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2018年深圳市初中毕业生学业考试
数学学科说明
深圳市初中数学学业考试，是义务教育阶段的终结性考试，目的是全面、准确地评估初中毕业生达到《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）所规定的数学毕业水平的程度，是高中阶段学校招生的重要依据之一。
一、考试命题的指导思想
1．数学学业考试体现《标准》的评价理念，引导和促进数学教学全面落实《标准》所设立的课程目标，改善学生的数学学习方式、丰富学生的数学学习体验、提高学生学习数学的效益和效率，有利于高中阶段学校综合、有效地评价学生的数学学习状况。
2．数学学业考试既重视对学生学习数学知识与技能的结果和过程的评价，也重视对学生在数学思考能力和解决问题能力方面发展状况的评价，还重视对学生数学认识水平的评价。
3．数学学业考试命题面向全体学生，根据学生的年龄特征、个性特点和生活经验编制试题，使具有不同的数学认知特点、不同的数学发展程度的学生都能表现自己的数学学习状况，力求公正、客观、全面、准确地评价学生通过义务教育阶段的数学学习所获得相应发展。
二、考试命题原则
数学学科毕业考试的命题遵循以下基本原则。
1．考查内容依据《标准》，体现基础性
命题突出对学生基本数学素养的评价。试题首先关注《标准》中最基础和最核心的内容，即所有学生在学习数学和应用数学解决问题过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法，基本概念和常用的技能。所有试题求解过程中所涉及的知识与技能以《标准》为依据，不扩展范围与提高要求。
2．试题素材、求解方式等体现公平性
数学学业考试的内容、试题素材和试卷形式对每一位学生是公平的。试题不需要特殊背景知识也能够理解。对于具有特殊才能和需要特殊帮助的学生，试题允许学生用各自的数学认知特征、已有的数学活动经验，来表达自己的数学才能。制定评分标准系统时以开放的态度对待合理的、但没有预见到的答案形式，尊重不同的解答方法和表述方式。
3．试题背景具有现实性
试题背景来自于学生所能理解的生活现实，符合学生所具有的数学现实和其它学科现实。应用性问题的题材具有鲜明的时代特征，能够在学生的生活中找到原型。
4．试卷具备有效性
数学学业考试试卷应当有效地反映学生的数学学习状况，以下几点应当特别注意：
（1）关注对学生数学学习各个方面的考查，既有对学生数学学习结果的考查，也包括对学生数学学习过程的考查；既有对学生数学思维水平的考查，也包括对学生数学思维特征的考查。
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（2）试卷形式以选择题、填空题、计算（求解）题、证明题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题和开放性问题为主要题型。
（3）试题的求解过程反映《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、猜测、验证、推理等等，而不仅仅是记忆、模仿与熟练。
三、考试内容
数学学业考试的考查内容以《标准》中的“内容标准”为基本依据。考试内容包括：基础知识与基本技能；数学活动过程；数学思考；解决问题能力；对数学的基本认识等。具体如下：
1．基础知识与基本技能考试的主要内容：
了解数产生的意义，理解数与代数运算的意义、算理，能够合理地进行基本运算与估算；能够在实际情境中有效地使用代数运算、代数模型及相关概念解决问题；
能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合；
能对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性；
正确理解数据的含义，能够结合实际需要有效地表达数据特征，会根据数据结果做合理的预测；了解概率的涵义，能够借助概率模型、或通过设计活动解释一些事件发生的概率。
2．“数学活动过程”考查的主要方面：
数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究与交流的意识、能力和信心等。
3．“数学思考”考查的主要方面：
学生在数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识等方面的发展情况，其内容主要包括：
能用数来表达和交流信息；能够使用符号表达数量关系，并借助符号转换获得对事物的理解；能够观察到现实生活中的基本几何现象；能够运用图形形象地表达问题、借助直观进行思考与推理；能意识到做一个合理的决策需要借助统计活动去收集信息；
面对数据时能对它的来源、处理方法和由此而得到的推测性结论做合理的质疑；面对现实问题时，能主动尝试从数学角度、用数学思维方法去寻求解决问题的策略；
能通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性等等。
4．“解决问题能力”考查的主要方面：
能从数学角度提出问题、理解问题、并综合运用数学知识解决问题；具有一定的解决问题的基本策略。
5．“对数学的基本认识”考查的主要方面：
对数学内部统一性的认识（不同数学知识之间的联系、不同数学方法之间的相似性等）；对数学与现实、或其他学科知识之间联系的认识等等。
四、考试形式与试卷结构
数学学业考试采用书面闭卷考试的形式。
试卷结构为：全卷满分为100分，考试时间为90分钟．
数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合四个领域在试题中所占的比重与它们在教学中所占课时的百分比大致相同，数与代数约占45%，空间与图形约占35%，统计与概率约占15%，实践与综合约占5%。
