⊥x 轴，垂足为 C，连接 AC，若△ABC 的面积是 6，则 k 的值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
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二、填空题（本大题共 10 题，每小题 2 分，共 20 分）
7. 一组数据 1，6，3，4，5 的极差是 ．
8. 若式子 1
2x
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
9. 国家统计局的相关数据显示，2017 年我国国民生产总值约为 830 000 亿元，用科学记数
法表示 830 000 是 ．
10. 分解因式 3 4x x 的结果是 ．
11. 若关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0x x a 有实数根，则 a 的取值范围为 ．
12. 如图，在□ABCD 中，DB=DC，AE⊥BD，垂足为 E，若∠EAB=46°，则∠C= °．
13. 某圆锥的底面圆的半径为 3cm，它的侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是
cm2．（结果保留 π）
14. 如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OD⊥弦 AB，垂足为 C，连接 CE．若 OC=3，△ACE
的面积为 12，则 CD= ．
15. 某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高 20%作为销售价，共获利 1200 元，
第二个月商场搞促销活动，将此商品的进价提高 15%作为销售价，第二个月的销售量比
第一个月增加了 80 件，并且商场第二个月比第一个月多获利 300 元．设此商品的进价是
x 元，则可列方程 ．
16. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=6，AD=2，∠A=60°，点 E 在边 AC 上，将△ADE
沿 DE 翻折，使点 A 落在点 A'处，当 A'E⊥AC 时，A'B2= ．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）
17. （9 分）⑴计算
1
0 18 2sin 45 2 3
； ⑵解方程 2 2 1 0x x ．
18. （7 分）先化简，再求值：
21 2 112 2
x x
x x
，其中 3 1x ．
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19. （8 分）如图，在□ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E、F 在 BD 上，且 BE=DF．连
接 AE、CF．
⑴求证△AOE≌△COF；
⑵若 AC⊥EF，连接 AF、CE，判断四边形 AECF 的形状，并说明理由．
20. （8 分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行
分析，绘制成如下的统计表：
请根据所给信息，解答下列问题：
⑴a= ，b= ；
⑵请补全频数分布直方图；
⑶已知该年级有 400 名学生参加这次比赛，若成绩在 90 分以上（含 90 分）的为优，估
计该年级成绩为优的有多少人？
21. （7 分）甲、乙两名同学参加 1000 米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分 A、B、C
三组进行比赛．
⑴甲同学恰好在 A 组的概率是 ；
⑵求甲、乙两人至少有一人在 B 组的概率．
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22. （6 分）如图，将△ABC 沿 BC 方向平移到△DEF，DE 交 AC 于点 G．若 BC=2，△GEC
的面积是△ABC 的面积的一半，求△ABC 平移的距离．
23. （8 分）一辆货车从甲地出发以 50km/h 的速度匀速驶往乙地，行驶 1h 后，一辆轿车从乙
地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶 0.8h 后两车相遇．图中折线 ABC 表示两车之
间的距离 y（km）与货车行驶时间 x（h）的函数关系．
⑴甲乙两地之间的距离是 km，轿车的速度是 km/h；
⑵求线段 BC 所表示的函数表达式；
⑶在图中画出货车与轿车相遇后的 y（km）与 x（h）的函数图像．
24. （8 分）如图，甲楼 AB 高 20m，乙楼 CD 高 10m，两栋楼之间的水平距离 BD=20m，为
了测量某电视塔 EF 的高度，小明在甲楼楼顶 A 处观测电视塔塔顶 E，测得仰角为 37°，
小丽在乙楼楼顶 C 处观测电视塔塔顶 E，测得仰角为 45°，求电视塔的高度 EF．（参考数
据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， 2 ≈1.4，结果保留整数）
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25. （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠C=90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AD 于点 E，
CD=ED，连接 BD 交⊙O 于点 F．
⑴求证：BC 与⊙O 相切；
⑵若 BD=10，AB=13，求 AE 的长．
26. （9 分）甲、乙两公司同时销售一款进价为 40 元/千克的产品，图①中折线 ABC 表示甲公
司销售价 y1（元/千克）与销售量 x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司
销售这款产品获得的利润 y2（元）与销售量 x（千克）之间的函数关系．
⑴分别求出图①中线段 AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；
⑵当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？
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27. （10 分）
【操作体验】
如图①，已知线段 AB 和直线 l，用直尺和圆规在 l 上作出所有的点 P，使得∠APB=30°．
如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点 A、B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧在 AB 上方交于点 O；
第二步：连接 OA、OB；
