2018年南京市秦淮区中考一模数学试卷及答案（PDF版）.pdf

2017——2018 学年度秦淮区一模试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题．．卡．相应位置．．．．上） 1．计算 (－3)2的结果是 A．3 B．－3 C．9 D．－9 2．据某数据库统计，仅 2018 年第一个月，区块链行业融资额就达到 680 000 000 元． 将 680 000 000 用科学记数法表示为 A．0.68×109 B．6.8×107 C．6.8×108 D．6.8×109 3．下列计算正确的是 A．a3＋a2＝a5 B．a10÷a2＝a5 C．(a2)3＝a5 D．a2·a3＝a5 4．某校航模兴趣小组共有 30 位同学，他们的年龄分布如下表： 由于表格污损，15 和 16 岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是 A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差 5．将二次函数 y＝－x2 的图像向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得图 像的函数表达式为 A．y＝－(x－2)2＋3 B．y＝－(x－2)2－3 C．y＝－(x＋2)2＋3 D．y＝－(x＋2)2－3 6．如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为 A（3.6，a），B（2，2），C（b，3.4），D（8，6），则 a＋b 的值为 A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分. 不需 写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置．．．．．．．上） 7．－3 的相反数是 ▲ ；－3 的倒数是 ▲ ． 8．若式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ▲ ． 9．计算 3× 12 2 的结果是 ▲ ． A B C D O x y （第 6 题） 年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 15 10．方程 1 x－2＝3 x 的解是 ▲ ． 11．若关于 x 的一元二次方程的两个根 x1，x2 满足 x1＋x2＝3，x1·x2＝2，则这个方程是 ▲ ．（写出一个．．符合要求的方程） 12．将函数 y＝x 的图像绕坐标原点 O 顺时针旋转 90°，所得图像的函数表达式为 ▲ ． 13．已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm，则 AB 和 CD 的距离 为 ▲ cm． 14．在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻值 R（单位：Ω）与光照度 E （单位：lx）之间成反比例函数关系，部分数据如下表所示，则光敏电阻值 R 与光照度 E 的函数表达式为 ▲ ． 光照度 E/lx 0.5 1 1.5 2 2.5 3 光敏电阻阻值 R/Ω 60 30 20 15 12 10 15．如图，在△ABC 中，∠A＝70°，∠B＝55°，以 BC 为直径作⊙O，分别交 AB、AC 于点 E、F，则⌒EF的度数为 ▲ °． 16．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，BE＝1 3BC，连接 AE，作 BF⊥AE，分别 与 AE、CD 交于点 K、F，G、H 分别在 AD、AE 上，且四边形 KFGH 是矩形， 则HG AB＝ ▲ ． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答题卷指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（ 6 分）计算( 1 a－b － b a2－b2 )÷ a a＋b ． （第 15 题） F E O C B A （第 16 题） C B A D E F G H K 18．（ 8 分）解一元二次不等式 x2－4＞0． 请按照下面的步骤，完成本题的解答． 解：x2－4＞0 可化为(x＋2)(x－2)＞0． （1）依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组①  x＋2＞0， x－2＞0 或不等式组② ▲ ． （2）解不等式组①，得 ▲ ． （3）解不等式组②，得 ▲ ． （4）一元二次不等式 x2－4＞0 的解集为 ▲ ． 19．（ 8 分）已知关于 x 的一元二次方程(x－m)2－2(x－m)＝0（m 为常数）． （1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程一个根为 3，求 m 的值． 20．（ 8 分）如图，□ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，∠ABC 的平分线交 AD 于点 F， 连接 EF． 求证：四边形 ABEF 是菱形． 21．（8 分）中国的茶文化源远流长，根据制作方法和茶多酚氧化（发酵）程度的不同，可 分为六大类：绿茶（不发酵）、白茶（轻微发酵）、黄茶（轻发酵）、青茶（半发酵）、 黑茶（后发酵）、红茶（全发酵）．春节将至，为款待亲朋好友，小叶去茶庄选购茶叶．茶 庄有碧螺春、龙井两种绿茶，一种青茶——武夷岩茶及一种黄茶——银针出售． （1）随机购买一种茶叶，是绿茶的概率为 ▲ ； （2）随机购买两种茶叶，求一种是绿茶、一种是银针的概率． A B C D E F （第 20 题） （2）请你运用所学的统计知识做出分析，从两个不同角度评价甲、乙两人的打靶成绩． 