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试题题型将有如下形式：选择题、填空题、计算（求解）题、证明题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题、开放性问题等。
试题按其难度分为容易题、中等题和难题．三种试题分值之比约为5∶3∶2．
五、试题类型与题型
数学学业考试的命题以《标准》为基本依据，参照《标准》中“评价建议”的要求，充分发挥各种已有题型的功能，其基本原则为以下几个方面：
（1）考查内容的重心是《标准》中最基础和最核心的内容。即对所有学生来说，在他们学习数学和应用数学解决问题过程中是最重要的、必须掌握的核心观念，重要的思想方法、基本的概念，常用的技能。不出现“繁、偏、旧”试题。
（2）科学性与合理性，既包括它在数学方面是正确的，又包括它所描述的问题情境是合理的、而非臆造的。
（3）准确、简洁、可读性，确保试题不产生歧义。具体表述时可以是抽象的数学语言，也可以是形象化的语言和符号；不造成文字量过多而提高题目的“难度”；试题的表达应符合初中毕业生的阅读习惯。
（4）试题的“难度”不反映在对某个具体技巧的掌握及熟练程度、或者问题本身的复杂程度上，而是反映在对学生数学思维水平（如抽象程度、多样化、逻辑性、形象化等）和对数学的理解与应用能力（如能否洞察较为深刻的数学关系、数学特征，用数学解决问题时的策略有效性等）等方面的考查上。
具体题型的命题要求如下：
1．选择题与填空题
这两类试题只要求学生给出问题的最终答案，并只依据学生提出的最终答案评判学生解答这类题目正确与否。
这两类试题可以用于特定基本数学事实、数学技能的考查，试题可以用多种表达方式，包括文字、图像与代数符号等陈述。
2．计算（求解）类问题
这类试题的目标清晰，对解决问题过程中所需要的数学知识、方法有较明确的提示。解题过程中学生需要做的主要活动是回忆、严格按照程序操作不出无意识错误等。这类试题通常用于对一些数学公式、数学技能的熟悉与熟练情况的考查，这一类试题的运算种类、步骤、复杂程度均不超过《标准》的要求。
3．证明题
这类试题所涉及的活动既有寻找这些数学逻辑关联的探索性活动，也有对相关数学证明方法、证明技巧的有效应用，甚至还蕴涵对问题不同角度的理解、不同方式的表达等等。这类试题用于考查学生逻辑推理能力、逻辑关系的寻求和把握状况、对数学证明的过程与方法的理解和掌握情况。
证明试题首先在于由条件和结论所构成的命题具有价值；其次是求解策略的空间比较大——可以通过对试题采用不同的认识角度，而获得不同的证明思路；再就是基本的证明过程应当能够反映学生对相应数学知识或方法的理解水平。试题在表达的清晰性、准确性等方面需要注意以外，还应注意试题的“难度”不宜落实在是否能够找到那个特定的证明模式上（如辅助线、代数表达式、特殊数值）或者知道某个特定的技巧上。另外，对于每一步的理由说明也不做要求。
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4．应用题
此类问题有利于考查学生数学建模的能力、对相应知识与方法的理解水平、解决问题的意识与能力，这类试题的命制原则包括以下几点：
（1）问题背景是现实的，如关于资源、环境、其他学科活动、经济生活、数学游戏或故事，而不是脱离生活实际的、人为编造的情境。
（2）内容以及叙述方式是可理解的，不需要学生已经拥有一些特定的背景知识或技能（除非事先给出解释）。
（3）内涵是丰富且有价值的，即问题本身或求解过程中涉及丰富而重要的数学概念、数学思想方法。
5．阅读分析题
这类试题用于评价学生认识数学、理解数学以及数学学习的能力；考查学生寻求具体对象的数学性质、对象之间的数学关系、对数学知识的理解水平以及数学方法的应用水平等；还用于考查学生获取图表所含数学信息的能力，从已有信息中做出合理推断的能力，其基本原则如下：
（1）问题背景隐含重要数学概念、性质或关系，素材来源于生活、来源于数学或其他学科。
（2）问题以新的数学为对象，包括概念、法则、公式、命题等为主要对象。问题本身或求解关注对变化对象的研究、对变化关系的理解，不以求未知量为所有研究对象。
（3）问题的挑战性落实在研究数学意义上，而不是阅读方面的障碍导致学生解答困难。
（4）通过阅读图表获得的信息应当超越借助代数运算获得的结果，用于考查学生对相应数学对象的整体把握水平，包括估算能力，要求学生做一些合理的预测和推断。
6．探索题
这类试题用于考查学生的数学实践能力、探索能力，考查学生“做数学”与从事“数学化”活动的能力；评价学生从事归纳、类比、概括、推理等思维活动的水平，以及对自我数学活动过程与结论的反思能力等，其基本要求如下：
（1）试题背景具有实质性意义，而不仅仅将探索对象归结为对一列数字特征的归纳。
（2）试题的求解过程体现策略多样化的特点，允许借助直觉思维、或对问题的整体把握而直接获得合理的猜测。
（3）试题中的设问能引发学生对自我思考过程、而不仅仅是对结果的反思。
（4）试题的评分标准充分考虑到多种合理性答案及评分规定，没有科学性错误。
7．开放性问题
这类试题能给每一位学生提供用自己掌握的知识、熟悉的方式去表达对问题的理解的机会，用于考查学生直觉思维和发散思维的活动水平，从而能够较全面地推断学生的数学学习状况。这类试题的命题基本要求如下：
（1）问题的“开放性”落实在问题所提供的条件具有不确定，解决问题的策略多样化、不同但合理的答案个数不确定（不是仅仅指答案个数多于1）、问题结构的可改变性等方面。
（2）能使所有的学生都能够给出自己对问题的理解、解答。合理的解答包括在数学上程度不同、在思维水平上存在差异、在表述形式上多样的答案。
（3）问题本身或求解过程中涉及丰富且重要的数学概念、数学思想方法，有利于学生从事有价值的数学活动——观察、实验、猜测、验证、推理等。
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而要注意的是，此类试题存在着评价标准难于制定和对阅卷数学教师素养要求较高等方面的问题。
