2018年湖南省岳阳市中考数学一模试卷含答案解析.doc

‎2018年湖南省岳阳市中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　）‎ A．3.2×107 B．3.2×108 C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8‎ ‎2．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．2a+3b=5ab B． =±6 C．a6÷a2=a4 D．（2ab2）3=6a3b5‎ ‎3．（3分）如图中几何体的正视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）若关于x的方程x2+x﹣m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎6．（3分）对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（　　）‎ A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6‎ ‎7．（3分）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（　　）‎ A．π B． C．2π D．3π ‎8．（3分）定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2，）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：‎ ‎（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧 ‎（2）函数y=的所有“派生函数”，的图象都经过同一点，下列判断正确的是（　　）‎ A．命题（1）与命题（2）都是真命题 B．命题（1）与命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共32分）‎ ