泸州市2015年中考数学试卷（附解析）
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷 (选择题 共36分)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1. （2015年四川泸州3分）的绝对值为【 】
A.7 B. C. D.
【答案】A.
【考点】绝对值.
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是7，所以的绝对值是7. 故选A.
2. （2015年四川泸州3分）计算的结果为【 】
A. B. C. D.
【答案】C.
【考点】幂的乘方.
【分析】根据幂的乘方运算法则计算作出判断：
.
故选C.
3. （2015年四川泸州3分）如左下图所示的几何体的左视图是【 】
A. B. C. D.
【答案】C.
【考点】简单几何体的三视图.
【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得是一个矩形. 故选C.
4. （2015年四川泸州3分）
18
截止到2014年底，泸州市中心城区人口约为1120000人，将1120000用科学计数法表示为【 】
A. B. C. D.
【答案】B.
【考点】科学记数法.
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，
∵1120000一共7位，∴1120000=1.12×106.
故选B.
5. （2015年四川泸州3分）如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠C=40°，则∠D的度数为【 】
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】B.
【考点】角平分线定义；平行的性质；三角形内角和定理；方程思想的应用.
【分析】∵CB平分∠ABD，∴.
又∵AB∥CD，∴.
又∵∠C=40°，∴
二者联立.
故选B.
6. （2015年四川泸州3分）菱形具有而平行四边形不具有的性质是 【 】
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
【答案】D.
【考点】平行四边形和菱形的性质.
18
【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各选项进行判断，作出选择：
A.“两组对边分别平行”是平行四边形和菱形都具有的性质，选项错误；
B. “两组对角分别相等”是 平行四边形和菱形都具有的性质，选项错误；
C. “对角线互相平分”是平行四边形和菱形都具有的性质，选项错误；
D. “对角线互相垂直”是菱形具有而平行四边形不具有的性质，选项正确.
故选D.
7. （2015年四川泸州3分）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是【 】
A. 15，15 B. 15，14 C.16，15 D.14，15
【答案】A．
【考点】众数；中位数．
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中15出现8次，出现的次数最多，故这组数据的众数为15.
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.共有数据22个，第11个数和第12个数都是15人，所以中位数是：（15+15）÷2=15（人）.
故选A．
8. （2015年四川泸州3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为【 】
A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°
【答案】C．
【考点】圆周角定理；切线的性质；多边形内角和定理.
【分析】∵∠C和∠AOB是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角，且∠C=65°，∴∠AOB =130°.
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴∠PAO =∠PBO =90°.
18
∴
故选C．
9. （2015年四川泸州3分）若二次函数的图象经过点（2，0），且其对称轴为，则使函数值成立的的取值范围是【 】
A.或 B.≤ ≤ C.≤或≥ D.
【答案】D．
【考点】二次函数的图象和性质.
【分析】∵二次函数的图象经过点（2，0），且其对称轴为，
∴二次函数的图象开口向下，与轴的另一交点为.
∴使函数值成立的的取值范围是：.
故选D．
10. （2015年四川泸州3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是【 】
A. B. C.D.
【答案】B．
【考点】一元二次方程根与系数的关系；解一元一次不等式；一次函数图象与系数的关系；整体思想和数形结合思想的应用.
【分析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴.
根据一次函数图象与系数的关系，
选项A中，与不符；
选项B中，与相符；
18
选项C中，与不符；
选项D中，与不符.
故选B．
11. （2015年四川泸州3分） 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线与边BC交于点D，那么BD的长为【 】
A.13 B. C. D.12
【答案】A．
【考点】翻折问题；等腰三角形的性质；勾股定理；翻折对称的性质；锐角三角函数定义；方程思想的应用.
【分析】如答图，过点E作EH⊥BC于点H，
∵AB=AC，BC=24，∴CH=12.
∵tanC=2，∴AH=24.
∴根据勾股定理得.
∵点E是边AC的中点，∴.
设，则.
∵△ABC沿直线翻折，点B落在边AC的中点E处，∴BD=DE.
在中，.
在中，.
∴BD=DE.
18
故选A．
12. （2015年四川泸州3分）在平面直角坐标系中，点A，B，动点C在轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为【 】
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B．
【考点】点的坐标；等腰三角形的判定；分类思想和数形结合思想的应用.
【分析】如答图，作中垂线交轴于，则是等腰三角形；以点A为圆心，长为半径画圆交轴于则是等腰三角形；以点B为圆心，长为半径画圆与轴没有交点（因为点到轴的距离大于）.
∴点C的个数为3.
