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限时规范训练三 算法、框图与推理
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.
2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )
A．2 B．5
C．11 D．23
解析：选D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．
∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．
∴g(－x)＝－g(x)．
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为( )
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A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选D.根据程序框图知，当i＝4时，输出S.第1次循环得到S＝S0－2，i＝2；第2次循环得到S＝S0－2－4，i＝3；第3次循环得到S＝S0－2－4－8，i＝4.由题意知S0－2－4－8＝－4，所以S0＝10，故选D.
5．(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )
A．x＞3 B．x＞4
C．x≤4 D．x≤5
解析：选B.输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.
6．如图所示的程序框图的运行结果为( )
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A．－1 B．
C．1 D．2
解析：选A.a＝2，i＝1，i≥2 019不成立；
a＝1－＝，i＝1＋1＝2，i≥2 019不成立；
a＝1－＝－1，i＝2＋1＝3，i≥2 019不成立；
a＝1－(－1)＝2，i＝3＋1＝4，i≥2 019不成立；
…，
由此可知a是以3为周期出现的，结束时，i＝2 019＝3×673，此时a＝－1，故选A.
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝.类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R，解得R＝.
8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为( )
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A．k≥16 B．k＜8
C．k＜16 D．k≥8
解析：选A.根据框图的循环结构依次可得S＝0＋1＝1，k＝2×1＝2；S＝1＋2＝3，k＝2×2＝4；S＝3＋4＝7，k＝2×4＝8；S＝7＋8＝15，k＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S＝15.所以M处的条件应为k≥16.故A正确．
9．如图所示的程序框图中，输出S＝( )
A．45 B．－55
C．－66 D．66
解析：选B.由程序框图知，第一次运行T＝(－1)2·12＝1，S＝0＋1＝1，n＝1＋1＝2；第二次运行T＝(－1)3·22＝－4，S＝1－4＝－3，n＝2＋1＝3；第三次运行T＝(－1)4·32＝9，S＝－3＋9＝6，n＝3＋1＝4…直到n＝9＋1＝10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T＝(－1)10·92，S＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝×9－100＝－55.故选B.
10．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 018∈[3]；
②－2∈[2]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
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④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.
11．执行如图所示的程序框图，如果输入x，t的值均为2，最后输出S的值为n，在区间[0,10]上随机选取一个数D，则D≤n的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.这是一个循环结构，循环的结果依次为M＝2，S＝2＋3＝5，k＝1＋1＝2；M＝2，S＝2＋5＝7，k＝2＋1＝3.最后输出7，所以在区间[0,10]上随机选取一个数D，则D≤n的概率P＝，故选D.
12．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )
A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ
C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α
解析：选C.g(x)＝g′(x)，即x＝1，所以α＝1；h(x)＝h′(x)，即ln(x＋1)＝，0＜x＜1，所以β∈(0,1)；φ(x)＝φ′(x)，即x3－1＝3x2，即x3－3x2＝1，x2(x－3)＝1，x
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＞3，所以γ＞3.所以γ＞α＞β.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．
解析：令a≥b得，x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3.当x≤1时，由题意得a＝x2＝8，解得x＝－＝－2.当x＞1时，由题意得b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2.
14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考得好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．
解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．
答案：乙，丙
15．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．
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解析：实数x∈[2,30]，经过第一次循环得到x＝2x＋1，n＝2；经过第二次循环得到x＝2(2x＋1)＋1，n＝3；经过第三次循环得到x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4，此时输出x，输出的值为8x＋7.令8x＋7≥103，解得x≥12.由几何概型的概率公式，得到输出的x不小于103的概率为＝.
16．集合{1,2,3，…，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为Tn，如：
T3＝1×2＋1×3＋2×3＝×[62－(12＋22＋32)]＝11；
T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝×[102－(12＋22＋32＋42)]＝35；
T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5＝×[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.
则T7＝________.(写出计算结果)
解析：由T3，T4，T5归纳得出Tn＝[(1＋2＋…＋n)2－(12＋22＋…＋n2)]，则T7＝×[282－(12＋22＋…＋72)]．
又∵12＋22＋…＋72＝×7×8×15＝140，∴T7＝×(784－140)＝322.
答案：322
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