南阳市2015年高三数学三模试题（文科附答案）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数，则=
A． B． C． D．
3．若函数是奇函数，则实数的值是
A．-10 B．10 C．-5 D．5
4．已知为常数，对于任意数列 是公差为的等差数列，则是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的零点所在的大致区间是
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）
第6题图
开始
否
结束
i≥100？
输出S
是
i＝0，S＝0
S＝S＋i
i＝i＋2
6．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在，
其中支出金额在的学生有134人，频率分布直方图如图所示，则=
A．150 B．160 C．180 D．200
7．双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．3
8．执行右边的程序框图，则输出的S是
第8题图
A．5040 B．4850 C．2550 D．2450
9．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的
曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，
则该几何体的体积等于
A． B． C． D．
第9题图
10．将函数
8
的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，若的图象都经过点，则的值不可能是
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一
个交点，若，则
A． B． C． D．
12．函数的定义域为R，，对任意的，都有成立，则不等
式的解集为（ ）
A．（-2，+） B. （-2,2） C.（-，-2） D.（-，+）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为
14．若变量满足则的取值范围是
15．已知平面向量，，，，则与的夹角为
16．数列的前项和为，已知，且任意正整数，都有，若
恒成立，则实数的最小值为
三、解答题:本大题共5小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2sin2x．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求f(B)的取值范围．
18．（本小题满分12分）某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的
态度进行调查,得到的统计数据如下表所示:
8
积极参加班级工作
不积极参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性不高
6
19
25
合计
24
26
50
（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少?
（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？
（Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系? 请说明理由.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附:
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面四边形为直角梯形，对角线交与点，，底面,点为棱上一动点。
（I）证明：;
（II）若平面，求三棱锥的体积.
20．(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数，，其中均为实数．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）设，，若对任意的、，【
恒成立，求实数的最小值；
8
请考生在第22.23.24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分，做答
时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲
如图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.
（I）求证：AC·BC=AD·AE; （II）若AF=2, CF=2，求AE的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为（t为参数）．
（I）求曲线M和N的直角坐标方程，（11）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=｜3x+2｜
（I）解不等式，
（11）已知m+n=1(m,n>0)，若恒成立，求实数a的取值范围．
高三三模文数参考答案
8
17.解：（Ⅰ）f(x)=1+sin2x+(1–cos2x)=sin2x–cos2x +1+ =2sin(2x–)+1+
∴f(x)的最小正周期T==p．
（Ⅱ）由2acosC+c=2b可得2a+c=2b，即b2+c2–a2=bc，
∴cosA==，∴A=，B+C=，
∴0＜B＜，∴–＜2B–＜p， 因为f(B)=2sin(2B–) +1+，
所以–＜sin(2B–)≤1，f(B)∈(1，3+]．
18．解析：（Ⅰ）（Ⅱ）设这7名学生为a,b,c,d,e,A,B(大写为男生)，则从中抽取两名学生的所有情况是：ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,Bb,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,eA,eB,AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴
（Ⅲ）根据
∴我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.
19. （I）证明：在底面直角梯形中，
又底面，故 平面
6分
（II） 因为平面，所以
又,且,故为的三等分点 9分,
所以为的三等分点,因此，
8
20.解：（Ⅰ）解得： 所以抛物线的方程为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的焦点 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合
椭圆半焦距椭圆的离心率为，，椭圆的方程为：
设、，由得
由韦达定理得：， …………8分
由或…①…………10分
∵原点在以线段为直径的圆的外部，则，
……②
由①、②得实数的范围是或 ………………………13分
21．（Ⅰ），令，得，列表如下：
+
-
↗
极大值
↘
∴当时，取得极大值，无极小值；
（Ⅱ）当时，时，，，
∵在恒成立，∴在上为增函数，
设，∵在上恒成立，
∴在上为增函数，
不妨设，则等价于：
，即，
设，则在上为减函数，
8
∴在上恒成立，
∴恒成立，∴，，
设，∵，，
∴，∴，为减函数，
∴在上的最大值，∴，∴的最小值为；
22. （Ⅰ）证明：连结，由题意知为直角三角形.
因为，，∽，
所以，即.
又，所以. ……… 5分
（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，又，所以，因为，
又，所以∽. 所以，得
… 10分
23. （Ⅰ）由得，
所以曲线可化为，， ……2分
由，得，
所以，所以曲线可化为.……… 4分
（Ⅱ）若曲线，有公共点，则当直线过点时满足要求，此时
8
，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立，得，，解得，
综上可求得的取值范围是. ……… 10分
24. 解：（I）不等式，即， . … 5分
（Ⅱ），
令时，，要使不等式恒成立，只需即. … 10分
8
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