故选B．
第Ⅱ卷 (非选择题 共84分)
注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目上对应题号位置作答，在试卷上作答无效.
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. （2015年四川泸州3分）分解因式：= ▲ .
【答案】．
【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是
18
首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，
先提取公因式2后继续应用平方差公式分解即可：．
14. （2015年四川泸州3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ▲ .
【答案】2．
【考点】圆锥和扇形的计算.
【分析】∵扇形的半径为6、圆心角为120°，
∴扇形的弧长为.
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴根据圆的周长公式，得.
15. （2015年四川泸州3分）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为
▲ .
【答案】27.
【考点】一元二次方程根与系数的关系；求代数式的值；整体思想的应用.
【分析】∵、是一元二次方程的两实数根，
∴.
∴.
16. （2015年四川泸州3分）如图，在矩形ABCD中，，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
①∠AEB=∠AEH ②DH= ③ ④
其中正确命题的序号是 ▲ （填上所有正确命题的序号）.
18
【答案】①③.
【考点】矩形的性质；等腰（直角）三角形的判定和性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定和性质；直角三角形斜边上的中线的判定；勾股定理；相似三角形的判定和性质；特殊元素法和方程思想的应用.
【分析】①∵在矩形ABCD中，，∴不妨设，则.
∵∠ADC的平分线交边BC于点E，∴是等腰直角三角形.∴.
∴.∴.
∴.故命题①正确.
②∵是等腰直角三角形，∴.
∵是等腰直角三角形，∴.∴.
不难证明，∴.∴.故命题②错误.
③∵，∴.∴。
∵，∴.
∴.∴是斜边上的中线.∴.故命题③正确.
④如答图，延长AB至G，使BG=BF，连接CG，
在中，，
∴根据勾股定理得.
设，则.
在中，根据勾股定理得.
易证明，∴.
∴.
∴.
∴.
18
又∵.
∴.故命题④错误.
综上所述，正确命题的序号是①③.
三、（每小题6分，共18分）
17. （2015年四川泸州6分）计算：
【答案】解：原式．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值；二次根式化简；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】针对特殊角的三角函数值，二次根式化简，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
18. （2015年四川泸州6分）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD. 求证：BC=DE.
【答案】证明：∵∠1=∠2，∴，即.
又∵AC=AE， AB=AD，∴.
∴BC=DE.
【考点】全等三角形的判定和性质.
【分析】要证BC=DE，根据全等三角形的性质只要即可，而要证全等已有两边对应相等，由∠1=∠2可推出夹角对应相等而得证.
19. （2015年四川泸州6分）化简：
【答案】解：.
【考点】分式的化简.
18
【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简.
四、（每小题7分，共14分）
20. （2015年四川泸州7分）小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位:t）,并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）.
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2
4%
12
24%
10
20%
12%
3
6%
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在，这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率.
【答案】解：（1）∵月均用水量所占百分比为；
月均用水量的频数为；月均用水量的频数为，
∴补全频数分布表和频数分布直方图如下：
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2
4%
12
24%
15
30%
10
20%
18
6
12%
3
6%
2
4%
（2）∵样本中家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”占62%，
∴估计总体中的中等用水量家庭大约有（户）.
（3）设月均用水量在范围内的样本家庭为，月均用水量在范围内的样本家庭为，
∵从月均用水量在，这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，共有6种等可能结果：，抽取出的2个家庭来自不同范围的有4种情况：，
∴抽取出的2个家庭来自不同范围的概率为．为
【考点】频数分布表和频数分布直方图；频数、频率和总量的关系；用样本估计总体；概率.
【分析】（1）由已知信息，根据频数、频率和总量的关系，求出月均用水量所占百分比和频数，月均用水量的频数，从而补全频数分布表和频数分布直方图.
（2）求出样本中家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t” 所占百分比，即可用样本估计总体．
（3）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.
21. （2015年四川泸州7分）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】解：（1）设A种花草每棵的价格是元， B种花草每棵的价格是元，
根据题意，得，解得．
答：A种花草每棵的价格是20元， B种花草每棵的价格是5元.
18
（2）设购买A种花草棵，则购买B种花草棵，所需费用元.
根据题意，得，解得，即.
∵中，∴是增函数.
∴当时，费用最省，此时，.
∴费用最省的方案是购买A种花草11棵，则购买B种花草20棵，所需费用320元.
【考点】一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式组的应用.
【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解. 本题等量关系为：“分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元”和“分别购进A、B两种花草12棵和5棵，两次共花费940元”.