第三步：以 O 为圆心，OA 长为半径作⊙O，交 l 于 P1，P2．
所以图中 P1，P2 即为所求的点．
⑴在图②中，连接 P1A，P1B，说明∠AP1B =30°；
【方法迁移】
⑵如图③，用直尺和圆规在矩形 ABCD 内作出所有的点 P，使得∠BPC=45°．（不写作法，
保留作图痕迹）
【深入探究】
⑶已知矩形 ABCD，BC=2，AB=m，P 为 AD 边上的点，若满足∠BPC=45°的点 P 恰有两
个，则 m 的取值范围为 ．
⑷已知矩形 ABCD，AB=3，BC=2，P 为矩形 ABCD 内一点，且∠BPC=135°，若点 P 绕点
A 逆时针旋转 90°到点 Q，则 PQ 的最小值为 ．
【答案】2018 年玄武区一模
数 学
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D C A B D
二、填空题
题号 7 8 9 10 11
答案 5 2x 58.3 10 2 2x x x 2a
题号 12 13 14 15 16
答案 68 18 2 1200 150080020% 15%x x 20 8 3
第 16 题解析：如图，过 D 作 DF⊥AC，过 'A 作 'A G BC ，连接 'A B
在 Rt△ABC 中，易知 AC=3，BC=3 3
在 Rt△ADF 中，易知 AF=1， 3DF
由于 'A E AC ，则∠DEF=45°
在 Rt△DEF 中，易知 3EF ，则 ' 1 3AE A E
∴ ' 2 3A G CE ， 2 3 1BG
∴ 2 22' 2 3 2 3 1 20 8 3A B
三、解答题
17、解：⑴原式 22 2 2 1 32
2 2
⑵ 1 1 2x ， 2 1 2x
18、解：原式 211 2
2 2
xx
x x
2
1 2
2 1
x x
x x
1
1x
当 3 1x 时，原式= 3
3
G
F
A'
E
D
C
B
A19、⑴∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∵BE=DF
∴ BO BE DO DF
即 OE=OF
在△AOE 和△COF 中
AO CO
AOE COF
OE OF
∠ ∠
∴△AOE≌△COF（SAS）
⑵四边形 AECF 是菱形．理由如下：
由⑴知：OA=OC，OE=OF
∴四边形 AECF 是平行四边形
∵AC⊥EF
∴四边形 AECF 是菱形
20、⑴18 ，0.18
⑵频数分布直方图如图所示：
⑶解：该年级在 90 分以上（含 90 分）为优的人数： 15400 12050 人
答：该年级为优的有 120 人
21、⑴ 1
3
⑵解：
树状图如上图所示，共 9 种等可能的情况，其中甲、乙两人至少有一人在 B 组共 5
种，记甲、乙两人至少有一人在 B 组为事件 A，则 5
9P A
CC C BB BA AA
CBA
开始
乙
甲22、由平移可知 DE∥AB
∴△GEC∽△ABC
∴
2
1 2
2 2
GEC
ABC
S
S
△
△
∴ 2
2
EC
BC
∵BC=2
∴EC= 2
∴BE= 2 2
23、⑴ 150；75
⑵由题意可得，甲乙两地相距 150km，货车一小时行驶 50km
∴ B （1，100）
设 0y kx b k
将 B （1，100），C（1.8，0）代入得 100
0 1.8
k b
k b
∴ 125
225
k
b
∴线段 BC 解析式为： 125 225 1 1.8y x x
⑶图像如图所示
24、⑴过 A、C 作 AM EF⊥ 于 M ， CN EF⊥ 于 N
设 mEN x ，由图可得 tan tan 45ECN ° 1EN
CN
∴ = mCN x
∵ 20 mBD
∴ 20 mAM x ， 10 mEM x 则 tan tan 37EAM ° = 0.75EM
AM ，即 10 0.7520
x
x
解得 =100x
∴ 100 10 110mEF
答：电视塔的高度约为 110m．
25、⑴连 BE，得 BE⊥AE
在 Rt△BED 和 Rt△BCD 中
=
BD BD
DE CD
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）
∴∠ADB=∠CDB
∵AD=AB
∴∠ADB=∠ABD
∴∠ABD=∠CDB
∴CD∥AB
∴BC⊥AB
∴BC 与⊙O 相切
⑵连 AF，得 AF⊥BD
∴DF=BF=5
∵AD=AB=13
∴AF= 2 213 5 =12
∵ 1 1= = 10 12=602 2ABDS BD AF △
∴ 1 1= = 13 602 2ABDS AD BE BE △
∴BE=120
13
∴AE=
2
2 120 11913 =13 13
（也可利用△ABF∽△BDC 求得 DC=DE）
26、⑴设线段 AB 的表达式为 y=kx+b
∵点 A（0，120）和点 B（80，72）在线段 y=kx+b 上
∴ 120 0
72 80
k b
k b
解得：
3
5
120
k
b
∴线段 AB 的表达式为 1
3 120 0 805y x x
∵由图像可知抛物线顶点坐标为（75，2250）
∴设抛物线表达式为 275 2250y a x ∵点 O（0，0）在抛物线上
∴ 20 0 75 2250a ；解得： 2
5a
∴抛物线表达式为 2
2
2 75 2250 0 845y x x
即 2
2
2 60 0 845y x x x
综上：线段 AB 的表达式为： 1
3 120 0 805y x x
抛物线的表达式为： 2
2
2 60 0 845y x x x
⑵由⑴得：折线 ABC 的表达式为：
1
3 120 0 805
72 80 84
x xy
x
则当 0 80x 时，甲公司的利润为： 23 3120 40 805 5x x x x
当80 84x 时，甲公司的利润为： 72 40 32x x
∴甲公司的利润 w 与销售量 x 的关系为
23 80 0 805
32 80 80
x x xw
x x
当 0 80x 时， 22 2
2
3 2 180 60 50 5005 5 5w y x x x x x
∴当 x=50 时， 2 max 500w y
当80 84x 时， 22 2
2
2 2 232 60 28 35 4905 5 5w y x x x x x x
，递增
当 x=84 时， 2 max 470.4w y
综上所述，当该产品的销售量为 50 时，甲乙两公司获得的利润差最大，最大 500 元
27、⑴∵OA=OB=AB
∴△ABC 是等边三角形
∴∠AOB=60°，由圆周角定理，∠ 1APB = 1
2
∠AOB=30°
⑵如图，弧 EF 上所有的点（不包括 E、F 两点）即为所求
FE
D
B C
A⑶ 2 1 2m ，提示：如图，只要 BE BA BG 即可
⑷ 34 2
提示：如图， 2 22 2 2 2 1 4 2 34 2PQ AP AE AO OE
B
FE
O
H
B C
G
A
H
E
O
D
CB
A
P
Q
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