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合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题(文科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)设复数(其中为虚数单位)，则=
A. B.3 C.5 D.
(2)已知集合，，则
A. B. C. D.
(3)已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是
A.-1，3 B.，3 C.-1，，3 D.，，3
(4)若正项等比数列满足，则其公比为
A. B.2或-1 C.2 D.-1
(5)运行如图所示的程序框图，则输出的等于
A. B. C.3 D.1
(6)若是两条不同的直线，为平面，直线⊥平面，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(7)右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为个，落在圆内的豆子个数为个，则估计圆周率的值为
A. B. C. D.
(8)函数的图象大致为
(9)若的三个内角所对的边分别是，若，且，则
A.10 B.8 C.7 D.4
(1 0)已知双曲线(，)的上焦点为，是双曲线虚轴的一个端点，过，的直线交双曲线的下支于点.若为的中点，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
(11)我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为
A. B.40 C. D.
(12)若函数在区间上是非单调函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13)已知，，则的值等于_________.
(14)若实数满足条件，则的最大值为______.
(15)已知，.当最小时， .
(16)已知数列的前项和为，且数列为等差数列.若，，则 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数的图象.
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)比较与的大小.
(18)(本小题满分12分)
2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
收看
没收看
男生
60
20
女生
20
20
(Ⅰ)根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？
(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.
附：，其中.
(19)(本小题满分12分)
如图，侧棱与底面垂直的四棱柱的底面是梯形，，，，，，点在棱上，且.点是直线的一点，.
(Ⅰ)试确定点的位置，并说明理由；
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
(20)(本小题满分12分)
记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)若函数的图象在处的切线为，当实数变化时，求证：直线经过定点；
(Ⅱ)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
请考生在第(22)、 (23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线及圆的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线与圆交于两点，求的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)解不等式；
(Ⅱ)设函数的最小值为，实数满足，，，求证：.
合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题(文科)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
B
C
D
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
(13)2 (14)8 (15) (16)3027
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
(Ⅰ)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，
再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
即. ………………………6分
(Ⅱ)，而.
∵，∴. ……………………12分
(18)(本小题满分12分)
(Ⅰ)因为，
所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分
(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人，
所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ………………………8分
(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，
其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，
所以，所求概率. ………………………12分
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)如图，在棱上取点，使得.
又∵，∴.
∴四边形为平行四边形，∴.
过作交于，连结，
∴平面，平面，
∴平面即为所求，此时. ………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，平面，
∴. ………………12分
(20)(本小题满分12分)
(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，
∴椭圆的方程为 ……………………4分
(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线.
由得，.
令得，.
联立与，化简得.
设A()，B()，则
∴，而原点O到直线的距离
∴.
当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，
∴.
综上所述，的面积为定值6. ……………………12分
(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵，∴，.
又∵，∴直线的方程为，
∴直线经过定点(-2，0). ……………………………4分
(Ⅱ)∵，∴.
设，则.
当时，，即在上单调递增，则最多有一个零点，函数至多有一个极值点，与条件不符；
当时，由，得.
当时，；当时，.
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，即.
令，解得.
∵，，∴，
∵在上单调递增，∴在上有唯一零点，
当时，；当时，.
∴在上有唯一极值点.
又∵当时，.
设，其中，则，
∴，∴.
即当时，，
而 ，
∵在上单调递减，∴在上有唯一零点，
当时，；当时，.
∴在上有唯一极值点.
综上所述，当有两个极值点时，. ……………………12分
(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵，∴.
设，则.
令，解得.
∴当时，；当时，.
∴.
当时，，∴函数单调递增，没有极值点；
当时，，且当时，；当时，.
∴当时，有两个零点.
不妨设，则.
∴当函数有两个极值点时，的取值范围为. …………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减.
下面先证，只需证.
∵，得，∴.
设，，
则，∴在上单调递减，
∴，∴，∴.
∵函数在上也单调递减，∴.
∴要证，只需证，即证.
设函数，则.
设，则，
∴在上单调递增，∴，即.
∴在上单调递增，∴.
∴当时，，则，
∴，∴. ………………………12分
(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
(Ⅰ)由直线的参数方程得，其普通方程为，
∴直线的极坐标方程为.
又∵圆的方程为，
将代入并化简得，
∴圆的极坐标方程为. ……………………5分
(Ⅱ)将直线：，
与圆：联立，得，
整理得，∴.
不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.
于是，. ……………………10分
(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
(Ⅰ)，即.
(1)当时，不等式可化为.
又∵，∴；
(2)当时，不等式可化为.
又∵，∴.
(3)当时，不等式可化为.
又∵，∴.
综上所得，，或，即.
∴原不等式的解集为. …………………5分
(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，
∴，即.
令，则，，
，
原不等式得证. …………………10分
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