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月月考三 立体几何、解析几何
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
用斜二测画法画出的一图形的直观图是一个如图所示的面积为2的等腰梯形OA′B′C′，则原图形的面积是( )
A．10
B．8
C．6
D．4
答案：D
解析：设等腰梯形的高为h，则OC′＝h，原梯形的高为2h，面积为4.
2．(2018·连城一模)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
答案：D
解析：因为直线m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l，所以AB∥m正确，AC⊥m正确；根据线面平行的判定定理可得AB∥β正确；当直线AC不在平面α内时，尽管AC⊥l，AC与平面β可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC⊥β不一定成立．故选D.
3.
如图，在三棱锥D－ABC中，∠ABC＝90°，平面DAB⊥平面ABC，
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DA＝AB＝DB＝BC，E是DC的中点，则AC与BE所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：取AD的中点F，连接EF，BF，因为E是DC的中点，所以EF∥AC，则∠BEF是AC与BE所成的角或其补角，令DA＝AB＝DB＝BC＝2，则AC＝2，EF＝，由平面DAB⊥平面ABC，BC⊥AB，平面DAB∩平面ABC＝AB，可得BC⊥平面DAB，所以DB⊥BC，则BE＝，又BF＝，在三角形BEF中，由余弦定理可得cos∠BEF＝＝.故选B.
4．(2018·河北二模)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )
A．50 B．75
C．25.5 D．37.5
答案：D
解析：
由题意及给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1－MNB1A1所得的几何体，且三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，
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所以截去后剩余的几何体的体积为V＝V三棱柱－V四棱锥＝×5×5×5－×3×5×5＝37.5，故选D.
5．(2018·黑龙江七台河模拟)已知抛物线C：y2＝－8x的焦点为F，直线l：x＝1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B.若＝－3，则|AB|＝( )
A．20 B．16
C．10 D．5
答案：A
解析：由抛物线C：y2＝－8x，得F(－2,0)．设A(1，a)，B(m，n)，且n2＝－8m.∵＝－3，∴1＋2＝－3(m＋2)，解得m＝－3，∴n＝±2.
∵a＝－3n，∴a＝±6，
∴|AB|＝＝20.故选A.
6．(2017·天津卷，5)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：B
解析：由e＝知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y＝±x，由P(0,4)知左焦点F的坐标为(－4,0)，所以c＝4，则a2＝b2＝＝8.选项B符合．
7．(2018·湖南株洲模拟)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则F(c,0)，B(0，b
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)．
直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，所以－·＝－1，即b2＝ac，则c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．
8．(2018·黑龙江虎林第一中学模拟)已知点M是椭圆＋y2＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且满足·＝0，则△MF1F2的面积为( )
A．1 B.
C．2 D．4
答案：A
解析：因为·＝0，所以⊥，故|MF1|2＋|MF2|2＝12.由题意得|MF1|＋|MF2|＝4，即|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝16，即12＋2|MF1|·|MF2|＝16，解得|MF1|·|MF2|＝2，所以△MF1F2的面积S＝|MF1|·|MF2|＝1.故选A.
9．(2018·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
答案：B
解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.
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10．点A(1，－1)，B(0,1)，若直线ax＋by＝1与线段AB(包括端点)有公共点，则a2＋b2的最小值为( )
A．2 B.
C. D.
答案：D
解析：由题意知点A，B位于直线ax＋by＝1的两侧，或一点位于直线ax＋by＝1上，或A，B两点位于直线ax＋by＝1上，于是(a－b－1)(b－1)≤0⇒或作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则的最小值为点O(0,0)到可行域内的点的距离的最小值，所以()min＝＝，所以(a2＋b2)min＝.选D.
11．(2018·惠州调研)已知三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，则三棱锥S－ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是( )
A. B．1
C. D.
答案：A
解析：∵三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，∴S在底面ABC内的射影为AB的中点H，连接SH，CH，∴SH⊥平面ABC，∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等．∵SH＝，CH＝1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三棱锥S－ABC的外接球的球心．∵SC＝2，∴SM＝1，∠OSM＝30°，∴SO＝，OH＝，∴O到平面ABC的距离为，故选A.
12．(2018·成都高中毕业第一次诊断)已知双曲线－＝1(a>0，b
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>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴．若|F1F2|＝12，|PF2|＝5，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．3
答案：C
解析：由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋5.在Rt△PF2F1中，|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即(2a＋5)2＝52＋122，解得a＝4.因为|F1F2|＝12，所以c＝6，所以双曲线的离心率e＝＝＝，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．
13．(2018·铜川一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
答案：
解析：设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M(3,0)的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|＝≥ ＝.
14．(2017·山东卷，14)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为__________________．
答案：y＝±x
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴ y1＋y2＝.
又∵ |AF|＋|BF|＝4|OF|，
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∴ y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴ ＝p，即＝，∴ ＝，
∴ 双曲线的渐近线方程为y＝±x.
15．(2018·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
答案：42或22
解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|.当点M(20,40)位于抛物线内时，如图(1)，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图(2)，当点P，M，F共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，解得p＝22或58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或22.
16．(2018·哈尔滨六中一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为________．
①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.
答案：④
解析：
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因为在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，则在折起过程中，D点在平面BCE上的投影为O1O2(如图)．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故①错；只有D点投影位于O2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD不垂直于平面BED，故②错；BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故③错；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中AD⊥平面BED能成立，故④正确．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
(2018·江西南昌十所重点中学二模)四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°.
(1)在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；
(2)求证：平面PBC⊥平面PCD.
解析：(1)解：当Q为侧棱PC的中点时，有BQ∥平面PAD.
证明如下：取PD的中点E，连接AE，EQ.
∵Q为PC的中点，则EQ为△PCD的中位线，
∴EQ∥CD且EQ＝CD.
∵AB∥CD且AB＝CD，∴EQ∥AB且EQ＝AB，
∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE.
∵BQ⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BQ∥平面PAD.
(2)证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.
∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE.
∵PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD.
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∵CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD.
∵BQ⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD.
18．(本小题满分12分)
(2018·福建南平二模)
如图，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.
(1)求证：AE∥平面BDE；
(2)求四面体B－CDE的体积．
解析：(1)证明：取BD的中点P，连接EP，FP.
∵△BCD中，PF为中位线，
∴PF∥DC且PF＝DC.
又∵AE∥CD，DC＝2AE，
∴EA∥DC且EA＝DC.
由此可得PF∥EA，且PF＝EA.
∴四边形AFPE是平行四边形，可得AF∥EP.
∵EP⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.
(2)解：∵BA⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE＝AC，
∴BA⊥平面ACDE，即BA就是四面体B－CDE的高，BA＝2.
∵DC＝AC＝2AE＝2，AE∥CD，
∴S梯形ACDE＝×(1＋2)×2＝3，S△ACE＝×1×2＝1，
因此，△CDE的面积为S△CDE＝3－1＝2.
∴四面体B－CDE的体积
VB－CDE＝·BA·S△CDE＝×2×2＝.
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19．(本小题满分12分)
(2018·江苏南京、盐城一模)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E：＋＝1(00，即2k2
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