【考试说明中有必要在7大类型的题型之外，加入第8类型“实践操作类问题”的说明，包括尺规作图、计算器按键顺序、平移、旋转、折叠、量一量、剪一剪、画一画、折一折等等动手实践能力的考查，不在于真的需要学生实际动手操作，旨在考查学生对相关数学原理的理解与领悟。
就对“数学意识”的考查来说，除了“数的意识”“符号意识”“空间观念”“数据分析意识”之外，对“数学应用意识”的考查主要涉及两个方面，一是有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象；二是认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。】
【既然“阅读理解题”已经作为一类题型在考试说明中给予了说明，那么很能体现动手能力、实践能力和数学意识的“实践操作类问题”很有必要作为一类题型纳入到我们的考试说明，2015年已经“尺规作图”这种操作题方面进行了尝试，并坚持下来，后期应该在这方面进一步推进，这也符合中国学生发展核心素养大趋势。】
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样题
第一部分 选择题
Ⅰ．选择题（每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．的相反数数是（ ）（删去“数”字）
A． B． C． D．
2．如右图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
A．100分 B．80分
C．60分 D．40分
3．中国企业2016年已经在“一带一路”沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了180 000个就业岗位．将180 000用科学记数法表示应为（ ）
A．1.8×103 B．18×103 C．1.8×104 D．1.8×105
4．下列计算正确的是（ ）
A．＋＝ B．(a2)2＝－a4
C．(a－2)2＝a2－4 D．÷＝(a≥0，b＞0)
5．图1所示的几何体，它的俯视图为图2，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6. 五张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等边三角形、线段，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
7. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如下图所示，则正确的结论是(%//%)
0
1
-5
-4
-3
-2
-1
2
3
4
5
a
b
c
d
A．a＞－4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b＋c＞0
8. 已知m2＋n2＝n－m－2，则－的值等于 ( )（解答此题用到因式分解中的分组分解法，超标准要求。）
C
E
A
D
B
A．1 B．0 C．－1 D．－
9．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E
恰好落在AB延长线上，连接AD ．下列结论一定正确的是 (%//%)
A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C
C．AD∥BC D．AD＝BC
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10. 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
（选项B的图形画得不标准）
A． B． C． D．
11．如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，
根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4﹣=6 B．4+40+40=6
C．4+=6 D．÷+4=6
12．求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又∵BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
13.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），
若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，
则实数b的取值范围是（ ）
A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣2
14．如图，是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）
A． B． C． D．
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15. 下列命题：
①方程x2=x的解是x=0；②连接矩形各边中点的四边形是菱形；
③如果将抛物线y=2x2向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是；
④若反比例函数与图象上有两点（，y1），（1，y2），则y1＜y2，（删去“与”字）
其中真命题有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
16．观察如图所示的前三个图形及数的规律，则第四个图形中□的数是
C
B
A
C′
B′
A． B．3 C． D．
17. 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A
逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A． B．
C． D．
18.
