泉州市2015届高三数学质量检测试卷2（理科带答案）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,设复 数，则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2．以下判断正确的是（ ）
A.函数为上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件. B.若命题则
C.命题“在中，若”的逆命题为假命题
D.“已知不等式对任意正数、恒成立”的充要条件为“”
3、函数的大致图象为（ ）
A B C D
4、某几何体的三视图如图所示，图中方格的长度为，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5、高三一班共选出共有5个节目参加学校的文艺汇演，其中3个舞蹈节目，2个小品节目；如果2个小品节目不能连续出场，且舞蹈节目甲不能在第一个出场，那么出场顺序的排法种数为（ ）
A. B. C. D.
6、已知数列满足：，用表示不超过的最大整数，则
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的值等于（ ）
A. B. C. D.
7、将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数与，，轴围成的图形面积为（ ）
A. B. C. D.
O
8、设、分别为双曲线C：，的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以为直径的圆
交双曲线一条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
9、已知是所在的平面内的个相异点，
且. 给出下列命题：
①； ②的最小值不可能是；
③点在一条直线上； ④向量及在向量的方向上的投影必相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
10、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置。
11、图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第
12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范
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围内考试次数的一个程序框图．那么输出的结果是________．
12、已知，则二项式的展开式中的系数为 .
13、已知在中，,.设过点在内随机的作射线交斜边于点，的概率为；在斜边上随机的取一点，的概率,则 （填“”或“”或“”）.
14、已知实数满足不等式组，则的取值范围是 .
15、已知函数的定义域为D，若函数的导函数存在且连续且为的极值点；则称点（，）是函数的拐点。则下列结论中正确的序号是 .
①函数的拐点为;②函数有且仅有两个拐点；
③若函数有两个拐点，则；④函数的拐点为（，），则存
在正数使在区间和区间 上的增减性相反
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某位大众评审对这位歌手进行投票，每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的，求：
（Ⅰ ）恰有人把票投给歌手甲的概率；（Ⅱ ）投票结束后得票歌手的个数的分布列与期望．
17、数列满足，，且。
（Ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和；
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（Ⅱ）求正整数，使得
18、已知圆及点,在圆任取一点,连结并延长交圆于点,连结,过作∥交于,如图所示.
(1)求点的轨迹方程;(2)从点引一条直线交轨迹于两点,变化直线,试探究是否为定值.
19、如图一，在四边形中，，， ，，在边上取一点，使（PE足够长），连结，将与分别沿折起，使平面⊥平面,且∥（如图二）；过作平面交、分别于点、．
（1）求证：∥；（2）设，求l 的值，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为45°
20、设函数，其中和是实数，曲线恒与
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轴相切于坐标原点．
求常数的值；当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
求证：．
21． 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知平行四边形的四个顶点的坐标分别为，，，.其在矩阵所对应的变换作用下变成菱形。则：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求矩阵的逆矩阵．
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
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轴的非负半轴为极轴建立平面极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.
（Ⅰ）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
已知实数满足．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
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泉州七中2015届高三年校质检（二）理科数学试卷参考答案
1-10：BDCCD; BCABA; 11：; 12: 40 ; 13：>; 14：; 15：①③；
16、解析：（Ⅰ）解法一：所有可能的投票方式有种，恰有2人把票投给歌手甲的方式种，从而恰有2人把票投给歌手甲的概率为……5分，解法二：设对每位投票人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“把票投给歌手甲”为事件，则，从而，由独立重复试验中事件恰发生次的概率计算公式知，恰有2人把票投给歌手甲的概率为
（Ⅱ）ξ的所有可能值为：，则,（或），（或），
综上知，ξ有分布列
1
2
3
P
从而有
………………………13分
17：解：（Ⅰ）因为对任意正整数，，且，故，
所以数列是以1为公差的等差数列，且.…………………………（4分）
所以.数列的前项和为.……………（6分）
（Ⅱ）因为，所以，.所以，
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，
……………………………………（9分）
，由，得.………………………………（13分）
18：解析：(1)∵∥，∴,∴点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，其轨迹方程为：。…………4分
(2)（Ⅰ）若的斜率存在时，设为：，联立，可得：，不妨设，则，
∴
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（Ⅱ）若的斜率不存在时，此时，则，此时.综上可知，变化直线,则为定值.
19：【解析】(1) 证明：因为 PE∥CB，所以BC∥平面APE …………… 3分
又依题意平面ABC交平面APE于MN，故MN∥BC，所以 MN∥PE ……………… 5分
(2) 法一：解：由(Ⅰ)知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N—CB—A．因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩ 平面ABC = AC，且CB⊥AC，所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知为二面角N—CB—A的平面角……11分所以．在△NCA中运用正弦定理得，
．所以，． ……13分
方法二：由已知CA ＝1，如图以点C为原点建立 空间直角坐标系C－xyz，
设，则， ，， ，．…… 6分
由，得， ． …… 7分
，，设平面CMN的法向量，则，，可取，…… 9分，又=(0，0，1) 是平面的一个法向量．由，以及可得，……11分,即．解得（舍去），故．……13分
20、解析：(1) 对求导得：，根据条件知
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，所以.
(2) 由(1)得，
，.
① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有，符合题意；
②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有，不合题意；
③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有，不合题意；.综上可知，所求实数的取值范围是. （9分）
(3) 对要证明的不等式等价变形如下：
所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形
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对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有. 取，当时，成立；当时，. 从而对于任意正整数都有成立.
对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立.因此对于任意正整数，不等式恒成立，这样依据不等式，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立. (14分)
21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
解：（Ⅰ）由题意可知点在矩阵所对应的变换作用下变成点，故点，，，……2分
显然四边形为平行四边形，故要使得为菱形，只需，即，由，解得……4分;（Ⅱ）由，故.……7分.
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
解析：（Ⅰ）由可得：，即曲线的直角坐标方程为
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.…………3分
（Ⅱ）法一：由直线经过点，可得直线的直角坐标方程为，联立，可得，…………5分,又点为抛物线的焦点，故由抛物线定义可知，弦长.…………7分法二：由直线经过点，得，直线的参数方程为，…………5分，把直线的参数方程代入，得，
∴…………7分，
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
解析：（Ⅰ）由柯西不等式，即，
当且仅当即，时，取得最大值3．当且仅当即，时，取得最小值，所以的取值范围是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式对一切实数恒成立，当且仅当成立，即或解得，或，
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