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2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数，则（ ）
A．的虚部为 B．的实部为1 C． D．的共轭复数为
3.在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．虚轴长为4
C．渐近线方程为 D．离心率为
5.已知函数是定义在上的奇函数，且时，则（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A．120 B．60 C．24 D．20
7.已知圆的半径为1，，，，为该圆上四个点，且，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
8.三棱锥中，平面，，若，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9.秦九昭算法是南宋时期数学家，秦九昭提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法框图如图所示，若输入的，，，…，分别为0，1,2，…，，若，根据算法计算当时多项式的值，则输出的结果是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．15
10.已知实数，满足给，中间插入5个数，这7个数构成以为首项，为末项的等差数列，则这7个数和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的图象向右平移2个单位后，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
12.已知函数函数恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在中，已知，则 ．
14.4名党员干部分配到3个贫困户家去精准扶贫，每户至少去一名，共有 种不同的分配方式（用数字作答）．
15.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，
两点，若以为直径的圆过点，则该抛物线的方程为 ．
16.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张．
甲说：我摸到卡片的标号是10和12；
乙说：我摸到卡片的标号是6和11；
丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．
据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，角，，的对边分别为，，，，三边，，成等比数列，且面积为，在等比数列中，，公差为．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求．
18.如图，已知四边形是直角梯形，，，且，是等边三角形，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图．
高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间内）：
学习时间
频数
3
1
8
4
2
2
高二学生学习时间的频率分布直方图：
（1）根据高二学生学习时间的频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数；
（2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在，的两组里随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在这一组中至少有1人被抽中的概率；
（3）若周日学习时间不少于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成列联表，并判断是否有的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少
合计
高一
高二
合计
，其中．
0.025
0.010
0.005
5.024
6.635
7.879
20.已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作斜率不为0的直线与（1）中的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，求．
21.已知函数，．
（1）若对恒成立，求的取值范围；
（2）证明：不等式对于正整数恒成立（其中为自然对数的底数）．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）直线：与曲线交于，两点，是曲线上的动点，求的面积的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
（1）已知，，且，，求证：．
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）理科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.8和9
三、解答题
17.解：（1）由，，成等比数列得，
因为，所以，
所以是以4为首项，以4为公差的等差数列，
解得．
（2）由（1）可得，
．
18.（1）证明：取的中点为，连接，，
由题意知，可得四边形为平行四边形，所以．
由题可知，，，且，平面，面，
所以平面，
又∵平面，∴，
∵为正三角形，∴，
又∵，平面，平面，
∴平面，
又，
∴平面．
（2）解：由（1）可知平面，又平面，则平面平面，
为正三角形，因此取的中点为坐标原点，以为轴，在底面内过作的垂线为轴，为轴，建立空间坐标系，
∵，
∴，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则即可取，
，
设二面角的大小为，则．
19.解：（1）由图可知，学生学习时间在区间内的频率为，
设中位数为，则，解得，即该校高二学生学习时间的中位数为3.8．
（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在中抽取4人，从高一学生学习时间在中抽取2人，
设在这一组中至少有1人被抽中的事件为，则．
（3）
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少
合计
高一
4
16
20
高二
9
11
20
合计
13
27
40
，
所以没有的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
20.解：（1）由题意知，线段的垂直平分线交于点，所以，
∴，
∴点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，
，，，
∴点的轨迹的方程为．
（2）依题意可设直线方程为，将直线方程代入，
化简得，
设直线与椭圆的两交点为，，
由，得，①
且，，②
因为点关于轴的对称点为，则，可设，
所以，
所以所在直线方程为，
令，得，③
把②代入③，得，
∴点的坐标为，
∴．
21.解：（1）等价于，即，
记，即，，
当时，，在单调递增，又，
所以，所以，即不成立；
当时，，时，，单调递增，
所以，所以，不成立；
当时，，，，在单调递减，
所以，所以，恒成立．
综上所述，当对恒成立时．
（2）由（1）知当对有恒成立．
令，…,,有成立，
，
所以．
22.解：（1）因为曲线的极坐标方程为，则直角坐标方程为；
曲线的参数方程为（为参数），则普通方程为．
（2）由题意知，设，
点到直线的距离为，
所以．
23.（1）证明：∵，
又，，且，，∴，，
∴，即．
（2）解：有解等价于，
由单调性知:，
所以．
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