y
B
O
A
x
A′
B′
如图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的
图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线
段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是（ ）
A．y＝(x−2)2−2 B．y＝(x−2)2＋7
C．y＝(x−2)2−5 D．y＝(x−2)2＋4
19. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若
动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运
动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5
C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
y
O
A
x
x=1
20．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，3)，(0，4)之间(包含端点)，则下列结论：
①abc＞0；②3a＋b＜0；③－≤a≤－1；
④a＋b≥am2＋bm(m为任意实数)；
⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝n有两个不相等的实数根．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
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21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
C
F
E
A
D
B
O
①∠ACD＝30°；②S□ABCD＝AC•BC；
③OE：AC＝：6；④S△OCF＝2S△OEF．
成立的个数有其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
第二部分 非选择题Ⅱ．填空题
22．分解因式： x2y﹣y3= ．
23．若与是同类项，则 ．
24．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么i1=i，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，i5=i，i6=﹣1…，那么i2018= ．【阅读理解题尽量不要用高中知识背景，以免引起误导！】
A
B
C
D
α
68º
25．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，…
则第7幅图中共有 __ 个． 【此类探索规律题应去除】
26．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α= °．（图形不标准，已换了一个图形）
27．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．（这种有多个空及填空题有多个答案的题是否合适？【不必多空，但阅读材料是可取的】
28．若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为%// //%．
29．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是 ．
30．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC作正方形ACDE，则边BE的长是 ．
31．如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B ．若四边形OAPB的面积为12，则k＝%//%．（图形不准确，已换了一个图形）
x
M
P
B
A
y
N
O
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第29题图 第30题图 第31题图
32．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝%////%°．
33．如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为 ．
34．如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为%/ //% m(容器厚度忽略不计)．
A
B
D
A
M
B
N
C
F
70°
100°
第32题图 第33题图 第34题图
y
x
9
4
O
②
P
D
B
A
C
①
35．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动至点A处停止．设点P的运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为%// %．图3-1-11
36．如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．
Ⅲ．解答题
37.计算：．
38. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=3．
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39.解不等式组，并把解集表示在数轴上．
40.解方程：
41.在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
42.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
43．九年级（1）班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为60 m2的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如图所示：
（1）从统计图中可知：擦玻璃的面积占总面积的百分比为 ，每人每分钟擦课桌椅 m2；
（2）扫地拖地的面积是 m2；
（3）他们一起完成扫地和拖地任务后，把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能最快地完成任务？（要有详细的解答过程）
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44.小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°=（）2+（）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
45．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E
（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，
求∠AEC的度数．
46.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点
A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点
（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
47.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
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48.甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的（删去“园的”二字）草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．
（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 30 元；（删去“30”这个数）
