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2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数，则（ ）
A．的虚部为 B．的实部为1 C． D．的共轭复数为
3.在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．虚轴长为4
C．渐近线方程为 D．离心率为
5.执行如图所示的程序框图，如果输入的，，，那么输出的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则
（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
7.已知，满足约束条件则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（ ）
A．三分鹿之一 B．三分鹿之二 C．一鹿 D．一鹿、三分鹿之一
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11.三棱锥中，平面，，若，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则 ．
14.已知数列为等比数列，且，则的值为 ．
15.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，，则该抛物线的方程为 ．
16.已知三次函数的图象如图所示，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长．
18.如图，已知四边形是直角梯形，，且，，是等边三角形，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频数分布直方图．
高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间内）：
学习时间
频数
3
1
8
4
2
2
高二学生学习时间的频率分布直方图：
（1）求高二学生学习时间在内的人数；
（2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在，的两组里抽取6人，再从这
6人中随机抽取2人，求学习时间在这一组中恰有1人被抽中的概率；
（3）若周日学习时间不小于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少
合计
高一
高二
合计
，其中．
0.025
0.010
0.005
5.024
6.635
7.879
20.已知椭圆：经过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点作两条直线，，直线交椭圆于，，直线交椭圆于，，且，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
21.已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数的图象始终在函数图象的下方，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）直线：与曲线交于，两点，是曲线上的动点，求的面积的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
（1）已知，，且，，求证：．
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）文科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）∵，由正弦定理可得：
，
即，又，则．
（2）由的面积为，∴，则，由余弦定理，得，
则周长．
18.（1）证明：取的中点，连接，.
由于，分别为，的中点，由题意知，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：由（1）知，是等边三角形，所以，
因为，且，且，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，平面，平面，则平面，即平面，为三棱锥的高，
，，
．
19.解：（1）高二学生学习时间在内的人数为（人）．
（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在中抽取4人，从高一学生学习时间在中抽取2人．
设从高一学生学习时间在上抽的4人分别为，，，，在上抽的2人分别为，，则在6人中任抽2人的所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，共计15种，
其中这一组中恰有1人被抽中的情况包含，，，，，，，共计8种，因此这一组中恰有1被抽中的概率为．
（3）
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少
合计
高一
4
16
20
高二
9
11
20
合计
13
27
40
，
所以没有的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
20.解：（1），又，将点代入椭圆方程得到
，，，所以椭圆的方程为．
（2）由对称性可知，四边形是平行四边形，
设，，则，，
由，得，
，
所以，
，
故为定值．
21.解：（1）当时，，定义域为．
，令，则，
∵时，；时，，
∴时，；无极小值．
（2）令，由题意，函数的图象始终在函数图象的下方，等价于在恒成立，即恒成立，得到．
令（），，
显然，又函数在上单调递减；
所以当时，；时，，
则，因此，
所以．
22.解：（1）因为曲线的极坐标方程为，则直角坐标方程为；
曲线的参数方程为（为参数），则普通方程为．
（2）由题意知，设，
点到直线的距离为，
所以．
23.（1）证明：∵，
又，，且，，∴，，
∴，即．
（2）解：有解等价于，
由单调性知:，
所以．
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