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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（二）
本试题卷共14页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，．故选：A．
2．若双曲线的一个焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线性质：，，，，故选B．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，．故选B．
4．已知曲线在点处切线的斜率为8，则（ ）
A．7 B．－4 C．－7 D．4
【答案】B
【解析】，，，，故选B．
5．已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设与的夹角为，，，，，∴向量在方向上的投影为，
故选D．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：
∴该几何体的体积，故选B．
7．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知，，，所以，由，
得，，解得，，因为，所以，
所以．故选C．
8．已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，可得：，
又，∴，∴，∴，
∴数列的前项和，故选：C．
9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）
A．12 B．18 C．120 D．125
【答案】C
【解析】第一次运行：，为奇数，，；
第二次运行：，为偶数，，；
第三次运行：，为奇数，，；
第四次运行：，为偶数，，；
程序终止运行，输出．故选C．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，
正方体的棱长为4，，为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过，的平行于底面的中截面上，
设球心到截面的距离为，则到的距离为，
，，
解得出：，，
该多面体外接球的表面积为：，故选C．
11．某几何体的直观图如图所示，是的直径，垂直所在的平面，且
，为上从出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧的长为，的长度为关于的函数，则的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设，则弧长，线段，，
作于当在半圆弧上运动时，，，，
即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值，
只有A选项适合，又由对称性知选A，故选A．
12．设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且
恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令x=c代入双曲线的方程可得，由|F2Q|>|F2A|，可得，即为3>2=2(−)，即有①，
又恒成立，由双曲线的定义，可得c恒成立，
由，P，Q共线时，取得最小值，可得，
即有②，由e>1，结合①②可得，e的范围是．故选：B．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知，，则“”是直线与直线平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充要
【解析】若直线与直线平行，则有，即，且当时，两直线重合，舍去，因此，即是直线与直线平行的充要条件，故答案为充分必要．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数，
的图像与轴的交点，，满足，则
________．
【答案】
【解析】不妨设，，，得，，，由，得，解得．
15．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，且，则=_________．
【答案】
【解析】在等腰梯形中，，，
，
在等腰梯形中，，，，．
，解得．
因为在线段上，所以，所以．故答案为：．
16．已知在等腰梯形中，，，，双曲线以，为焦点，且与线段，（包含端点，）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线，．设双曲线方程为，只需点在双曲线右支图像的上方（包括在图像上）即可，也即，两边乘以得，由于，所以上式化为，解得，，故．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，
即有，·······3分
因为，∴．又，∴．
又，∴，∴，·······6分
（2）由余弦定理，有．
因为，，·······9分
有，又，于是有，即有．·······12分
18．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：
月份
2017.8
2017.9
2017.10
2017.11
2017.12
2018.1
月份代码
1
2
3
4
5
6
市场占有率
11
13
16
15
20
21
（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系；
（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；
（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的，两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500
元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？
参考数据：，，．
参考公式：相关系数；
回归直线方程为，其中，．
【答案】（1）见解析；（2），23%；（3）见解析．
【解析】（1）散点图如图所示：
···········1分
，∴，
∴，
所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分
故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
（2），···········4分
又，
∴，···········5分
∴回归直线方程为．···········6分
2018年2月的月份代码，∴，
所以估计2018年2月的市场占有率为23%．···········7分
（3）用频率估计概率，款单车的利润的分布列为：
∴（元）．···········9分
款单车的利润的分布列为：
∴（元）．······11分
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择款车型．········12分
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若动点在底面边界及内部，二面角的余弦值为，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）取中点，，，，．
平面平面，平面平面，平面，
．
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，，，，，
∴，，，·······2分
设平面的法向量，由，得方程组，取，·······4分
∴．·······5分
∴直线与平面所成角的正弦值为．·······6分
（2）由题意平面的法向量，
设平面的法向量为，，
∵，，，，
∴，取，·······9分
∴．∴，∴或（舍去）．
∴点到的最小值为垂直距离．·······12分
20．如图，曲线与正方形：的边界相切．
（1）求的值；
（2）设直线交曲线于，，交于，，是否存在这样的曲线，使得，，成等差数列？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题，得，
有，···········2分
化简的．
又，，所以从而有；···········4分
（2）由，
得，即···········5分
由，得，
由可得，
且，，···········7分
所以，···········8分
可得，
从而，
所以，即有，···········10分
符合，故当实数的取值范围是时，存在直线和曲线，使得，，成等差数列．···········12分
21．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在，使成立，求整数的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）5．
【解析】（1）由题意可知，，，·······1分
方程对应的，
当，即时，当时，，
∴在上单调递减；·······2分
当时，方程的两根为，
且，
此时，在上，函数单调递增，
在，上，函数单调递减；·······4分
当时，，，
此时当，，单调递增，
当时，，单调递减；
综上：当时，，单调递增，
当时，单调递减；
当时，在上单调递增，
在，上单调递减；
当时，在上单调递减；·······6分
（2）原式等价于，
即存在，使成立．
设，，则，·······7分
设，
则，∴在上单调递增．
又，，
根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，·······9分
则，且，即，
∴，
由题意可知，又，，∴的最小值为5．······12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；
（2）设为椭圆上任意一点，求的最大值．
【答案】（1）直线的直角坐标方程为，椭圆的参数方程为，（为参数）；（2）9．
【解析】（1）由，得，
将，代入，得直线的直角坐标方程为
．·········3分
椭圆的参数方程为，（为参数）．·········5分
（2）因为点在椭圆上，所以设，
则，
当且仅当时，取等号，所以．·········10分
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，原不等式可化为．
①当时，原不等式可化为，解得，所以；
②当时，原不等式可化为，解得，所以；
③当时，原不等式可化为，解得，所以．
综上所述，当时，不等式的解集为．·····5分
（2）不等式可化为，
依题意不等式在恒成立，
所以，即，即，
所以．解得，
故所求实数的取值范围是．·····10分
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