南阳市2015年高三数学三模试题（理科带答案）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，且，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则为（ ）
A． B． C． D．
3．在如图所示的程序框图中，如果任意输入的t∈，那么输出的s取值范围是( )
A． B． C． D．(-6，6]
4．如图是一个有底的容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图像是( )
5．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
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6．已知是首项为的等比数列，是其前项和，且,则数列 前项和为（ ）
A． B． C． D．
7．A和B是抛物线上除去原点以外的两个动点，是坐标原点且满足
，则支动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
8．设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使
（O为坐标原点）且则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．设若，则z的最小值为（ ）
A.-4 B.-2 C.-1 D.0
10. 已知函数是定义在上的偶函数，则 的最小正周期是（ ）
A. 6π B. 5π C.4π D.2π
11．函数,为奇函数，当时，，若 ，则a，b，c的大小顺序为( )
A. a＜b＜c B. c＞b＞a C. c＜a＜b D. c＞a＞b
12．设函数在上存在导数，，有，在 上，若，则实数的取值范围为（ ）
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.
13．设A＝，则=
14．已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 .
15．已知数列是各项均不为的等差数列,为其前项和,且满足．
若不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是 ．
16．如图，已知正方形的边长为，在延长线上，且.动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，则下列命题正确的是 .（填上所有正确命题的序号）
①；②当点为中点时，；③若，则点有且只有一个；④的最大值为；⑤的最大值为.
三、 解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，满足，且.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值.
14
18．（本小题满分12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
芯片甲
8
12
40
32
8
芯片乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，
（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列；
（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．
19. （本小题满分12分）如下图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．
（1）证明：；
（2） 求与平面所成的角的正切值；
（3）若，当为何值时，．
20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设 是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为.
（1）若直线互相垂直，且在第一象限，求圆的方程；
（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：
21. （本小题满分12分）设函数．
（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
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（2）若，试比较当时，与的大小；
（3）证明：对任意的正整数，不等式成立．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B铅笔在答题纸上把所选题目的题号涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知AB是⊙O的直径，F为圆上一点，∠BAF的角平分线与圆交于点C，过点C作圆的切线与直线相交于点D，若AB＝6，∠DAB＝
（1）证明：AD⊥CD；
（2）求的值及四边形ABCD的面积.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知⊙C的极坐标方程为：
（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的圆心坐标, 并选择合适的参数, 写出圆C的参数方程；
（Ⅱ）点在圆C上，试求的值域
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）设,且满足:,,求的值；
（2）设不等式的解集为,且,.求函数
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的最小值.
三模理科数学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
1. 由知,故选. 2. B 3. C 4.B 5. A
6.A 根据题意，所以，从而有，所以，所以有，所以数列的前10项和等于.
7. A 8.A 9.C 10. A 11. D 12.B 设
因为对任意 ，
所以，=
所以，函数为奇函数；又因为，在上，
所以，当时 ， 即函数在上为减函数，因为函数为奇函数且在上存在导数，所以函数在上为减函数，所以，
所以，
14
所以，实数的取值范围为.
13. 128
14. 设正六棱柱的的底面边长为，高为，则，所以，正六棱柱的体积，，令，解得，令得，即函数在是增函数，在是减函数，所以在时取得最大值，此时.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为所以外接球的表面积为
15. 试题分析：由题意,则,
当为偶数时由不等式得,即,
是增函数,当时取得最小值,所以
当为奇数时,,函数,
当时取得最小值为,即所以,综上,的取值范围是.
考点：数列的通项公式,数列与不等式恒成立的综合问题.
