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丰台区2018年初三毕业及统一练习
数 学 试 卷
2018. 05
考生须知
1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。
2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将本试卷、答题卡一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图所示，△ABC中AB边上的高线是
（A）线段AG （B）线段BD
（C）线段BE （D）线段CF
2．如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是
（A）x≥0 （B）x≠4
（C）x≥4 （D）x＞4
3．右图是某个几何体的三视图，该几何体是
（A）正三棱柱 （B）正三棱锥
（C）圆柱 （D）圆锥
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab = c，那么实数c在数轴上的对应点的位置可能是
（A） （B）
（C） （D）
5．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，
点B，AC⊥AB于点A，交直线b于点C．如果∠1 = 34°，
那么∠2的度数为
（A）34° （B）56°
（C）66° （D）146°
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，1)，
如果将线段OA绕点O逆时针方向旋转90°，那么点A的
对应点的坐标为
（A）(-1，2) （B）(-2，1)
（C）(1，-2) （D）(2，-1)
7．太阳能是来自太阳的辐射能量．对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能．下图是2013-2017年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是
（A）截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13 078万千瓦
（B）2013-2017年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加
（C）2013-2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2 500万千瓦
（D）2017年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的40%
8．如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动过程中甲光斑与点A的距离S1(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌△P2Q2O2．下列叙述正确的是
B
A
乙
甲
8cm
图1
图3
图2
（A）甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍
（B）乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/s
（C）甲乙两光斑全程的平均速度一样
（D）甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．在某一时刻，测得身高为1.8m的小明的影长为3m，同时测得一建筑物的影长为10m，那么这个建筑物的高度为 m．
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10．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为 ．
11．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣的数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”．
（说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形）
请根据右图完成这个数学问题的证明过程．
证明：S筝形ABCD = S△AOB + S△AOD + S△COB + S△COD．
易知，S△AOD = S△BEA，S△COD = S△BFC．
由等量代换可得：
S筝形ABCD = S△AOB + + S△COB +
= S矩形EFCA
= AE·AC
= · ．
12．如果代数式，那么的值为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果
∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB的长是 ．
14．营养学家在初中学生中做了一项实验研究：甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加600ml牛奶．一年后营养学家统计发现：乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均身高的增长值的75%少0.34cm．设甲、乙两组同学平均身高的增长值分别为x cm、y cm，依题意，可列方程组为 .
15．“明天的降水概率为80%”的含义有以下四种不同的解释：
① 明天80%的地区会下雨；
② 80%的人认为明天会下雨；
③ 明天下雨的可能性比较大；
④ 在100次类似于明天的天气条件下，历史纪录告诉我们，大约有80天会下雨.
你认为其中合理的解释是 ．（写出序号即可）
16．下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠A.
求作：一个角，使它等于∠A.
作法：如图，
（1）以点A为圆心，任意长为半径作⊙A，
交∠A的两边于B，C两点；
（2）以点C为圆心，BC长为半径作弧，
与⊙A交于点D，作射线AD．
所以∠CAD就是所求作的角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）
17．计算：．
18．解不等式组：
19．如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：DE = DF．
20．已知：关于x的一元二次方程x2 - 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
21．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF = BA，BE = BC，连接AE，EF，FC，CA．
（1）求证：四边形AEFC为矩形；
（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，
AB = 4，求DE的长．
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22．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象的交点分别为P(m，2)，Q(-2，n).
（1）求一次函数的表达式；
（2）过点Q作平行于y轴的直线，点M为此直线上的一点，当MQ = PQ时，直接写出点M的坐标.
23．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F．
（1）求证：EFED；
（2）如果半径为5，cos∠ABC =，求DF的长．
24．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】
从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
甲 30 60 60 70 60 80 30 90 100 60
60 100 80 60 70 60 60 90 60 60
乙 80 90 40 60 80 80 90 40 80 50
80 70 70 70 70 60 80 50 80 80
成
【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
x
绩
学校
人
数
30≤x≤50
50＜x≤80
80＜x≤100
甲
2
14
4
乙
4
14
2
（说明：优秀成绩为80＜x≤100，良好成绩为50＜x≤80，合格成绩为30≤x≤50．）
【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：
学校
平均分
中位数
众数
甲
67
60
60
乙
70
75
a
其中a =__________.
