2018届中考数学复习《再谈勾股定理的应用》专题训练题含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 再谈勾股定理的应用 ‎ 在数学解题中，当题中出现直角三角形(或可构造出直角三角形)时，往往可以运用勾股定理求解.‎ ‎ 本文从近年各地数学竞赛题中选取一些典型试题，介绍勾股定理在求解竞赛题中的应用.‎ ‎ 题1 (2010年全国联赛试题)在等腰直角中，，是内一 点，且，，则 .‎ 解析 如图1，过作，.设，，在直角和直角中，由勾股定理，可得 ‎ 由②①，得,‎ ‎ ∴，‎ ‎ 代入(1)得，‎ ‎ 解得，.‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 在直角中，由勾股定理，可得 ‎ .‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 此时，‎ ‎ ∴点在之外了，不合题意，舍去.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 点评 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 本解法先根据题意画出图形，再作辅助线构造出新的直角三角形，然后运用勾股定理得解.‎ ‎ 题2 (2008年浙江初赛试题)如图2，⊙与的斜边切于点，与直角边交于点，且，已知，，，则⊙的半径是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解析 连，过作，在中，由勾股定理，得 ‎.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴选D.‎ ‎ 点评 本解法首先运用勾股定理，求得的长，然后再运用平行线分线段成此例定理与相似三角形性质，可得半径的长.‎ ‎ 题3 (2006年江苏初三竞赛试题)如图3，四边形的对角线与相互垂直.若，，，则的长为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 解析 如图3，设.‎ 由勾股定理，可得 由①②，得，⑤‎ 由③、⑤，得，‎ 两式相加，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎ ∴选A.‎ ‎ 点评本解法通过设辅助未知数、、、，由勾股定理建立关于、、、的方程组，求得的值，从而得到的长.‎ ‎ 题4 (2005年五羊杯初三竞赛试题)如图4，在中，，，，，则的面积等于 .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 延长，过点作.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 设，则，‎ 由勾股定理，得 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴;‎ 同理可得 ‎.‎ 由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 化简得，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ 当，，‎ 即，‎ ‎∴不合题意，舍去;‎ 当时，‎ ‎ ，符合题意，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 此时.‎ ‎∴.‎ ‎ 点评 由，容易想到延长(延长也可)，得，再构造，运用勾股定理、相似三角形性质求得的长.这一求解方法易于理解，而且计算也并不复杂.‎ ‎ 题5 (2003年全国联合竞赛试题)已知直角的周长为4，面积为7，试求它的三边之长.‎ 解析 设的三边之长分别为、、，其中为斜边.由题意，得 ‎ 由③得，④‎ 把④两边平方，得 ‎.⑤‎ ‎ 由⑤②，得，⑥‎ ‎ 把②代入⑥，得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴以、为根的一元二次方程为，‎ ‎ 解得.‎ ‎ ∴这个直角三角形之三边长分别为.‎ ‎ 点评 本题表述简洁，通过设三边长分别为、、，由勾股定理、面积关系、周长关系建立起关于、、的方程组，并对等式变换，可计算出三边之长.‎ ‎ 题6 (2004年江苏竞赛试题)如图5，在中，.若、上的中线、垂直相交于，则可用、的代数式表示为 .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 ∵、是的中线，‎ ‎∴为的重心.‎ 由重心定理，得.‎ ‎ 设，‎ ‎ 则.‎ 在、、中，由勾股定理，得 由①+③，得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎ ，‎ ‎∴.‎ ‎ 点评 本解法运用三角形重心定理与直角三角形勾股定理，建立相应的方程组，从而巧妙地把几何问题转化为代数问题了.‎ 题7 (2006年山东竞赛试题)如图6，在中，，是的平分线.求证:.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 证明 设，则，‎ 由勾股定理，得，‎ ‎∴.‎ ‎∵平分，‎ 由三角形内角平分线定理，得，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎ 点评 本解法由题意设辅助未知数，由勾股定理、三角形内角平分线性质定理把边长、数量化(即用含的代数式表示)，这样可简捷证出结果.‎ ‎ 题8 (2006年上海币新知杯试题)如图7，四边形为直角梯形()，且.若在边上存在一点，使得为等边三角形，则的值为 .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 设.‎ 由勾股定理，得 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴. ①‎ 过点作，在中，‎ ‎∵，‎ ‎ ∴由勾股定理，得 ‎ .②‎ 由②得，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 代入①得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 解这个方程并取得正根，得 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎ 点评本解法运用设辅助未知数的方法，由勾股定理得到关于、、的两个方程，经变形、代换，求出之值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费