2018届中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 圆周角定理 综合训练　‎ 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（　　）‎ A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长 ‎2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（　　）‎ A．10 B．12 C．8 D．16‎ ‎3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（　　）‎ A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 ‎6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（　　）‎ A．50° B．45° C．40° D．35°‎ ‎7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在 ‎8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．35° B．45° C．25° D．50°‎ ‎9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（　　）‎ A．72° B．60° C．54° D．36°‎ ‎10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．1 B．2 C．1+ D．2﹣‎ ‎11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B．2 C． D．‎ ‎13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（　　）‎ A．20° B．30° C．40° D．50°‎ ‎14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是　 　度．‎ ‎16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=　 　度．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=　 　．‎ ‎18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为　 　．‎ ‎19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．‎ ‎（1）求证：∠C=∠BED；‎ ‎（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；‎ ‎（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．‎ ‎（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；‎ ‎（2）求证：AE=BF；‎ ‎（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．‎ ‎22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．‎ ‎（1）求证：CF=BF；‎ ‎（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．‎ ‎23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．‎ ‎（1）求证：△CBE∽△AFB；‎ ‎（2）当时，求的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．‎ ‎25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．‎ ‎（1）求证：ID=BD；‎ ‎（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．‎ ‎26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．‎ ‎（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；‎ ‎（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（　　）‎ A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长 ‎【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，‎ 由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，‎ 所以△ABE和△BCD都是直角三角形，‎ 所以∠CBD=∠EAB．‎ 又△OAM是直角三角形，∵AO=1，‎ ‎∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．10 B．12 C．8 D．16‎ ‎【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，‎ ‎∴∠ACG=∠F．‎ 又∵∠CAF=∠FAC，‎ ‎∴△ACG∽△AFC，‎ ‎∴AC：AF=AG：AC，‎ 即AG•AF=AC2=（2）2=8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解法一：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，‎ ‎∴△AEB∽△DEC；‎ ‎∴=；‎ 设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；‎ 连接BC，则∠ACB=90°；‎ Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；‎ 在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；‎ 由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，‎ 即：72=（10﹣3x）2+（x）2，‎ 整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；‎ 由于x＜，故x=﹣；‎ 则DE=5﹣2x=2．‎ 解法二：连接OD，OC，AD，‎ ‎∵OD=CD=OC 则∠DOC=60°，∠DAC=30°‎ 又AB=7，BD=5，‎ ‎∴AD=2，‎ 在Rt△ADE中，∠DAC=30°，‎ 所以DE=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；‎ ‎∴直径BE==2，‎ ‎∵直径是圆内接正方形的对角线长，‎ ‎∴圆内接正方形的边长等于 ‎∴⊙O的内接正方形的面积为2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（　　）‎ A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 ‎【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；‎ 由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；‎ 共有6对相等的角．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（　　）‎ A．50° B．45° C．40° D．35°‎ ‎【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，‎ ‎∴两弧所对圆心角相差20°，‎ ‎∴2∠A﹣2∠C=20°，‎ ‎∴∠A﹣∠C=10°…①；‎ ‎∵∠CEB是△AEC的外角，‎ ‎∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；‎ ‎①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，‎ 依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，‎ 所以满足条件的点P的个数为2个．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（　　）‎ A．35° B．45° C．25° D．50°‎ ‎【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，‎ ‎∴2（∠A﹣∠D）=20°‎ 即∠A﹣∠D=10°‎ ‎∵∠DEC=80°‎ ‎∴∠DEC=∠D+∠A=80°‎ ‎∴∠A=45°，∠D=35°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．72° B．60° C．54° D．36°‎ ‎【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，‎ ‎∴∠AOB=360°÷5=72°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．1 B．2 C．1+ D．