（2）求y1、y2与x的函数表达式；
（3）在图中画出y1与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．
49．学校准备租用一批客车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？
50．如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不计），求乙楼的高度CD．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）
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51．在△ABC中，∠BCA=90°，CD是AB边上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．
52. 甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
53. 如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
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54. 如图11，已知一次函数 与轴、轴分别交于点Q、P，与双曲线 交于A，B两点，其中A(5,m)，B(12,5)。（点B坐标可以不给，属多余条件）
（1）求反比例函数的表达式及m的值；（2分）
（2）如图12，连接OA，OB，求AOB的面积；（3分）
（3）若G为PQ的中点，连结OG, 如图13，动点从P点出发沿线段PO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，动点同时从O点出发沿线段OG以每秒个单位长度的速度向点G运动,到达G点后再以同样的速度从G点沿线段GP向终点P运动；当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使MNO为等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（5分）
图11
图12
图13
55．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
y1（分钟）
18
20
22
25
28
（1）求y1关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
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56．如图，以⊙O两条互相垂直的直径所在直线为轴建立平面直角坐标系，两坐标轴交⊙O于A，B，C，D四点，点P在弧CD上，连PA交y轴于点E，连CP并延长交y轴于点F．
（1）求∠FPE的度数；
（2）求证：OB2=OE•OF；
（3）若⊙O的半径为，以线段OE，OF的长为根的
一元二次方程为x2﹣x+m=0，求直线CF的解析式；
（4）在（3）的条件下，过点P作⊙O的切线PM与x轴交于点M，
求△PCM的面积．
（此题第（3）小题用到了一元二次方程的根与系数的关系，为选学内容，不作考试要求，建议删去，或改变第（3）小题的已知条件。）【一个小小的建议：选学内容不是不能考，但如果要考的话，需要提前给全体数学老师说明，告知选学内容也要教给学生！因为在其他版本的教材中，该部分内容往往依然在考试中作为常规考核内容的】
57．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若，且AC=4，求CF的长．
58．对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°，若x、y、z满足x2+y2=z2，我们定义这个三角形为美好三角形．
（1）△ABC中，若∠A=50°，∠B=70°，则△ABC （填“是”或“不是”）美好三角形；
（2）如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=60°，AC=4，⊙O的直径是，
求证：△ABC是美好三角形；
（3）已知△ABC是美好三角形，∠A=30°，求∠C的度数．
59．已知二次函数的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
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（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
60．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．
61.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
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（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
62.问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，
在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，
连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的长．
63.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（此问计算过程中用到了分母有理化的知识，即需化简，超《标准》要求。）
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
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64.如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当FH=，DM=4时，求DH的长．
65.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+2的图象交坐标轴于点A和B，点M（a，0）在x轴正半轴上，以M为圆心，MO长为半径画⊙M．
（1）当点M在线段OA上时
①若BM平分∠OBA（如图1），求证：直线AB与⊙M相切；
②若⊙M于直线AB相交于点C、D（如图2），试用含a的代数式表示CD2；
（2）若⊙M于直线AB相交于点C、D，且∠CMD=120°，求a的值．
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66.如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF．将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，
求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．
数学样题参考答案：
Ⅰ．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
答案
A
B
D
D
D
B
C
C
C
D
D
B
C
A
B
A
B
D
D
B
A
Ⅱ．填空题
22. 23. 4 24. -1 25. 13 26. 56° 27. ；2或﹣1．
28. 5 29. a+b=0 30. 2 31. 6 32. 95° 33. 34. 1.3 35．20 36．
Ⅲ．解答题
37.解：原式＝.
38．解：原式=×
= ，
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当a=3时，原式==．
39．
∵解不等式①：x＜4，
解不等式②：x＜3，
∴原不等式组的解集是：x＜3，
原不等式组的解集在数轴上表示为：．
40．解:去分母:
化简得:
经检验，原分式方程的根是：.
