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2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷
理科数学（一）
本试题卷共14页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以复数对应的点为，故选A．
2．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解方程组，得．故．选D．
3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
（1），
（2），
（3），
（4），
所以输出，得，故选C．
4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】设第一天织布尺，从第二天起每天比第一天多织尺，由已知得：，解得，，∴第十日所织尺数为，故选B．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，故选C．
6．已知函数的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，即，
把点代入方程可得，所以，可得函数的一个对称中心为，故选C．
7．在中，内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数无极值点，则导函数无变号零点，，
，故最大值为：．故答案为：C．
8．若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，若存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则，故选C．
9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为2，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：，，设，；
，两边平方并整理得：．∴面积的最大值是，选A．
10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，，，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为，故选B．
11．已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数在恰有两个不同的零点，等价于与的图象恰有两个不同的交点，画出函数的图象，如图，的图象是过定点斜率为的直线，当直线经过点时，直线与的图象恰有两个交点，此时，，当直线经过点时直线与的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与的图象恰有两个交点，斜率在内变化，所以实数的取值范围是．
12．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆，，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点，抛物线，抛物线的焦点坐标为，
椭圆与抛物线有相同的焦点，，即，则抛物线方程为，准线方程为，，由抛物线的定义得：到准线的距离为，，即点的纵坐标，又点在抛物线上，，不妨取点坐标，关于准线的对称点的坐标为，则，即，，三点共线时，有最小值，最小值为，故选A．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知平面向量与的夹角为，且，，则__________．
【答案】2
【解析】，，即，
，化简得：，．
14．如果，，，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，，，是抛物线C的焦点，若，则
_________．
【答案】20
【解析】由抛物线方程，可得．
则，故答案为：20．
15．[2018·衡水金卷]中，角，，的对边分别为，，，，当最大时，__________．
【答案】
【解析】，
当且仅当，取等号，的最大值为，此时，
∴．
故答案为：．
15．若，满足约束条件，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
表示可行域内的点与点连线的斜率．
由，解得，故得；
由，解得，故得．
因此可得，，
结合图形可得的取值范围为．答案：．
16．已知，，是锐角的内角，，所对的边，，且满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵，
∴由正弦定理可得，即，
∵，∴，∵为的内角，∴，∵，
∴根据正弦定理可知，
∴，
∵是锐角三角形，∴，∴的取值范围为，故答案为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设正项等比数列，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，········3分
解得；········5分
所以．········6分
（2）由（1）得，········7分
，········9分
∴，········10分
∴．········12分
18．心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．
附表及公式：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）答案见解析．
【解析】（1）由表中数据得的观测值，····3分
所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关．·········5分
（2）由题可知可能取值为0，1，2，···········6分
，···········7分
，···········8分
，···········9分
故的分布列为：
0
1
2
·········10分
∴．···········12分
19．已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，是中点，是的中点，是上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）当是中点，且时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接，
∵底面为菱形，，
∴是正三角形，
∵是中点，∴，
又，∴，···········1分
∵平面，平面，∴，···········3分
又，∴平面，···········4分
又平面，
∴平面平面．···········5分
（2）解：由（1）得，，两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系；
不妨设，则，
则，，，，，
，，···········7分
∴，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，得，···········9分
同理可求，平面的个法向量，，···········10分
则．
观察可知，二面角的平面角为锐角，
∴二面角的平面角的余弦值为．···········12分
20．已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）若，为曲线上的两点，记，，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】（1）取，连结，设动圆的圆心为，
∵两圆相内切，∴，又，
∴，···········3分
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，∴，，
∴，∴的轨迹方程为．···········5分
（2）当轴时，有，，由，得，
又，∴，，
∴．···········7分
当与轴不垂直时，设直线的方程为，
由，得，
则，，···········9分
由，得，∴，
整理得，···········10分
∴，
∴，
综上所述，的面积为定值．···········12分
21．已知，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设函数表示在区间上最大值与最小值的差，求在区间上的最小值．
【答案】（1）见解析（2）．
【解析】（1）．···········1分
因为，所以当或时，，当，．······3分
∴在，上单调递增，在单调递减．·········4分
(2)当时，由（1）知在区间上单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．···········5分
当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，
因此在区间上最大值是．此时，最小值是，
所以．···········8分
因为在区间上单调递增，
所以最小值是．···········9分
当时，，在，上单调递增，
所以，．
所以．···········11分
综上在区间上的最小值是．···········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数），在以为极点，
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（1）写出曲线和的普通方程；
（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），···········2分
．···········5分
（2）设，
结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值．
∵到直线的距离，···········7分
∴当时，最小，即最小．
此时，，结合可解得：，，
即所求的坐标为．···········10分
23．选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）若，，，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，
得或或，···········3分
解得，∴，．···········5分
（2）由（1）知，，，
∴，
当且仅当即，时取等号，
∴，即．···········10分
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