2015年湖南省高考数学理科试卷
本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1.已知（为虚数单位），则复数=（ ）
A. B. C. D.
2.设A,B是两个集合，则””是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.冲要条件 D.既不充分也不必要条件
3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( )
A. B. C. D.
4.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
5.设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）
A. B. C.6 D-6
7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）
A. B. C. D.
4
10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. .
12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.
若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .
13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .
14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .
15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .
三、解答题
16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（1）；
（2）
（Ⅱ）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
4
（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求的值.
（Ⅲ）设，且.
（1）；
（2）与不可能同时成立.
17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角》
(1)证明：
（2）求的取值范围
18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
19.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别在棱、BC上.
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若PQ//平面，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.
20.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点F的直线与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形
21.已知，函数. 记为的从小到大的第n个极值点,
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证明：
（1）数列是等比数列
（2）若，则对一切，恒成立.
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