41．解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，
∴p=1+0﹣2=﹣1；
若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，
∴p=﹣3﹣1+0=﹣4；
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A表示﹣31，
∴p=﹣31﹣29﹣28=﹣88．
42．解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25， ∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
43．解：（1）根据题意得：
擦玻璃的面积占总面积的百分比是：1﹣55%﹣25%=20%；
每人每分钟擦课桌椅m2； 故答案为：20%，；
（2）扫地拖地的面积是60×55%=33（m2）； 故答案为：33．
（3）设擦玻璃x人，则擦课桌椅（13﹣x）人，根据题意得：
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（x）：[（13﹣x）]=12：15，
解得：x=8，经检验x=8是原方程的解．
答：擦玻璃8人，擦课桌椅5人．
44．解1：（1）当α=30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（）2+（）2
=+=1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，
设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（）2+（）2
= = =1．
45．解：（1）如图所示；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B=50°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．
46．解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
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∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴或，
∴==或，
∴BE=2，CE=，或CE=，
∵BC•EF=BE•CE，
∴EF=2，CF==1，
∴E（2，2），或（3，）．
47．（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，
∴DE=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD=90°，AE=DE，
∴BE=DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，
∴AB=BC=1，
∵AD=2BC=2，
∴sin∠ADB=，
∴∠ADB=30°，
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∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC=．
48．解：（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克=30元．
故答案为：30．
（2）由题意y1=30×0.6x+60=18x+60，
由图可得，当0≤x≤10时，y2=30x；
当x＞10时，设y2=kx+b，
将（10，300）和（20，450）代入y2=kx+b，
解得y2=15x+150，
所以y2=，
（3）函数y1的图象如图所示，
由解得，所以点F坐标（5，150），
由解得，所以点E坐标（30，600）．
由图象可知甲采摘园所需总费用较少时5＜x＜30．
49．解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有
，
解得．
故1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；
（2）设租用甲种客车m辆，依题意有（应把未知数换成其它字母，如m等）
45m+30（8﹣m）≥330，
解得m≥6，
租车费用为：
∵﹥0，∴随m增大而增大，∴m=6，有最小值2960元．
故最节省的租车费用是2960元．
50．解：过点C作CE⊥AB交AB于点E，
则四边形EBDC为矩形，
∴BE=CD CE=BD=60，
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如图，根据题意可得，
∠ADB=48°，∠ACE=37°，
∵，
在Rt△ADB中，
则AB=tan48°•BD≈（米），
∵，
在Rt△ACE中，
则AE=tan37°•CE≈（米），
∴CD=BE=AB﹣AE=66﹣45=21（米），
∴乙楼的高度CD为21米．
51．（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE=BD，
又∵CD是边AB上的中线，
∴BD=AD，∴CE=DA，
又∵CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD， ∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：过点作CF⊥AB于点F，
由（1）可知，BC=DE，
设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，AB==x．
∵AB•CF=AC•BC，
∴CF==x．
∵CD=AB=x，
∴sin∠CDB==．
52．解：（1）60×=80（公里）．
答：乙队筑路的总公里数为80公里．
（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，
根据题意得：﹣=20，
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解得：x=0.1，
经检验，x=0.1是原方程的解，
∴8x=0.8．
答：乙队平均每天筑路0.8公里．
53. 解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由题意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10﹣6=4，
设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，
解得，x=3，∴AD=3．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）
∴，
解得
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴=，即=，
解得t=．
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴=，即=，解得t=．
∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，
若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；
则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线
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段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；
②EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），
则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；
将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，
此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；
将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，
