2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学试卷(四)含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 此卷只装订不密封 绝密 ★ 启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学（四）‎ 本试题卷共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ ‎2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎6．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（ ）‎ A．4 B．‎6 ‎C． D．‎ ‎9．已知偶函数在单调递减，若，则满足 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知，在平面直角坐标系中，点为平面区域内任一点，则坐标原点与点连线倾斜角小于的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．某几何体的直观图如图所示，是的直径，垂直所在的平面，且，为上从出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧的长为，的长度为关于的函数，则的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13． 展开式中的常数项为__________．‎ ‎14．某四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积是________．‎ ‎15．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，且，则=_________．‎ ‎16．设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．在内，角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若的面积为，，求的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤．‎ ‎（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（）项的概率．‎ ‎（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．‎ ‎①求该学员能通过“科二”考试的概率；‎ ‎②求该学员缴纳的考试费用的数学期望．‎ ‎19．如图，已知与分别是边长为1与2的正三角形，，四边形为直角梯形，且，，点为的重心，为中点，平面，为线段上靠近点的三等分点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：‎ ‎3‎ ‎-2‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎-4‎ ‎（1）求，的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明：．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；‎ ‎（2）设为椭圆上任意一点，求的最大值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（2）记（1）中的最大值为，正实数，满足，证明：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 绝密 ★ 启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学（四）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 ‎1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C ‎7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13． 14．27 15． 16．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．【答案】（1）；（2）7．‎ ‎【解析】（1）∵．‎ ‎∴由正弦定理，得．···········1分 ‎∴．‎ ‎．···········3分 又，∴．···········4分 又∵，．··········5分 又，．··········6分 ‎（2）据（1）求解知，∴．①··········8分 又，·········9分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴，②··········10分 又，∴据①②解，得．··········12分 ‎18．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）根据题意，学员（1），（2），(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：‎ 由表可知，全部10种可能的情况中，··········2分 有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为··········4分 ‎（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为；··········5分 ‎①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为，‎ 故学员能通过“科二”考试的概率为；··········7分 ‎②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，··········8分 而，故X的分布列为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎；··········11分 故(元)．··········12分 ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）解：在中，连延长交于，因为点为的重心 所以，且为中点，又，‎ 所以，所以；··········2分 又为中点，所以，又，‎ 所以，‎ 所以四点共面；··········4分 又平面，平面，‎ 所以平面．··········5分 ‎（2）由题意，平面，所以，平面平面，‎ 且交线为，‎ 因为，所以平面，‎ 又四边形为直角梯形，，，所以，所以平面 因为，，所以平面平面，‎ 又与分别是边长为1与2的正三角形，‎ 故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，，··········7分 因为，所以，，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设平面的法向量，则，取，··········8分 平面的法向量，··········9分 所以二面角的余弦值，‎ ‎，··········10分 又，‎ ‎；‎ 直线与所成角的余弦值为．··········12分 ‎20．【答案】（1）：．；（2）．‎ ‎【解析】（1）设抛物线，则有，据此验证4个点知，在抛物线上，易求．·········2分 设，把点，代入得：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，解得，所以的方程为．·········5分 ‎（2）设，，将代入椭圆方程，消去得，‎ 所以，即．①‎ 由根与系数关系得，则，·········7分 所以线段的中点的坐标为．·········8分 又线段的垂直平分线的方程为，·········9‎ 由点在直线上，得，‎ 即，所以，·········10分 由①得，所以，即或，‎ 所以实数的取值范围是．·········12分 ‎21．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由函数在上是减函数，知恒成立，‎ ‎．·········1分 由恒成立可知恒成立，则，·········2分 设，则，·········3分 由，知，‎ 函数在上递增，在上递减，·········4分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴，∴．·········5分 ‎（2）由（1）知．‎ 由函数在上存在两个极值点，，且，知，‎ 则且，‎ 联立得，·········7分 即，·‎ 设，则，········9分 要证，只需证，只需证，‎ 只需证．·········10分 构造函数，则．‎ 故在上递增，，即，‎ 所以．·········12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．【答案】（1）直线的直角坐标方程为，椭圆的参数方程为，（为参数）；（2）9．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】（1）由，得，‎ 将，代入，得直线的直角坐标方程为．·········3分 椭圆的参数方程为，（为参数）．·········5分 ‎（2）因为点在椭圆上，所以设，‎ 则，‎ 当且仅当时，取等号，所以．·········10分 ‎23．【答案】（1）2；（2）见解析．‎ ‎【解析】由，·········2分 得，要使恒成立，‎ 只要，即，实数的最大值为2；·········5分 ‎（2）由（1）知，又，故；‎ ‎，‎ ‎∵，∴，∴．·········10分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费