2﹣‎ ‎【解答】解：连接AD，OD ‎∵∠BAC=90°，AB=AC=2‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形 ‎∵AB是圆的直径 ‎∴∠ADB=90°‎ ‎∴AD⊥BC ‎∴点D是BC的中点 ‎∴OD是△ABC的中位线 ‎∴∠DOA=90°‎ ‎∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形 ‎∴两个弓形的面积相等 ‎∴阴影部分的面积=S△ADC=AD2=1．‎ 故选：A．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，‎ 再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，‎ 根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，‎ ‎∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；‎ ‎②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；‎ ‎③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；‎ ‎④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；‎ ‎⑤正确．‎ 所以①②③⑤共4个正确．故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B．2 C． D．‎ ‎【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．‎ 在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；‎ ‎∴∠DOG=∠DCO；‎ ‎∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，‎ ‎∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；‎ 即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．‎ 同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．‎ 设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；‎ ‎∵MN⊥AB，GH⊥CD；‎ ‎∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；‎ 因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（　　）‎ A．20° B．30° C．40° D．50°‎ ‎【解答】解：连接OD，‎ ‎∵AO=OC=OD，DA=DC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△ADO≌△CDO．‎ ‎∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．‎ ‎∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．‎ ‎∴∠CDA=100°．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．‎ ‎∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 ‎【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；‎ ‎②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；‎ ‎③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；‎ ‎∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是　60　度．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是正三角形，‎ ‎∴∠BAC=60°；‎ 由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．‎ ‎　‎ ‎16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=　28　度．‎ ‎【解答】解：∵∠BOC=56°‎ ‎∴∠A=∠BOC=28°．‎ ‎　‎ ‎17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=　﹣x2+x　．‎ ‎【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，‎ ‎∵CD=1，BD=2‎ 而AB=BC ‎∴‎ ‎∴∠ADB=∠BDC ‎∵∠ABD=∠ACD ‎∴△ADB∽△PDC ‎∴CD：BD=PD：AD 而BD=2CD ‎∴PD=x ‎∴BP=BD﹣PD=2﹣x ‎∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为　2　．‎ ‎【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，‎ ‎∴∠1=∠2=∠3=∠4；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△AEC∽△BAC；‎ ‎∴CE：AC=AC：BC；‎ ‎∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；‎ ‎∵BC=BE+CE，‎ ‎∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；‎ 由根据相交弦定理得，BE•CE=AE•ED=5 ②；‎ ‎②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．‎ ‎　‎ ‎19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=　3　．‎ ‎【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．‎ ‎∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，‎ ‎∴△ADC∽△BDE，‎ ‎∴． ①‎ 同理可由△ADB∽△CDE，得． ②‎ ‎①×②，得==3．‎ Rt△AEC中，tan∠AEC=．‎ 同理得tan∠AEB=．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故tan∠AEC•tan∠AEB==3．‎ ‎∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，‎ ‎∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．‎ ‎　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．‎ ‎（1）求证：∠C=∠BED；‎ ‎（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；‎ ‎（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，‎ ‎∴∠C+∠AOC=90°；‎ 又∵0C⊥AD，‎ ‎∴∠OFA=90°，‎ ‎∴∠AOC+∠BAD=90°，‎ ‎∴∠C=∠BAD．‎ 又∵∠BED=∠BAD，‎ ‎∴∠C=∠BED．‎ ‎（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴tan∠C=．‎ 在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，‎ ‎∴，解得．‎ ‎（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，‎ 又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，‎ ‎∴AE=BD，‎ ‎∴AE=BD=DE，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠BAD=30°，‎ 又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，‎ ‎∴BD=AB=5，DE=5，‎ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，‎ 过点D作DH⊥AB于H，‎ ‎∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，‎ ‎∴四边形AEDB的面积=．‎ ‎　‎ ‎21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．‎ ‎（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；‎ ‎（2）求证：AE=BF；‎ ‎（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．