2018年广东省惠州市惠阳区中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
2．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）目前，中国网民已经达到831 000 000人，将数据831 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．0.831×109 B．8.31×108 C．8.31×109 D．83.1×107
4．（3分）关于一组数据：1，3，5，5，6，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是4 B．众数是5 C．中位数是6 D．方差是3.2
5．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）2=2a4 B．6a8÷3a2=2a4 C．2a2•a=2a3 D．3a2﹣2a2=1
7．（3分）若关于x的方程ax﹣4=a的解是x=3，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
8．（3分）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，抛物线对称轴为x=﹣．下列结论中，错误的结论是（ ）
A．abc＞0
B．方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣2，x2=1
C．b2﹣4ac＞0
D．a=b
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）﹣27的立方根是 ．
12．（4分）函数y=的自变量x的取值范围是 ．
13．（4分）正六边形的每个外角是 度．
14．（4分）计算：（）﹣1﹣20180+|﹣1|= ；
15．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，若△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为 ；
16．（4分）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）解不等式组：，并在所给的数轴上表示解集．
18．（6分）先化简，再求值：（a﹣），其中a=﹣1，b=3．
19．（6分）参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个队参加足球联赛？
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP=AQ．
21．（7分）西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”．规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表，针对以下六个项目（每人只能选一项）：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他项目进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽查的样本容量为 ，请补全条形统计图；
（2）全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？
（3）七年级（1）班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果．
22．（7分）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC=，求CB′的长．
五、解答题（三）（每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，已知直线y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，m）、B两点，与x 轴、y轴分别相交于C（4，0）、D两点．
（1）求直线y=kx+b的解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集是 ．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠C=60°，AC=12，求的长．
（3）若tanC=2，AE=8，求BF的长．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=
cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y=x2+bx+c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
2018年广东省惠州市惠阳区中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【解答】解：|﹣3|＞|﹣2|，
∴﹣3＜﹣2，
故选：D．
2．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：俯视图有3列，从左往右小正方形的个数是1，1，1，
故选：B．
3．（3分）目前，中国网民已经达到831 000 000人，将数据831 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．0.831×109 B．8.31×108 C．8.31×109 D．83.1×107
【解答】解：831 000 000=8.31×108．
故选：B．
4．（3分）关于一组数据：1，3，5，5，6，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是4 B．众数是5 C．中位数是6 D．方差是3.2
【解答】解：A、平均数为=4，此选项正确；
B、5出现次数最多，即众数为5，此选项正确；
C、中位数是5，此选项错误；
D、方差为×[（1﹣4）2+（3﹣4）2+2×（5﹣4）2+（6﹣5）2]=3.2，此选项正确；
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）2=2a4 B．6a8÷3a2=2a4 C．2a2•a=2a3 D．3a2﹣2a2=1
【解答】解：A、（2a2）2=4a4，错误，故本选项不符合题意；
B、6a8÷3a2=2a6，错误，故本选项不符合题意；
C、2a2•a=2a3，正确，故本选项符合题意；
D、3a2﹣2a2=a2，错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．（3分）若关于x的方程ax﹣4=a的解是x=3，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【解答】解：把x=3代入方程得：3a﹣4=a，
解得：a=2，
故选：B．
8．（3分）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵AB∥DE，∠CDE=40°，
∴∠B=∠CDE=40°，
又∵FG⊥BC，
∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD==4，
故选：C．
10．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，抛物线对称轴为x=﹣．下列结论中，错误的结论是（ ）
A．abc＞0
B．方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣2，x2=1
C．b2﹣4ac＞0
D．a=b
【解答】解：①观察图象可知：对称轴在y轴左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
故①错误；
②A（﹣2，0），抛物线对称轴为x=﹣，
∴B（1，0），
故②正确，
③∵抛物线与 x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④∵抛物线对称轴为x=﹣，
∴﹣=﹣，
∴a=b，
故④正确；
本题选择错误的，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）﹣27的立方根是 ﹣3 ．
【解答】解：∵（﹣3）3=﹣27，
∴=﹣3
故答案为：﹣3．
12．（4分）函数y=的自变量x的取值范围是 x≠3的一切实数 ．
【解答】解：x﹣3≠0
解得：x≠0
13．（4分）正六边形的每个外角是 60 度．
【解答】解：正六边形的一个外角度数是：360÷6=60°．
故答案为：60．
14．（4分）计算：（）﹣1﹣20180+|﹣1|= 2 ；
【解答】解：原式=2﹣1+1
=2．
故答案为：2．
15．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，若△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为 1 ；