此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；
综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；
③M3（4，），N3（4，﹣）．
54. ．解：（1）将B(12,5)代入 得：k=60，
反比例函数的表达式为：
将A(5,m)代入 得：m=12，
（2）由得：
∴
（3）当动点在线段上时，∵∠NOM=45°, ∴只有∠OMN=90°,∠ONM=90°两种情况
①若∠OMN=90°，在中，，
∴，∴
∴
②若∠ONM=90°，在中，
∴，∴
∴
当动点到达G点后再以同样的速度从G点沿线段GP向终点P运动时
∵∠NOM＜45°，∴此时直角三角形中的另一个锐角必大于45°，
∴此时不存在等腰直角三角形。
55．解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：
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，
解得：，
故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，
∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
56．解：（1）根据圆周角定理：∠APC=90°，∴∠FPE=90°．
（2）∵∠OAE=∠PFE=90°﹣∠OEA=90°﹣∠PEF，
∴∠OAE=∠EFP．
∵∠AOE=∠FOC=90°，
∴△AOE∽△FOC．
∴．
∵OA=OB=OC，
∴OB2=OE•OF．
（3）由题意知：OE•OF=m=OB2=3，
∴m=3．
∴x2﹣x+3=0，解得x=，x=2．
∵OF＞OE，
∴OE=，OF=2，即E（0，﹣），F（0，﹣2）；
设直线CF的解析式为y=kx+b，易知：C（﹣，0），则有：
，解得．
∴直线CF的解析式为y=﹣2x﹣2．
（4）过P作PN⊥x轴于N．
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在直角三角形OAE中，OA=，OE=，因此AE=．
在直角三角形ACP中，AP=AC•cos∠OAE=AC•=2•=．
在直角三角形APN中，PN=AP•sin∠OAE=AP•=•=；
AN=AP•cos∠OAE=•=，
∴ON=AN﹣OA=．
在直角三角形MPO中，根据射影定理可得：（建议不直接用射影定理，而增加证明三角形相似的过程。）
∵∠OPN+∠MPN=90º，∠OPN+∠PON=90º
∴∠MPN=∠PON
∵∠MNP=∠PNO=90º
∴△OPN∽△PMN
∴
PN2=ON•MN，∴MN=，
∴MC=MN+PN﹣OC=．
∴S△PCM=•MC•PN=××=．
57．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴AE⊥OD，
∴D是的中点；
（2）证明：
方法一：
如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，
∴∠AGD=∠B，
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∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；
方法二：
如图，延长AD交BC于H，
则∠ADO=∠AHC，
∵∠AHC=∠B+∠BAD，
∴∠ADO=∠B+∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）解：∵AO=OC，
∴S△OCD=S△ACD，
∵，
∴，
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，
∴△ACD∽△FCE，
∴，
即：，
∴CF=2．
58．（1）解：∵△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，
∴∠C=60°，
∵502+602≠702，
∴△ABC不是美好三角形；
故答案为：不是；
（2）证明：连接OA、OC
∵AC=4，OA=OC=2，
∴△OAC是直角三角形，即∠AOC=90°，
∴∠B=45°，
∵∠C=60°，
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∴∠A=75°，
∵即三个内角满足关系：452+602=752，
∴△ABC是美好三角形；
（3）解：设∠C=x°，则∠B=（150﹣x）°，
若∠C为最大角，则x2=（150﹣x）2+302，
解得x=78，
若∠B最大角，则（150﹣x）2=x2+302，
解得x=72，
综上可知，∠C=78°或72°．
59．解：（1）由，
得x=﹣=﹣=3，
∴D（3，0）；
（2）如图1，设平移后的抛物线的解析式为，
则C（0，k），OC=k，
令y=0即，
得，x2=3﹣，
∴A，B，
∴，
=2k2+8k+36，
∵AC2+BC2=AB2
即：2k2+8k+36=16k+36，
得k1=4，k2=0（舍去），
∴抛物线的解析式为，
（3）方法一：
如图2，由抛物线的解析式可得，
A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，
过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，
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∴，
，
在Rt△COD中，CD==AD，
∴点C在⊙D上，
∵，，
∴DM2=CM2+CD2
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，
∴直线CM与⊙D相切．
方法二：
如图3，由抛物线的解析式可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，
作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，，由勾股定理得，
∵DM∥OC，
∴∠MCH=∠EMD，
∴Rt△CMH∽Rt△DME，
∴得DE=5，
由（2）知AB=10，∴⊙D的半径为5．
∴直线CM与⊙D相切．
60．解：（1）当y=0时，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，
则A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵△ABC的面积为3，
∴•3•OC=3，解得OC=2，则C（0，﹣2），
把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD=4a﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax，
∵AB∥CD，
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∴∠ABC=∠BCD，
∵∠BCP=2∠ABC，
∴∠PCD=∠ABC，
∴Rt△PCD∽Rt△CBO，
∴PD：OC=CD：OB，
即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，
∴点P的横坐标为6；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，
∵AK=FK，
∴∠KAF=∠KFA，
而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，
∵∠KAH=∠FKP，
∴∠HAP=∠KPA，
∴HA=HP，
∴△AHP为等腰直角三角形，
∵P（6，10a），
∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣，
在Rt△PFG中，∵PF=﹣4a=2，∠FPG=45°，
∴FG=PG=PF=2，
在△AKH和△KFG中
，
∴△AKH≌△KFG，
∴KH=FG=2，
∴K（6，2），
设直线KB的解析式为y=mx+n，
把K（6，2），B（4，0）代入得，
解得，
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∴直线KB的解析式为y=x﹣4，
当a=﹣时，抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2，
