2015年北京市高考数学理试卷（理科含解析）
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.1．复数
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
考点：复数运算
2.若，满足则的最大值为
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线
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，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
考点：线性规划；
3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A． B． C． D．
【答案】B
考点：程序框图
4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面
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可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.
考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.
5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】
试题分析：根据三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1, ,,，,三棱锥表面积.
考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.
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6.设是等差数列. 下列结论中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法
7.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
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考点：1.函数图象；2.解不等式.
8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】
【解析】
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试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.
考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）
9.在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
试题分析：利用通项公式，，令，得出的系数为
考点：二项式定理
10.已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【答案】
考点：双曲线的几何性质
11.在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
【答案】1
【解析】
试题分析：先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程
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化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式.
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.
12.在中，，，，则 ．
【答案】1
【解析】
试题分析：
考点：正弦定理、余弦定理
13.在中，点，满足，．若，则 ； ．
【答案】
【解析】
试题分析：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.
考点：平面向量
14.设函数
①若，则的最小值为 ；
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②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】(1)1，(2) 或.
考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15．（本小题13分）
已知函数．
(Ⅰ) 求的最小正周期；
(Ⅱ) 求在区间上的最小值．
【答案】（1），（2）
【解析】
试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为
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形式，再利用周期公式求出周期，第二步由于则可求出，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当，即时，取得最小值为：.
试题解析：(Ⅰ)
(1)的最小正周期为；
(2)，当时，取得最小值为：
考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.
16.（本小题13分）
，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
【答案】（1），（2），（3）或
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17.（本小题14分）
如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 求二面角的余弦值；
(Ⅲ) 若平面，求的值．
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【答案】(1)证明见解析，（2），（3）
【解析】
试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面平面，借助性质定理证明平面EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于，要想平面，只需，利用向量的坐标，借助数量积为零，求出的值，根据实际问题予以取舍.
试题解析：(Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.
(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，，，则
，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，解得
或，由于，则.
考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.
18.（本小题13分）
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已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为2.
试题解析：（Ⅰ），曲线在点处的切线方程为；
（Ⅱ）当时，，即不等式，对成立，设
，则，当时，，故在（0，1）上为增函数，则，因此对，
成立；
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（Ⅲ）使成立，，等价于，；
，
当时，，函数在（0，1）上位增函数，，符合题意；
当时，令，
-
0
+
极小值
，显然不成立，
综上所述可知：的最大值为2.
考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.
19.（本小题14分）
已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
【解析】
试题分析：椭圆：的离心率为，点在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数，写出椭圆方程；由点和点，写出PA直线方程，令求出x值，写出直线与x轴交点坐标；由点，写出直线的方程，令求出x值，写出点N的坐标，设，求出和
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，利用二者相等，求出，则存在点使得.
试题解析：（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为， ，，椭圆的方程为.
,直线的方程为：，令，；
考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.
20.（本小题13分）
已知数列满足：，，且．
记集合．
（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
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（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8
【解析】
①试题分析：（Ⅰ）由，可知则；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.第二步集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数；第三步由于中的元素都不超过36，中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，和除以9的余数一样，分中有3的倍数和中没有3的倍数两种情况，研究集合M中的元素个数，最后得出结论集合的元素个数的最大值为8.
试题解析：（Ⅰ）由已知可知：
（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.
（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由
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的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，
考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.
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