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限时规范训练五 不等式及线性规划
限时40分钟，实际用时________
分值80分，实际得分________
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是( )
A．a3＞b3 B.＜
C．ab＞1 D．lg(b－a)＜a
解析：选D.∵0＜a＜b＜1，∴0＜b－a＜1－a，∴lg(b－a)＜0＜a，故选D.
2．已知a，b是正数，且a＋b＝1，则＋( )
A．有最小值8 B．有最小值9
C．有最大值8 D．有最大值9
解析：选B.因为＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取“＝”，所以＋的最小值为9，故选B.
3．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；
②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；
④若a＞b，则＞.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.①ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③需满足a、b、c、d均为正数才成立；
④错误，如：令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但＜.故选B.
4．已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是( )
A．{x|2＜x＜3} B．{x|x≤2或x≥3}
C. D.
解析：选B.∵不等式ax2－bx－1＞0的解集是
，
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∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，
且a＜0.
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.
5．若x，y满足约束条件则z＝y－x的取值范围为( )
A．[－2,2] B.
C．[－1,2] D.
解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y＝0与x＋y－4＝0的交点(1,3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝x2相切时，z取得最小值，由，消去y得x2－2x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－，故－≤z≤2，故选B.
6．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是( )
A. B.
C．2＋ D．2－
解析：选A.∵an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
∴＝＝≥
＝，当且仅当n＝4时取等号．
∴的最小值是，故选A.
7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为，a，b的三条线段，则ab的最大值为( )
A. B.
C. D．3
解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a2＋x2＝4，b2＋y2＝4，x2＋y2＝3，则a2＋b2＝x2＋y2＋2＝3＋2＝5，又5＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，所以选C.
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8．设x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A．[1,5] B．[2,6]
C．[3,11] D．[3,10]
解析：选C.画出约束条件
的可行域如图阴影部分所示，
则＝＝1＋2×，的几何意义为过点(x，y)和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知的取值范围为kMA≤≤kMB，即∈[1,5]，所以的取值范围是[3,11]．
9．设x，y满足不等式若M＝3x＋y，N＝x－，则M－N的最小值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(－1,2)，B(3,2)，当直线3x＋y－M＝0经过点A(－1,2)时，目标函数M＝3x＋y取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x≤3，所以函数N＝x－在x＝－1处取得最大值－，由此可得M－N的最小值为－1－＝.
10．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0＜a≤1
C．1≤a≤ D．0＜a≤1或a≥
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解析：选D.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x－y＝0与直线2x＋y＝2的交点是，而直线x＋y＝a与x轴的交点是(a,0)．
由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a≥＋或0＜a≤1，所以选D.
11．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P到点O距离最小时，∠APB最大，此时|OP|＝＝2，又OA＝1，故∠OPA＝，
∴∠APB＝，∴cos∠APB＝.
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )
A．c≤3 B．3＜c≤6
C．6＜c≤9 D．c＞9
解析：选C.由0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，得0＜－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c≤3，
由－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，得3a－b－7＝0，①
由－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，得
4a－b－13＝0，②
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由①②，解得a＝6，b＝11，∴0＜c－6≤3，
即6＜c≤9，故选C.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝1＋logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．
解析：因为loga1＝0，所以f(1)＝1，故函数f(x)的图象恒过定点A(1,1)．
由题意，点A在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即m＋n＝2.
而＋＝×(m＋n)
＝，
因为mn＞0，所以＞0，＞0.
由均值不等式，可得＋≥2× ＝2(当且仅当m＝n时等号成立)，
所以＋＝≥×(2＋2)＝2，即＋的最小值为2.
答案：2
14．设P(x，y)是函数y＝(x＞0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．
解析：因为x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得
x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立．
答案：2
15．若变量x，y满足约束条件则w＝4x·2y的最大值是________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w＝4x·2y＝22x＋y，要求其最大值，只需求出2x＋y＝t的最大值即可，由平移可知t＝2x＋y在A(3,3)处取得最大值t＝2×3＋3＝9，故w＝4x·2y的最大值为29＝512.
答案：512
16．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m
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的取值范围为________．
解析：由题意知，m2－m≥f(x)max.当x＞1时，f(x)＝logx是减函数，且f(x)＜0；当x≤1时，f(x)＝－x2＋x，其图象的对称轴方程是x＝，且开口向下，
∴f(x)max＝－＋＝.∴m2－m≥，即4m2－3m－1≥0，∴m≤－或m≥1.
答案：∪[1，＋∞)
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