（2）设购买A种花草棵，根据已知列出不等式组求出的取值范围，再根据所需费用关于的一次函数的增减性求出费用最省的方案和所需费用．
五、（每小题8分，共16分）
22. （2015年四川泸州8分）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行. 当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处. 若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近?(计算结果用根号表示，不取近似值).
【答案】解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D，则点D就是渔船离观测点A的距离最近的点.
∵渔船从B到C用时0.5小时，渔船的速度为每小时30海里，
∴（海里）.
根据题意，知是等腰直角三角形，
18
∴设，则.
在中，∵，
∴，即.解得.
.
∴该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近.
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用.
【分析】作辅助线，过点A作AD⊥BC于点D，则点D就是渔船离观测点A的距离最近的点，从而解和即可求解.
23. （2015年四川泸州8分）如图，一次函数的图象经过点C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC，求的值.
【答案】解：（1）设一次函数的图象与的交点为.
∵一次函数的图象经过点C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，
18
∴，解得.
∴，解得.
∴该一次函数的解析式为.
（2）如答图，分别过点A、B作的垂线，垂足分别为M、N，设A、B两点的坐标分别为，
∵A、B两点在上，∴.
易得，∴.
∵，
∴
.
∵B点在上，∴.
∴.
【考点】一次函数和反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质.
【分析】（1）根据已知条件求出一次函数的图象与的交点坐标，即可根据曲线上点的坐标与方程的关系列式求出的系数，从而得到该一次函数的解析式.
（2）分别过点A、B作的垂线，垂足分别为M、N，应用相似三角形的判定和性质，列式求出点A或点B的坐标即可求得的值.
六、（每小题12分，共24分）
24. （2015年四川泸州12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F.
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
18
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长.
【答案】解：（1）证明：如答图1，连接AO并延长交⊙O于另一点G，连接CG，
∵AE是⊙O的切线，∴.
∴，即.
∵AO是⊙O的直径，∴.
∴.
∴.
∵和是同圆中同弧所对的圆周角，
∴.
∴.
（学习过弦切角定理的直接得此）
∵AB=AC，∴.∴.∴AE∥BC.
又∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形.
（2）如答图2，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB、CD于点N、M，
∵AE是⊙O的切线，
∴根据切割线定理，得，（没学习切割线定理可由相似得到）
∵ AE=6，CD=5，∴，解得（已舍去负数）.
由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且.
又根据对称性和垂径定理，知垂直平分，垂直平分.
设，
18
∵
∴.
易证，
∴.
两式相加和相除，得.
又∵，∴.
∴OF的长为.
【考点】切线的性质；圆周勾股定理；等腰三角形的性质；平行的判定；平行四边形的判定和性质；等腰梯形的判定和性质；垂径定理；相似判定和性质；勾股定理.
【分析】（1）作辅助线，连接AO并延长交⊙O于另一点G，连接CG，根据切线的性质证明，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代换得到，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCE是平行四边形.
（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB、CD于点N、M，根据切割线定理求得，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明，并由勾股定理列式求角即可.
25. （2015年四川泸州12分）如图，已知二次函数的图象M经过A(，0)，B(4，0)，C(2，)三点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标
（3）设图象M的对称轴为，点是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于的对称点为E，能否在图象M和上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形. 若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
18
【答案】解：（1）∵二次函数的图象M经过A(，0)，B(4，0)两点，
∴可设二次函数的解析式为.
∵二次函数的图象M经过C(2，)点，
∴，解得.
∴二次函数的解析式为，即.
（2）易用待定系数法求得线段AC的解析式：.
设点G的坐标为.
△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况.
∴.
∵.
∴.
∴或（舍去）.
∴点G的坐标为.
（3）能. 理由如下：如答图，过D点作的垂线交于点H，
∵，
18
∴.
∵点是图象M上，∴.
∵△ACD的面积为，
∴，即，
解得.
∴.
∵，∴图象M的对称轴为.
∵点D关于的对称点为E，∴.∴.
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则∥且.
∴点P的横坐标为或.
∴点P的纵坐标为.
∴点P的坐标为或.
【考点】二次函数综合题；单动点、轴对称和平行四边形存在性问题； 待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的性质；勾股定理；二次函数的性质；平行四边形的判定；方程思想和分类思想的应用.
【分析】（1）设交点式的式，应用待定系数法可求二次函数的解析式.
（2）待定系数法求得线段AC的解析式，设出点G的坐标，根据相似三角形的性质列式求解.
（3）求出△ACD的面积为时点D的坐标，根据轴对称的性质和一组对边平行且相等垢四边形是平行四边形的判定分对称轴两边求解.
18
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