23．（ 8 分）某商场在“双十一”促销活动中决定对购买空调的顾客实行现金返利．规定每 购买一台空调，商场返利若干元．经调查，销售空调数量 y1（单位：台）与返利 x（单 位：元）之间的函数表达式为 y1＝x＋800．每台空调的利润 y2（单位：元）与返利 x 的 函数图像如图所示． （1）求 y2 与 x 之间的函数表达式； （2）每台空调返利多少元才能使销售空调的总利润最 大？最大总利润是多少？ 24．（8 分）一铁棒欲通过一个直角走廊．如图，是该铁棒紧挨着墙角 E 通过时的两个特殊 位置：当铁棒位于 AB 位置时，它与墙面 OG 所成的角∠ABO＝51°18'；当铁棒底端 B 向上滑动 1 m（即 BD＝1 m）到达 CD 位置时，它与墙面 OG 所成的角∠CDO＝60°． 求铁棒的长．（参考数据：sin51°18'≈0.780，cos51°18'≈0.625，tan51°18'≈1.248） 9 8 7 6 9 8 7 6 甲射击的靶 乙射击的靶 （第 22 题） O x/元 160 200 200 y2/元 （第 23 题） （第 24 题） A O B C D E G 22．（ 8 分）如图，甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心“×”所在的 圆面为 10 环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数），每人射击了 6 次． （1）请选择适当的统计图描述甲、乙两人成绩； 25．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 是△ABC 的角平分线，以 D 为圆心，DC 为半径作⊙D，交 AD 于点 E． （1）判断直线 AB 与⊙D 的位置关系并证明． （2）若 AC＝1，求⌒CE的长．（答案保留根号和 π） 26．（9 分）书籍开本有数学 开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到 2 开纸， 再对折得到 4 开纸，以此类推可以得到 8 开纸、16 开纸…… 若这张矩形印刷用纸的短边长为 a． （1）如图②，若将这张矩形印刷用纸 ABCD（AB＞BC）进行折叠，使得 BC 与 AB 重合， 点 C 落在点 F 处，得到折痕 BE；展开后，再次折叠该纸，使点 A 落在 E 处，此 时折痕恰好经过点 B，得到折痕 BG，求AB BC的值． （2）如图③，2 开纸 BCIH 和 4 开纸 AMNH 的对角线分别是 HC、HM． 说明 HC⊥HM． （3）将图①中的 2 开纸、4 开纸、8 开纸和 16 开纸按如图④所示的方式摆放，依次连 接点 A、B、M、I，则四边形 ABMI 的面积是 ▲ .（用含 a 的代数式表示） A B C D （第 25 题） E 2 开 4 开 8 开 16 开 ① ② A B C D F E G H ③ A B C D I M N … 2 开 4 开 ④ M I A B 2 开 4 开 8 开 16 开 27．（9 分） 【数学概念】 若四边形 ABCD 的四条边满足 AB·CD＝AD·BC，则称四边形 ABCD 是和谐四边形． 【特例辨别】 （1）下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中一定是和谐四边 形的是 ▲ ．（填写所有符合要求的四边形的序号） 【概念判定】 （2）如图①，过⊙O 外一点 P 引圆的两条切线 PS、PT，切点分别为 A、C，过点 P 作 一条射线 PM，分别交⊙O 于点 B、D，连接 AB、BC、CD、DA． 求证：四边形 ABCD 是和谐四边形． 【知识应用】 （3）如图②，CD 是⊙O 的直径，和谐四边形 ABCD 内接于⊙O，且 BC＝AD． 请直接写出 AB 与 CD 的关系． ① D B P C A O M S T ② O A D C B 2018年秦淮区一模数学试卷参考答案 一、选择题（每小题 2 分，共 12 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C D B A D 二、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7．3；－1 3 8．x≥1 9．3 2 10．x＝3 11．答案不唯一，如 x2－3x＋2＝0 12．y＝－x 13．2 或 14 14．R＝30 E 15．40 16．7 10 30 三、解答题（本大题共 11 小题，共计 88 分） 17．（本题 6 分） 解：( 1 a－b － b a2－b2 )÷ a a＋b ． ＝( a＋b (a＋b)(a－b)－ b (a＋b)(a－b))÷ a a＋b ＝ a (a＋b)(a－b)· a＋b a ＝ 1 a－b． 18．（本题 8 分） 解：（1）  x＋2＜0， x－2＜0． （2）x＞2． （3）x＜－2． （4）x＞2 或 x＜－2． 19．（本题 8 分） （1）原方程可化为(x－m)(x－m－2)＝0． 解这个方程，得 x1＝m，x2＝m＋2． 所以不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）当 x1＝3 时，m＝3． 当 x2＝3 时，m＝1． 所以 m 的值为 3 或 1． 20．（本题 8 分） 证明：∵∠BAD 的平分线交 BC 于点 E， ∴∠BAE＝∠EAF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠EAF＝∠AEB． