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2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷
文科数学（一）
本试题卷共14页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解方程组，得．故．选D．
2．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以复数对应的点为
，故选A．
3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
（1），
（2），
（3），
（4），
所以输出，得，故选C．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，故选C．
5．已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，解得，故双曲线的渐近线方程为．
由题意得，解得，∴该双曲线的方程为．选B．
6．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为（ ）
x
2
4
5
6
8
y
25
35
60
55
75
A．5 B．15 C．12 D．20
【答案】C
【解析】由题意可得：，，
回归方程过样本中心点，则：，．本题选择C选项．
7．已知，下列程序框图设计的是求
的值，在“*”中应填的执行语句是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设，要计算，
首先，下一个应该加，再接着是加，故应填．
8．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】作图，，，，可得解集为，解集为，因为，因此选A．
9．如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到的运动过程中，点与平面
的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取线段中点为，计算得：．同理，当为线段或的中点时，计算得，符合C项的图象特征．故选C．
10．已知双曲线：的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的一点，关于坐标原点的对称点为，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】不妨设，由此可得，，，，由于，，三点共线，故，化简得，故离心率．
11．已知点和点，点为坐标原点，则
的最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，，则：
，
结合二次函数的性质可得，当时，．
本题选择D选项．
12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，令，由题意可得：，，
据此可得：，则：，，
则：，
由可得：，
结合二次函数的性质可得：，
则：，即的取值范围是．本题选择D选项．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知平面向量与的夹角为，且，，则__________．
【答案】2
【解析】，，即，
，化简得：，．
14．如果，，，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，，，是抛物线C的焦点，若，则_________．
【答案】20
【解析】由抛物线方程，可得．
则，
故答案为：20．
15．若，满足约束条件，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
表示可行域内的点与点连线的斜率．
由，解得，故得；
由，解得，故得．
因此可得，，
结合图形可得的取值范围为．答案：．
16．在三棱椎中，底面是等边三角形，侧面是直角三角形，且，，则该三棱椎外接球的表面积为________．
【答案】12π
【解析】由于，，，则，因此取中点，则有，即为三棱锥外接球球心，又由，得，所以，所以．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足．
（1）证明：是等比数列；
（2）求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由得：，···········1分
因为，
所以，···········3分
从而由得，···········5分
所以是以为首项，为公比的等比数列．···········6分
（2）由（1）得，···········8分
所以
．···········12分
18．“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照，，，分组，得到如下频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从这100名购物金额不少于0．8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．
【答案】（1）64（元）；（2）．
【解析】（1）购物者获得50元优惠券的概率为：，····1分
购物者获得100元优惠券的概率为：，···········2分
购物者获得200元优惠券的概率为：，···········3分
∴获得优惠券金额的平均数为：（元）．····6分
（2）这100名购物者购物金额不少于0.8万元的共有7人，不妨记为，，，，，，，其中购物金额在0.8～0.9万元有5人（为，，，，），利用画树状图或列表的办法易知从购物金额不少于0．8万元7人中选2人，有21种可能；这两人来自于购物金额在0．8～0．9万元的5人，共有10种可能，
所以，相应的概率为．···········12分
19．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，且，，．
（1）求证：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接交于点，连接，
由，分别是棱，中点，故点为的重心，···········2分
在中，有，
，··········4分
又平面，平面，···········6分
（2）取上一点使，
∵且直三棱柱，
∴，∵为中点，
∴，，平面，···········8分
∴，···········9分
而，
点到平面的距离等于，
∴，
∴三棱锥的体积为．···········12分
20．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边
三角形，且椭圆的短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)答案见解析．
【解析】（1）由题意得：，···········2分
解得，∴椭圆的标准方程是···········4分
（2）当直线的斜率不存在时，，
，不符合题意···········5分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
由消整理得：，
，解得或，···········6分
，，···········7分
∴
，···········9分
∵，∴，···········10分
解得，满足，···········11分
所以存在符合题意的直线，其方程为．···········12分
21．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若函数恒成立，试确定的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）由，得：，，······1分
当时，在上恒成立，
函数在上单调递增；···········3分
当时，令，则，得，，
∵，∴，
∴令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减．········6分
（2）由（1）可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，即需，即，···········8分
又由得，代入上面的不等式得，···········9分
由函数在上单调递增，，所以，·······10分
∴，∴，
所以的取值范围是．···········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线：，直线：．
（1）将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线，请写出直线，和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线经过点且，与曲线交于点，求的值．
【答案】（1），；（2）2．
【解析】（1）因为：，所以的直角坐标方程为；·········2分
设曲线上任一点坐标为，则，所以，
代入方程得：，所以的方程为．···········5分
（2）直线：倾斜角为，由题意可知，
直线的参数方程为（为参数），···········7分
联立直线和曲线的方程得，．设方程的两根为，则
，由直线参数的几何意义可知，．···········10分
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式；
（2）记函数的值域为，若，证明：．
【答案】(1)；（2）见解析．
【解析】(1)依题意，得，···········2分
于是得或或，··········4分
解得，即不等式的解集为．···········5分
（2），
当且仅当时，取等号，
∴，···········7分
由，···········8分
∵，∴，，
∴，∴．···········10分
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