‎ 证明：如图，连接OC、OD，‎ ‎∵OC=OD，G是CD的中点，‎ ‎∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．‎ ‎（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，‎ 而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），‎ 在Rt△ACE和Rt△BCF中，‎ ‎∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，‎ ‎∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．‎ ‎∴AE=BF．‎ ‎（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．‎ ‎∴OH=AD，即AD=2OH，‎ 又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．‎ 在Rt△BDE和Rt△ADB中，‎ ‎∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，‎ ‎∴Rt△BDE∽Rt△ADB，‎ ‎∴，即BD2=AD•DE．‎ ‎∴．‎ 又BD=FD，∴BF=2BD，‎ ‎∴①，‎ 设AC=x，则BC=x，AB=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠FAD=∠BAD．‎ 在Rt△ABD和Rt△AFD中，‎ ‎∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．‎ ‎∴AF=AB=，BD=FD．‎ ‎∴CF=AF﹣AC=．‎ 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 ‎②，‎ 由①、②，得，‎ ‎∴x2=12，解得或（舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴⊙O的半径长为．‎ ‎∴S⊙O=π•（）2=6π．‎ ‎　‎ ‎22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．‎ ‎（1）求证：CF=BF；‎ ‎（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】（1）证明：连接AC，如图 ‎∵C是弧BD的中点 ‎∴∠BDC=∠DBC（1分）‎ 又∵∠BDC=∠BAC 在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB ‎∴∠BCE=∠BAC ‎∠BCE=∠DBC（3分）‎ ‎∴CF=BF；（4分）‎ ‎（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，‎ ‎∵C是弧BD的中点 ‎∴∠CAG=∠BAC，‎ 即AC是∠BAD的角平分线．（5分）‎ ‎∴CE=CG，AE=AG（6分）‎ 在Rt△BCE与Rt△DCG中，‎ CE=CG，CB=CD ‎∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）‎ ‎∴BE=DG（7分）‎ ‎∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG 即6﹣BE=2+DG ‎∴2BE=4，即BE=2（8分）‎ 又∵△BCE∽△BAC ‎∴BC2=BE•AB=12（9分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 BC=±2（舍去负值）‎ ‎∴BC=2．（10分）‎ 解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ‎∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分 在Rt△ADB与Rt△FEB中，‎ ‎∵∠ABD=∠FBE ‎∴△ADB∽△FEB，‎ 则，即，‎ ‎∴BF=3EF（6分）‎ 又∵BF=CF，‎ ‎∴CF=3EF 利用勾股定理得：‎ ‎（7分）‎ 又∵△EBC∽△ECA 则，‎ 则CE2=AE•BE（8分）‎ ‎∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE 即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ‎∴EF=（9分）‎ ‎∴BC=．（10分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．‎ ‎（1）求证：△CBE∽△AFB；‎ ‎（2）当时，求的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，‎ ‎∴ED是△ABF的中位线，‎ ‎∴ED∥BF，‎ ‎∴∠CEB=∠ABF，‎ 又∵∠C=∠A，‎ ‎∴△CBE∽△AFB．‎ ‎（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，‎ ‎∴，‎ 又AF=2AD，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．‎ ‎【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，‎ ‎∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．‎ ‎∴∠F=∠BCD．‎ 在△BCG和△BFC中，，‎ ‎∴△BCG∽△BFC．‎ ‎∴．‎ 即BC2=BG•BF．‎ ‎　‎ ‎25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．‎ ‎（1）求证：ID=BD；‎ ‎（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．‎ ‎【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心 ‎∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）‎ ‎∵∠CBD=∠CAD ‎∴∠BAD=∠CBD（3分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠BID=∠ABI+∠BAD，‎ ‎∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，‎ ‎∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，‎ ‎∴∠BID=∠IBD ‎∴ID=BD；（5分）‎ ‎（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D ‎∴△ABD∽△BED（7分）‎ ‎∴‎ ‎∴AD×DE=BD2=ID2（8分）‎ ‎∵ID=6，AD=x，DE=y ‎∴xy=36（9分）‎ 又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10‎ ‎∴6＜x≤10‎ ‎∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）‎ 说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．‎ ‎　‎ ‎26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．‎ ‎（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；‎ ‎（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？‎ ‎【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2分）‎ 理由如下：‎ ‎∵△ABC为等边三角形 ‎∴AC=BC ‎∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC 又∵AP=BD ‎∴△APC≌△BDC ‎∴PC=DC ‎∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°‎ ‎∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°‎ ‎∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°‎ ‎∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°‎ ‎∴△PDC为等边三角形；（6分）‎ ‎（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）‎ 理由如下：‎ ‎∵△ABC为等边三角形 ‎∴AC=BC ‎∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC 又∵AP=BD ‎∴△APC≌△BDC ‎∴PC=DC ‎∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC ‎∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°‎ ‎∴△PDC为等边三角形．（12分）‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费