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理，AB＝AF． ∴BE＝AF． ∵AD∥BC， ∴四边形 ABEF 是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴□ABEF 是菱形． 21．（本题 8 分） 解：（1）1 2． （2）随机购买两种茶叶，所有可能出现的结果有：（碧螺春，龙井）、（碧螺春， 武夷岩茶）、（碧螺春，银针）、（龙井，武夷岩茶）、（龙井，银针）、（武夷岩 茶，银针），共有 6 种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“一种 是绿茶、一种是银针”（记为事件 A）的结果有 2 种，所以 P(A)＝2 6＝1 3． （说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确等可能结果得 4 分；没有说 明等可能性扣 1 分．） 22．（本题 8 分） 解：（1）图略．（注：统计图的标题不写不扣分） （2）答案不唯一，如从数据的集中程度——平均数看， －x甲＝10＋10＋9＋9＋8＋8 6 ＝9（环）； －x乙＝10＋10＋9＋9＋9＋7 6 ＝9（环） 因为 －x甲＝－x乙，所以两人成绩相当． 从数据的离散程度——方差看， S2 甲＝(10－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋(8－9)2 6 ＝2 3（环 2）； S2 乙＝(10－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(7－9)2 6 ＝1（环 2）； 因为 S 2 甲＜S 2 乙，所以乙比甲成绩稳定，乙的成绩较好． 23．（本题 8 分） 解：（1）设 y2＝kx＋b． 根据题意，得  200k＋b＝160， b＝200． 解得  k＝－1 5， b＝200． 所以 y2＝－1 5x＋200． （2）设该商场销售空调的总利润为 w 元． 根据题意，得 w＝(x＋800) (－1 5x＋200)＝－1 5(x－100)2＋162000． 当 x＝100 时，w 的值最大，最大值是 162000． 所以商场每台空调返利 100 元时，总利润最大，最大总利润为 162000 元． 24．（本题 8 分） 解：设铁棒的长为 x m． 在 Rt△AOB 中，cos∠ABO＝ OB AB ， ∴ OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos60°＝1 2x． 在 Rt△COD 中，cos∠CDO＝ OD CD ， ∴ OD＝CD·cos∠CDO＝x ·cos51°18＇≈0.625 x． ∵ BD＝OD－OB， ∴ 0.625x－ 1 2x＝1． 解这个方程，得 x＝8． 答：该铁棒的长为 8 m． 25．（本题 8 分） 解：（1）AB 与⊙D 相切． 证明：过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F． ∵AD 是 Rt△ABC 的角平分线，∠C＝90°， ∴DF＝DC， 即 d＝r． ∴AB 与⊙D 相切． （2）∵∠C＝90°，AC＝BC＝1， ∴∠BAC＝∠B＝45°，AB＝ 2． ∵DF⊥AB，∴∠BDF＝∠B＝45°． ∴BF＝DF． ∵AB、AC 分别与⊙D 相切， ∴AF＝AC＝1． 设⊙D 的半径为 r． 易得 BF＝ 2－1，BD＝1－r． ∴ 2( 2－1)＝1－r． ∴r＝ 2－1．6 分 ∵AD 是 Rt△ABC 的角平分线，∠BAC＝45°， ∴∠DAC＝1 2∠BAC＝22.5°． 又∵∠C＝90°，∴∠CDE＝67.5°． ∴lCE ︵ ＝π( 2－1)×67.5 180 ＝ (3 2－3)π 8 ． （说明：答案中分母未有理化不扣分） 26．（本题 9 分） 解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°． ∵第一次折叠使点 C 落在 AB 上的 F 处，并使折痕经过点 B， ∴∠CBE＝∠FBE＝45°． ∴∠CBE＝∠CEB＝45°． ∴BC＝CE＝a，BE＝ 2a． A B C D E F ∵第二次折叠纸片，使点 A 落在 E 处，得到折痕 BG， ∴AB＝BE＝ 2a． ∴AB BC＝ 2 （2）根据题意和（1）中的结论，有 AH＝BH＝ 2 2 a，AM＝1 2a． ∴AM BH＝AH BC＝ 2 2 ． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°． ∴△MAH∽△HBC． ∴∠AHM＝∠BCH． ∵∠BCH＋∠BHC＝90°． ∴∠AHM＋∠BHC＝90°． ∴∠MHC＝90°． ∴HC⊥HM． （3）27 2 32 a2． 27．（本题 9 分） 解：（1）③④．（说明：只答对 1 个得 1 分，答错一个不给分） （2）证明：连接 CO 并延长，交⊙O 于点 E，连接 BE． ∵PT 是⊙O 的切线，切点为 C， ∴∠PCE＝90°． ∴∠PCB＋∠ECB＝90°． ∵CE 是⊙O 的直径， ∴∠CBE＝90°． ∴∠BEC＋∠ECB＝90°． ∴∠BEC＝∠PCB． 又∵∠BEC＝∠BDC，∴∠PCB＝∠BDC． D B P C A O M S T E 又∵∠BPC＝∠CPD， ∴△PBC∽△PCD． ∴CB CD＝PC PD． 同理，AB AD＝PA PD． ∵PA、PC 为⊙O 的切线， ∴PA＝PC． ∴CB CD＝AB AD． ∴AB·CD＝AD·BC． ∴四边形 ABCD 是和谐四边形． （3）AB∥CD ，CD＝3AB． （说明：结论“AB∥CD”1 分，“CD＝3AB”2 分）