银川市2015年高三数学四模试卷(理科带答案)
(考试时间:120分钟;满分:150分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i为虚数单位,则复数在复平面内表示的点位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
2.函数的值域是( )
A.,
B.,∪,
C.,
D.-1,1
3.已知等差数列的公差为,且,若,则的值
为( )
A.12
B.8
C.6
D.4
4.已知样本:
10
8
6
10
13
8
10
12
11
7
8
9
11
9
12
9
10
11
12
11
那么频率为0.2的范围是( )
A.5.5~ 7.5
B.7.5~ 9.5
C.9.5~ 11.5
D.11.5 ~ 13.5
5.在的展开式中,的系数为( )
A.
B.
C.
D.
6.由曲线,直线及轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B.
C. 4 D. 6
7.设,是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( )
A.
B.
- 15 -
C.
D.
8. 一个算法的程序框图如图所示,如果输入的的值为2014,
则输出的的结果为( )
A.3 B. 5
C. 6 D. 8
9. 假如清华大学给某市三所重点中学7个自主招生的推荐名额,
则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )
A.10 B. 15
C. 21 D. 30
10.函数在轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为,则等于( )
A. B. C. D.
11.已知F1、F2为双曲线C:的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且
PF2⊥F1F2,PF1与y轴交于点Q,点M满足,若MQ⊥PF1,则双曲线C的离心率
为( )
A. B. C. D.
12. 设,记则的大小关系( )
A. B. C. D.
- 15 -
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 若等边△ABC的边长为1,平面内一点M满足,则= .
14.若各项均为正数的等比数列{}满足=5,=10,则=________.
15. 点P(,)在不等式组表示的平面区域内,若点P(,)到直线
的最大距离为2,则= .
16. 已知点为抛物线的焦点,为原点,点是抛物线准线上一动点,在抛物
线上,且,则的最小值是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,已知A=,.
(I)求cosC的值;
(Ⅱ)若BC=2,D为AB的中点,求CD的长.
18.(本小题满分12分)
实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予10分降分资格;考核为优秀,授予20分降分资格。假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等次相互独立。
(I)求在这次考核中,甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率;
(Ⅱ)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得的降分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望。
- 15 -
19.(本小题满分12分)
如图,已知长方形中,,为的中点.将沿折起,使得平面平面.
A
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若点是线段上的一动点,问点E在何位置时,二面角的余弦值为.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆C的焦点在x轴上,左右焦点分别为,离心率,P为椭圆上任意一点,的周长为6.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过点S(4,0)且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q,R两点,点Q关于x轴的对称点为,过点与R的直线交x轴于T点,试问△TRQ的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)当时,求的单调递减区间;
(Ⅱ)若当时,恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)求证:
- 15 -
- 15 -
请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图, AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.
求证:
(Ⅰ);
(Ⅱ)AB2=BE•BD-AE•AC.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线经过点,其倾斜角为,以原点为极点,以轴非负半轴为极轴,与直角坐标系取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线的极坐标方程为
(Ⅰ)若直线与曲线有公共点,求的取值范围;
(Ⅱ)设为曲线上任意一点求的取值范围.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设关于的不等式
(Ⅰ)当时,解这个不等式;
(Ⅱ)若不等式解集为,求的取值范围.
- 15 -
高三数学(理科)答题卷
班级
考场号_________ 座位号_________ 姓名_________ 班级_________ 准考证号(学号)_________
成绩:____________
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(每小题5分,共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题:
17.(12分)
18.(12分)
- 15 -
A
19.(12分)
- 15 -
20.(12分)
21.(12分)
- 15 -
请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号. 22 23 24
22题图
四模数学答案
一.选择题ACBDC ACABA DC
- 15 -
二.填空题 13, ﹣ 14 . 40 15. 1 16.
17. (Ⅰ)且,∴ …………2分
……………………………………………4分
…………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ……………………8分
由正弦定理得,即,解得. ………………………………10分
在中,,所以
18.解:
(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A、B、C是相互独立事件,事件与事件E是对立事件,于是
. ……4分
(2)的所有可能取值为.
19. 解:(Ⅰ)证明:连接BM,则AM=BM=,所以
又因为面平面,
- 15 -
所以, …………4分
(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系
由(I)可知,平面ADM的法向量
设平面ABCM的法向量,
所以,
………………………10分
二面角的余弦值为
得,,即:E为DB的中点。 …………………12分
20. 解:(Ⅰ)椭圆C的方程为 ……………4分
(Ⅱ)联立消得
,即 ……………6分
设Q(),,则
由韦达定理有
直线的方程为
- 15 -
令,得
将(1),(2)代人上式得,………………9分
又
=
=
=18
=18
当时取得. …………12分
21.(Ⅰ) 当时
的单调递减区间为 …………4分
(Ⅱ) 由 得
记
当时 在递减
又
………… 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
- 15 -
取得 即
…………12分
22 证明: (1)连结AD
因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠EFA=90°
则A、D、E、F四点共圆
∴∠DEA=∠DFA …………5分
(2)由(1)知,BD•BE=BA•BF
又△ABC∽△AEF
∴
即:AB•AF=AE•AC
∴ BE•BD-AE•AC
=BA•BF-AB•AF
=AB(BF-AF)
=AB^2 …………10分
24.(1)
- 15 -
当 得:
当 不成立
当 得:
∴不等式解集为 …………5分
(2)
∴
∴若原不等式解集为,则 …………10分
- 15 -