解方程组，
解得或，
∴Q（﹣1，﹣5），
而P（6，﹣5），
∴PQ∥x 轴，
∴QP=7．
61．解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞， ∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
62．迁移应用：①证明：如图②
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAB=∠CAE，
在△DAE和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC，
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②解：结论：CD=AD+BD．
理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，
在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，
∵AD=AE，AH⊥DE， ∴DH=HE，
∴CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．（这个解答过程并没用到阅读材料的结论，可考虑用如下解法。）
②解：结论：CD=AD+BD．
理由：∵△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，
∵AD=AE，∠DAE=120°，
∴DE=AD
∴CD=DE+ECAD+BD．
拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，
∴BA=BD=BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC=∠AEC=120°，
∴∠FEC=60°，
∴△EFC是等边三角形，
②解：∵AE=5，EC=EF=2，
∴AH=HE=2.5，FH=4.5，
在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，
∴=cos30°， ∴BF= =3．
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63.解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，
∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，
∴∠B′AD=∠EDC′，
∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，
∴DB′==，
∴△ADB′∽△DEC′，
∴=，
∴=， ∴x=﹣2．
∴CE=﹣2．
（2）如图2中，
∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，
∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，
∴∠B′AF=∠B′FA=45°，
∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，
∴DF=DG，
在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，
∴AF=AB′=，
∴DF=DG=﹣，
∴S△DFG=（﹣）2=﹣．
（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，
在Rt△ADC中，∵tan∠DAC==，
∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，
∵∠C′AD=∠DAC=30°， ∴∠CAC′=60°，
∴的长==π．
64.（1）证明：如图1中，
∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
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∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI=BH，
∵BH⊥AC，且BH=AM．
∴MI=AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°．
②设DH=x，则AH=x，AD=2x，
∴AM=4+2x， ∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴=，
∴=，
解得x=1+或1﹣（舍弃），
∴DH=1+．
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65. 解：（1）①如图1，证明：过点M作ME⊥AB于点E，
∵∠BOM=90°，
∴MO⊥BO，
∵BM平分∠OBA，
∴ME=MO，
∴直线AB与⊙M相切；
②如图2，过点M作ME⊥AB于点E，连接MC，
∵一次函数y=﹣x+2的图象交坐标轴于点A和B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴∠EAM=45°，
∴ME=AE=AM=（2﹣a），
∵MC=OM=a，
∴CE=，
∵CD=2CE，
∴CD2=4CE2=4（CM2﹣ME2）=4[a2﹣（2﹣a）2]=2a2+8a﹣8；
（2）如图2，点M在线段OA上时，连接MD，
∵∠CMD=120°，
∴∠MCD=∠MDC=30°，
∴MC=2ME，
∴a=2×（2﹣a），
解得：a=4﹣2；
②如图3，点M在OA的延长线时，过点M作ME⊥CD于点E，连接MC，MD，
∵△AEM是等腰直角三角形，
∴ME=AE=AM=（a﹣2），
∵∠CMD=120°，
∴∠MCD=∠MDC=30°，
∴MC=2ME，
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∴a=2×（a﹣2），
解得：a=4+2；
综上，a=4﹣2或4+2．
66.解：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：
连接ME交NF于O，如图1所示：
∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，
∴CN=CM=t，FN∥BC，
∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，
∴==2，
∴NF=AN=（8﹣t），
由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，
∵四边形MNEF是正方形，
∴OE=ON=FN，
∴t=×（8﹣t），
解得：t=；
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；
（2）分两种情况：
①当0＜t≤2时，y=×（8﹣t）×t=﹣t2+2t，
即y=﹣t2+2t（0＜t≤2）；
②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，
由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，
∴GH=NF=（8﹣t），
∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=（8﹣t）2，
即y=（8﹣t）2（2＜t≤4）；
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（3）当点E在AB边上时，y取最大值，
连接EM，如图3所示：
则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，
∵BM=4﹣t，
∴2t=2（4﹣t），
解得：t=2，
∴CN=CM=2，AN=6，
∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，
∴EM=2BM=4，
作FD⊥NE于D，则EB===2，△DNF是等腰直角三角形，
∴EF==，DF=NF=，
在Rt△DEF中，sin∠NEF===．
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