2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含解析）.doc

‎2015年天津市高考数学试题（有解析文科）‎ 一、选择题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.已知全集,集合,集合,则集合（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：,,则,故选B.‎ 考点：集合运算 ‎2.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为（ ）‎ ‎(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14‎ ‎【答案】C 考点：线性规划 ‎3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为（ ）‎ ‎(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 12‎ 试题分析：由程序框图可知： 故选C.‎ 考点：程序框图.‎ ‎4.设,则“”是“”的（ ）‎ ‎(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎ (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.‎ 考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件.‎ ‎5. 已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D 考点：圆与双曲线的性质.‎ ‎6. 如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为（ ）‎ ‎(A) (B) 3 (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由相交弦定理可 ‎ 故选A. ‎ 考点：相交弦定理 12‎ ‎ ‎ ‎7. 已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由 为偶函数得,所以,故选B.‎ 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.‎ ‎8. 已知函数,函数,则函数的零点的个数为 ‎(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5‎ ‎【答案】A 考点：函数与方程.‎ 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. i是虚数单位,计算 的结果为 ．‎ ‎【答案】-i ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：复数运算.‎ 12‎ ‎10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为 .‎ 考点：1.三视图；2.几何体的体积.‎ ‎11. 已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为 ,所以.‎ 考点：导数的运算法则.‎ ‎12. 已知 则当a的值为 时取得最大值.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时取等号,结合可得 ‎ 考点：基本不等式.‎ ‎13. 在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在等腰梯形ABCD中,由,得,,‎ 12‎ ‎ ,所以 考点：平面向量的数量积.‎ ‎14. 已知函数 若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,‎ 所以 ‎ 考点：三角函数的性质.‎ 三、解答题：本大题共6小题,共80分.‎ ‎15. （本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.‎ ‎（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；‎ ‎（II）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.‎ ‎（i）用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎（ii）设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.‎ ‎【答案】（I）3,1,2；（II）（i）见试题解析；（ii）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（II）（i）一一列举,共15种；（ii）符合条件的结果有9种,所以.‎ 试题解析：（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；‎ ‎（II）（i）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为,‎ 12‎ ‎,,,,,,,,,,,,,,共15种.‎ ‎（ii）编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为,, ,, ,,,,,共9种,所以事件A发生的概率 ‎ 考点：分层抽样与概率计算.‎ ‎16. （本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为, ‎ ‎（I）求a和sinC的值；‎ ‎（II）求 的值.‎ ‎【答案】（I）a=8,；（II）.‎ ‎【解析】‎ 考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.‎ ‎17. （本小题满分13分）如图,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 点E,F分别是BC, 的中点.‎ ‎（I）求证：EF 平面 ；‎ ‎（II）求证：平面平面.‎ 12‎ ‎（III）求直线 与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（I）见试题解析；（II）见试题解析；（III）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）要证明EF 平面, 只需证明 且EF 平面；（II）要证明平面平面,可证明,；（III）取 中点N,连接 ,则 就是直线 与平面所成角,Rt△ 中,由得直线 与平面所成角为.‎ 试题解析：（I）证明：如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC, 的中点,所以 ,又因为EF 平面, 所以EF 平面.‎ ‎（II）因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.‎ 12‎ 考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角 ‎18. （本小题满分13分）已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（II）设,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（I）,；（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项；（II）用错位相减法求和.‎ 试题解析：（I）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 12‎ ‎ 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为.‎ ‎（II）由（I）有 ,设的前n项和为 ,则 ‎ ‎ 两式相减得 所以 .‎ 考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.‎ ‎19. （本小题满分14分） 已知椭圆的上顶点为B,左焦点为,离心率为, ‎ ‎（I）求直线BF的斜率；‎ ‎（II）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M,.‎ ‎ （i）求的值；‎ ‎（ii）若,求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（I）2；（II）（i） ；（ii）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先由 及得,直线BF的斜率；（II）先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q横坐标,可得（ii）先由得=,由此求出c=1,故椭圆方程为 试题解析：（I） ,由已知 及 可得 ,又因为 ,‎ 12‎ 故直线BF的斜率 .‎ ‎（II）设点 ,（i）由（I）可得椭圆方程为 直线BF的方程为 ,两方程联立消去y得 解得 .因为,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立消去y得 ,解得 .又因为 ,及 得 ‎ ‎（ii）由（i）得,所以,即 ,又因为,所以=.‎ 又因为, 所以,因此 所以椭圆方程为 考点：直线与椭圆.‎ ‎20. （本小题满分14分）已知函数 ‎（I）求的单调性；‎ ‎（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数,都有;‎ ‎（III）若方程有两个正实数根且,求证：.‎ ‎【答案】（I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是；（II）见试题解析；（III）见试题解析.‎ ‎【解析】‎ 12‎ 试题解析：（I）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增；当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.‎ ‎（II）设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则.‎ 由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.‎ 12‎ 考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.‎ 12‎