【解答】解：∵OB=3OB′，
∴=，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴=．
∴=，
∵△ABC的面积为9，
∴△A′B′C′的面积为：1．
故答案为：1．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是 6π ．
【解答】解：∵根据旋转的性质知∠ABD=60°，△ABC≌△DBE，
∴S△ABC﹣S△DBE，
∴S阴影=S扇形ABD+S△DBE﹣S△ABC=S扇形ABD==6π．
故答案是：6π．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）解不等式组：，并在所给的数轴上表示解集．
【解答】解：，
由不等式①，得
x≥﹣1，
由不等式②，得
x＜3，
故原不等式组的解集是﹣1≤x＜3，在数轴表示如下图所示，
．
18．（6分）先化简，再求值：（a﹣），其中a=﹣1，b=3．
【解答】解：原式=÷
=×
=a+b，
当a=﹣1，b=3时，原式=﹣1+3=2．
19．（6分）参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个队参加足球联赛？
【解答】解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，
根据题意得： =28，
整理得：x2﹣x﹣56=0，
解得：x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）．
答：共有8个队参加足球联赛．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP=AQ．
【解答】（1）解：如图所示，BQ为所求作；
（2）证明：∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ=∠CBQ，
∵∠BAC=90°
∴∠AQP+∠ABQ=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠CBQ+∠BPD=90°，
∵∠ABQ=∠CBQ，
∴∠AQP=∠BPD，
又∵∠BPD=∠APQ，
∴∠AQP=∠AQP，
∴AP=AQ．
21．（7分）西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”．规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表，针对以下六个项目（每人只能选一项）：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他项目进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽查的样本容量为 1000 ，请补全条形统计图；
（2）全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？
（3）七年级（1）班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果．
【解答】解：（1）总人数=200÷20%=1000，
故答案为1000，
B组人数=1000﹣200﹣400﹣200﹣50﹣50=100人，
条形图如图所示：
（2）参加体育锻炼的人数的百分比为40%，
用样本估计总体：40%×40000=16000人，
答：全市学生中选择体育锻炼的人数约有16000人．
（3）设两名女生分别用A1，A2，一名男生用B表示，树状图如下：
共有6种情形，恰好一男一女的有4种可能，
所以恰好选到1男1女的概率是=．
22．（7分）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC=，求CB′的长．
【解答】解：（1）四边形ACC′A′是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：AA'=CC'，且AA'∥CC'
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
由AA'∥CC'得：∠AA'C=∠A'CB'，
由题意得：CD平分∠ACB'，
∴∠ACA'=∠A'CB'，
∴∠ACA'=∠AA'C，
∴AA'=AC，
∴平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，
∴cos∠BAC==，
∴AC=10，
∴BC===6，
由平移的性质可得：BC=B'C'=6，
由（1）得四边形ACC′A′是菱形，
∴AC=CC'=10，
∴CB'=CC'﹣B'C'=10﹣6=4．
五、解答题（三）（每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，已知直线y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，m）、B两点，与x 轴、y轴分别相交于C（4，0）、D两点．
（1）求直线y=kx+b的解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集是 0＜x＜1或x＞3． ．
【解答】解：（1）将A（1，m）代入y=，得m=3，
∴A（1，3），
将A（1，3）和C（4，0）分别代入y+kx+b，得：
，
解得：k=﹣1，b=4，
∴直线解析式为：y=﹣x+4．
（2）联立，解得或，
∵A（1，3），
∴B（3，1），
∴S△AOB=S△AOC﹣S△BOC
=•OC•|yA|﹣•OC•|yB|
=×4×3﹣×4×1
=4，
∴△AOB的面积为4．
（3）观察图象可知：不等式kx+b＜的解集是0＜x＜1或x＞3．
故答案为0＜x＜1或x＞3．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠C=60°，AC=12，求的长．
（3）若tanC=2，AE=8，求BF的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，即OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AB=AC=12，
∴OB=OD=AB=6，
由（1）得：∠C=∠ODB=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°
∴的长为=2π，即的长=2π；
（3）连接AD，
∵DE⊥AC∠DEC=∠DEA=900
在Rt△DEC中，tanC==2，
设CE=x，则DE=2x，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDE=90°，
在Rt△DEC中，∠C+∠CDE=90°，
∴∠C=∠ADE，
在Rt△ADE中，tan∠ADE==2，
∵AE=8，
∴DE=4，则CE=2，
∴AC=AE+CE=10，即直径AB=AC=10，则OD=OB=5，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴=即： =，
解得：BF=，即BF的长为．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y=x2+bx+c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
【解答】（1）解：∵CQ=t，OP=t，CO=8，
∴OQ=8﹣t．
∴S△OPQ=（0＜t＜8）；
（2）证明：∵S四边形OPBQ=S矩形ABCO﹣S△CBQ﹣S△PAB
==32；
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32；
（3）解：当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ与AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，
∴=，
∴，
解得：t1=4，t2=8
经检验：t=4是方程的解且符合题意，t=8不是方程的解，舍去；（从边长关系和速度考虑），
∴QO=4，
∴直线QB的解析式为：y=x+4，
此时P（，0）；
∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，
∴抛物线是，直线BP是：．
设M（m，）、N（m，）．
∵M在BP上运动，
∴
∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P；
∴当时，y1＜y2
∴MN=|y1﹣y2|
=|m2﹣2m+8﹣（m﹣8）|
=m﹣8﹣（m2﹣2m+8）
=m﹣8﹣m2+2m﹣8
=﹣m2+3m﹣16
=，
∴当时，MN有最大值是2；
∴设MN与BQ交于H点则，；
∴S△BHM==
∴S△BHM：S五边形QOPMH==3：29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．
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