【得出结论】
（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是________校的学生；（填“甲”或“乙”）
（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为________；
（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．
（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E．已知∠A = 30°，AB = 4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD = xcm，AE = ycm.
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
…
1
2
3
…
y/cm
…
0.4
0.8
1.0
1.0
0
4.0
…
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）在下面的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
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（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE =AD时，AD的长度约为 cm．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的最高点的纵坐标是2．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；
（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1，将图象G1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过(0，b)作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求b的取值范围和x1 + x2的值．
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = ，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.
（1）依题意补全图形；
（2）当= 30°时，直接写出∠CMA的度数；
（3）当0°0.
∴Δ=．
∴. ………………………2分
（2）∵，且m为非负整数，
∴. ………………………3分
当m=0时，方程为，解得方程的根为，，符合题意；
当m=1时，方程为，它的根不是整数，不合题意，舍去.
综上所述，m=0. ………………………5分
21．（1）证明：∵BF=BA，BE=BC，
E
F
D
C
B
A
G
∴四边形AEFC为平行四边形. ………………………1分
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC.
∴BE=BF.
∴BA + BF = BC + BE，即AF=EC.
∴四边形AEFC为矩形. ………………………2分
（2）解：连接DB.
由（1）知，AD∥EB，且AD=EB.
∴四边形AEBD为平行四边形
∵DE⊥AB，
∴四边形AEBD为菱形.
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∴AEEB，AB2AG，ED2EG. ………………………4分
∵矩形ABCD中，EBAB，AB=4，
∴AG2，AE4.
∴Rt△AEG中，EG=2.
∴ED=4. ………………………5分
（其他证法相应给分）
22．（1）解： ∵反比例函数的图象经过点，Q(-2，n)，
∴，．
∴点P，Q的坐标分别为(1，2)，(-2，-1). …….…….…….……2分
∵一次函数的图象经过点P(1，2)，Q(-2，-1)，
∴ 解得
∴一次函数的表达式为． .…….…….…….……3分
（2）点M的坐标为（-2，-1+3）或（-2，-1-3）……………5分
23．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2.
∵DE∥AB，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.
∵BC是⊙O的切线，∴∠BDF＝90°.
∴∠1+∠F＝90°，∠3+∠EDF＝90°.
∴∠F＝∠EDF.∴EFDE. …….…….……………2分
（2）解：连接CD.
∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.
∵DE∥AB，∴∠DEF＝∠ABC.
∵cos∠ABC=，∴在Rt△ECD中，cos∠DEC==.
设CE=3x，则DE=5x .
由（1）可知，BE= EF=5x.∴BF=10x ，CF=2x.
在Rt△CFD中，由勾股定理得DF=．
∵半径为5，∴BD10.
∵BF×DC= FD×BD，
∴，解得.
∴DF ==5. …….…….……………5分
（其他证法或解法相应给分.）
24．解：a=80； ………………………1分
（1）甲； ………………………2分
（2） ； ………………………3分
（3）答案不唯一，理由需支持推断结论.
如：乙校竞赛成绩较好，因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数75高于甲校的中位数65，说明乙校分数不低于70分的学生比甲校多. ………………………5分
y
25．解：
y=x
（1）1.2； ………………………2分
（2）如右图； ………………………4分
（3）2.4或3.3 ………………………6分
x
O
x
y
26．解：（1）∵抛物线，
∴对称轴为x= 2．………………………………………1分
∵抛物线最高点的纵坐标是2，
∴a= -2． ………………………………………2分
∴抛物线的表达式为. ……………3分
（2）由图象可知， 或-6≤b
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