自贡市2015年中考数学真题（有答案）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、－的倒数是（A） A、－2 B、2 C、 D、－
2、将2.05×10－3用小数表示为（C） A、0.000205 B、0.0205 C、0.00205 D、－0.00205
3、方程的解是（D） A、1或－1 B、－1 C、0 D、1
4、如图是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是（B）
A B C D
5、如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光的概率是（B）
A、 B、 C、 D、
6、若点（x1，y1），（x2，y2），（x2，y2），都是反比例函数图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（D） A、x1＜x2＜x3 B、x1＜x3＜x2 C、x2＜x1＜x3 D、x2＜x3＜x1
7、为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（C）
A、a－10% B、a•10% C、a(1－10%) D、a(1＋10%)
8、小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。下列函数图象能表达这一过程的是（C）
A、 B、 C、 D、
9、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分的面积为（D）
A、2π B、π C、 D、
10、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，
将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（A）
A、 B、6 C、 D、4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11、化简：＝2－ 。
12、若两个连续整数x、y满足，则x＋y的值是 7 。
13、如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC＝3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD＝，则劣弧AD的长为
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（13题图） （14题图） （15题图）
14、一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为 1∶3 。
15、如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP＝，并保留作图痕迹。（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）
三、解答题（每小题8分，共16分）
16、解不等式：，并把解集在数轴上表示出来。
解：4x－1－3x＞3
x＞4
17、在□ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH
证明：∵在□ABCD中BE∥CD ∴∠E＝∠2
∵CE平分∠BCD ∴∠1＝∠2
∴∠1＝∠E ∴BE＝BC 又 ∵BH⊥BC ∴CH＝EH（三线合一）
四、解答题（每小题8分，共16分）
18、如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度。小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽。（精确到0.01米，参考数据，）
解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x
在Rt△ABC中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x
∴解之得： 答：河宽为68.30米。
19、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点。求证：DEBC
证明：证明：∵D是AB中点E是AC中点
∴，
∴
又∵∠A＝∠A ∴△ADE∽△ABC
∴ ，∠ADE＝∠B
∴BC＝2DE,BC∥DE 即：DEBC
五、解答题（每小题10分，共20分）
20、利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽。
解：设垂直于墙的一边为x米，得：
x(58－2x)＝200 解之得：x1＝25，x2＝4
∴另一边为8米或50米
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答：当矩形长为25米是宽为8米，当矩形长为50米是宽为4米。
21、在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为36度；
（2）图2、3中的a＝60 ，b＝ 14 ；
（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“图形与几何”内容？
解：依题意，得40%×60=24（课时）答：唐老师应安排24课时复习“图形与几何”内容。
六、解答题（本题满分12分）
22、观察下表
我们把某格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y，回答下列问题：
（1）第3格的“特征多项式”为 12x＋9y ，第4格的“特征多项式”为 16x＋16y ，第n格的“特征多项式”
为4nx＋n2y(n为正整数)；
（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，
①求x，y的值；
解：依题意得：解之得：
②在此条件下，第n格的特征是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值，若没有，说明理由。
解：设最小值为W，则依题意得：W＝4nx＋n2y＝－12n＋2n2＝2(n－3)2－18
答：有最小值为－18，相应的n值为3。
七、解答题（本题满分12分）
23、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B。
（1）若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C
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的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标。
解：（1）依题意得：解之得：
∴抛物线解析式为
∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0）
∴ 把B（－3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx＋n
得
解之得：
∴直线y＝mx＋n的解析式为
（2）设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小。把x＝－1代入直线得，y＝2
∴M（－1，2）。即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（－1，2）。
（注：本题只求M坐标没说要证明为何此时MA＋MC的值最小，所以答案没证明MA＋MC的值最小的原因）
（3）设P（－1，t），又B（－3，0），C（0，3）
∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10
①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2－6t＋10解之得：t＝－2
②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2－6t＋10＝4＋t2解之得：t＝4
③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即： 4＋t2＋t2－6t＋10＝18解之得：t1＝，t2＝
综上所述P的坐标为(－1，－2)或(－1，4) 或(－1，) 或(－1，)
八、解答题（本题满分14分）
24、在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C。（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时。①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差。
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解：（1）①证明：∵AB＝AC，B1C＝BC ∴∠1＝∠B，∠B＝∠ACB，∵∠2＝∠ACB（旋转角相等），∴∠1＝∠2 ∴BB1∥CA1
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E
∵AB＝AC，AF⊥BC
∴BF＝CF
∵cos∠ABC＝，AB＝5，
∴BF＝3
∴BC＝6
∴B1C＝BC＝6
∵CE⊥AB
∴BE＝B1E＝
∴BB1＝，CE＝
∴AB1＝，
∴△AB1C的面积为：
（2）如图过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值。
此时在Rt△BFC中，CF＝，
∴CF1＝，
∴EF1的最小值为；
如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值。
此时EF1＝EC＋CF1＝3＋6＝9
∴线段EF1的最大值与最小值的差为。
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