浙江省宁波市五校2015届高三数学适应性考试试题 理.doc

2015年宁波市高三数学适应性试题（理科有答案）‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。‎ 注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上。‎ 参考公式：‎ 球的表面积公式 柱体的体积公式 S=4πR2 V=Sh 球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 V=πR3 台体的体积公式 其中R表示球的半径 V=h(S1+ +S2)‎ 锥体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积，‎ V=Sh h表示台体的高 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 ‎ 选择题部分(40分)‎ 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知命题“，”，则为( )‎ A.， B.，‎ C.， D.， ‎ ‎2.已知互不相等的正数满足成等差数列，成等比数列，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.函数则函数是（ ）‎ A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但不是奇函数 ‎ C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 ‎5.已知不存在整数使不等式成立，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知某几何体的三视图(单位：)，如图所示，则此几何体的外接球的体积为( ) ‎ A. B.‎ C. D.‎ 10‎ ‎7.已知过双曲线的中心的直线交双曲线于点，在双曲线C上任取与点不重合的点，记直线的斜率分别为，若恒成立，则离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 设满足约束条件，则取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 非选择题部分(110分)‎ 二、填空题（本大题共7小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）‎ ‎9. 已知直线，直线，且的倾斜角为，则= ；若，则= ；若，则两直线间的距离为 ．‎ ‎10.太阳光的入射角(光线与地面所成的角)为，要使长为的木棒在地面上的影子最长，则木棒与地面所成的角应为 ，其最大影长为 .‎ ‎11. 已知为第二象限角，且，则 ， .‎ ‎12.设函数，则 ，函数的零点个数为 .‎ ‎13.已知实数满足，其中常数，当取最大值时，对应的的值为 .‎ ‎14.已知抛物线过焦点的弦，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的值为 .‎ ‎15.已知函数任意的记函数在区间上的最大值为最小值为，则函数的值域为 .‎ 三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16. (本小题满分15分)‎ 中，内角的对边分别为，且．‎ ‎(Ⅰ）求角的大小；‎ 10‎ ‎(Ⅱ)若，且的面积为，求．‎ ‎17. (本小题满分15分)‎ 如图，四边形为平行四边形，，，将沿着翻折到平面处(不与平面重合)，分别为对边的中点，‎ ‎(Ⅰ)求证：； ‎ ‎(Ⅱ)若异面直线所成的角为，求二面角的平面角的正切值.‎ ‎18.(本小题满分15分)‎ 如图，已知椭圆的离心率，右焦点为，右顶点为，为直线上的任意一点，且.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)若过点P所作椭圆C的切线与坐标轴不平行，切点为Q，且交轴于点T，试确定轴上是否存在定点，使得.若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ 10‎ ‎19. (本小题满分15分)‎ 已知数列满足，.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)证明：对任意的，都有.‎ ‎20. (本小题满分14分) ‎ 已知二次函数，其中常数.‎ ‎(Ⅰ)若任意的，，试求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若对任意的，有，试求实数的取值范围．‎ 10‎ ‎2015年五校高三适应性考试数学（理科）试题 参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B C B A D A D C 二、填空题：‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答案 ‎；‎ ‎，‎ ‎，个 ‎2‎ ‎0‎ ‎16. (Ⅰ）由得，，……………2分 即，所以，或(舍去) ……………4分 因为为三角形内角，所以.…………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ）知，‎ 则；‎ 由，得，………………………9分 由正弦定理，有，即，，……………12分 由三角形的面积公式，得，即，‎ 解得.………………………15分 ‎17. 解法一：(Ⅰ)连结 ，并取的中点，连结.‎ 因为分别为的中点，所以，且；‎ 因为四边形为平行四边形，所以，； ‎ 又分别为的中点，所以，，即四边形为平行四边形；………………………3分 所以，.‎ 10‎ 因为，，即；‎ 所以，，，；‎ 所以，平面.‎ 又因为平面，所以，.………………………6分 ‎(Ⅱ)取的中点，过作线段的垂线交的延长线于点.‎ 由(1)知，异面直线所成的角为 ，故；‎ 因为，为的中点，所以， ，即为正三角形.‎ 所以.………………………9分 由(Ⅰ)知，异面直线所成的角为 ，故；‎ 因为，为的中点，所以， ，即为正三角形.‎ 所以.‎ 又平面，所以，平面平面；‎ 因为平面平面，所以平面，；‎ 所以， 为二面角的平面角. ………………………12分 在中，，，‎ 所以，，‎ 即二面角的平面角的正切值为.………………………15分 解法二：(Ⅰ)因为，，即；‎ 所以，，，；‎ 所以，平面.………………………2分 10‎ 以为原点，直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. ………………………3分 则 ，设 ，则，‎ 所以，中点，‎ 所以，，，‎ 所以，，即.………………………6分 ‎(Ⅱ) 因为异面直线所成的角为，所以，，‎ 即，解得，.即.…………8分 设平面的一个法向量，则 ‎，即，取，则，即.‎ ‎………………………11分 又平面的一个法向量，………………………12分 所以，，‎ 因为二面角为锐二面角，所以二面角的平面角的正切值为. ………………………15分 ‎18. (Ⅰ) 由题意，知右顶点，设，右焦点，则，‎ 由，得， ………………………2分 解得，所以 ………………………4分 所以椭圆C的方程为.‎ ‎………………………5分(注：取P为特殊点求值，只能得4分)‎ ‎(Ⅱ)设切点，切线方程为，与椭圆方程联立，得 10‎ 有相等实根，‎ 所以，，‎ 解得，，‎ 又，所以，切线方程为.‎ ‎………………………8分(注：用隐函数求导得切线方程同样得分)‎ 则切线与轴的交点，且原点O到切线的距离，‎ 所以. ………………………11分 若轴上存在定点使，‎ 由得，‎ ‎，………………13分 所以，对任意的恒成立，‎ 化简，得，.‎ 所以，轴上存在定点即椭圆C的两焦点使.‎ ‎………………………15分 ‎19. (Ⅰ)因为，‎ 当时，，即. ………………………2分 当时，，作差，得，‎ ‎， ………………………4分 且也满足此式； ………………………5分(不检验，此步不得分)‎ 10‎ 所以，的通项公式为. ………………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得，因为，‎ 所以，， ………………………8分 又，即.‎ ‎………………………11分 所以，，‎ 记，‎ 由错位相减法，得 ‎，即.………………………14分 所以.………………………15分 ‎20.(Ⅰ)因为，则，‎ 由已知，有对任意的，恒成立，任意的，恒成立，故且，所以，，即1为函数的一个零点.‎ ‎………………………2分 因此可设.‎ 所以，任意的，恒成立，则，………………………5分 即的取值范围为 ………………………7分 ‎(Ⅱ)函数对，有恒成立，‎ 即，………………………8分 记，则.‎ 当即时， ，与矛盾；‎ ‎………………………10分 10‎ 当即时,‎ ‎，即.‎ ‎………………………13分 综上，的取值范围为. ………………………14分 10‎