16.答案①②④⑤
试题分析：不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，
(1)则B（1，0），E（-1，1），故AB=（1，0），AE==（-1，1），=
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，由图像可知，故①正确；(2)当点为中点时， ，= ，所以=，解得，则，故②正确；
(3)当λ=1，μ=1时，AP=（1，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，
当λ=,μ= 时，AP=（1，），此时点P为BC的中点，满足λ+μ=2，
故满足λ+μ=2的点不唯一，故③错误；
(4)当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
综上可得0≤λ+μ≤3，故④正确，
(5) ==,
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤-λ≤1，故有-1≤≤0，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，0≤2μ≤2,所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1
故-2≤-λ+2μ≤1，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1，故-1≤≤0，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，-1≤-λ≤0，故0≤-λ+2μ≤1，
综上可得-2≤-λ+2μ≤1，故⑤正确，
考点：向量加减的几何意义，向量的线性运算性质及几何意义
17.解析：（1）由，可得，即，又，所以，
由正弦定理得，
因为，所以0，从而，即.
（2）由余弦定理，得，
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又，所以，于是，
当时，取到最大值.
18．（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，
芯片乙为合格品的概率约为． …（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.
； ；
； ．
所以，随机变量X的分布列为：
X
90
45
30
﹣15
P
…（8分）
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．
依题意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得 ．所以 n=4，或n=5．
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，
则 ． …（12分）
19. 方法一（综合法）:（1）证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以．（1分因为是一个长方体，
所以，而，所以，所以．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，
由线面垂直的判定定理，可得． （4分）
（2）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE（5分）
因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，
所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．（6分）因为PE=1，AE=，
所tan∠PAE=．（7分）所以PA与平面ABCD所成角的正切值为（8分）
（3）当a=2时，PC∥平面AB1D． （9分）
当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，
所以∠C1DC=45°，而∠PDC=45°，
所以∠PDC1=90°，所以．
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而，与在同一个平面内，所以．（10分）而，所以，所以． （12分）
方法二：（向量法）（1）如图建立空间直角坐标系，
设棱长，则有，，，．（2分）于是，，
所以，．（3分）
所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得． （4分）
（2），所以，
而平面的一个法向量为． （5分）
所以． （6分）
所以与平面所成的角的正弦值为． （7分）
所以与平面所成的角的正切值为．（8分）
（3）∵ ，，，∴，．
设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为． （10分）
若要使得，则要，
即，解得．
所以当时，． （12分）
20. 解：（1）由题圆的半径为因为直线互相垂直，且与圆相切，所以，即① 又在椭圆上，所以②
由①②及在第一象限，解得所以圆的方程为：
（2）证明：因为直线均与圆相切，所以
化简得
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同理有
所以是方程的两个不相等的实数根，
所以 又因为在椭圆上，所以
即所以即
21.解析：（1）∵又函数在定义域上是单调函数.
∴ 或在上恒成立
若在上恒成立，即函数是定义域上的单调地增函数，则在上恒成立，由此可得；
若在上恒成立，则在上恒成立.即在上恒成立.
∵在上没有最小值
∴不存在实数使在上恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）当时，函数.
令
则
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显然，当时，，所以函数在上单调递减
又，所以，当时，恒有，即恒成立.
故当时，有
（3）法1：证明：由（2）知
即
令，,即有
所以（）
因此
故对任意的正整数，不等式成立．
法2：数学归纳法
证明：1、当时，左边=，右边=，原不等式成立.
2、设当时，原不等式成立，
即
则当时，
左边=
只需证明
即证，即证
由（2）知
即
令，即有
所以当时成立
由1、2知，原不等式成立
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22. 解析： 连接OC，过O作OE⊥AC（E为垂足），
易知∠∠OCA（AC为∠BAD的平分线）
⟹OC∥AD，CD是⊙O的切线，
，，，由知AD⊥CD，∠DAC，又，，
23. 解析： 取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的轴，取其单位长度，于是代入圆C：得：
，圆C的圆心坐标为，
半径为,取旋转角为参数,则圆C的参数方程为C:
设
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，的值域为
24. 【答案】解:(Ⅰ)由题
但由柯西不等式，
当且仅当且，即时取等，故取等条件必须成立，此时
（2）因为,且,所以,且
解得,又因为,所以
因为
当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为
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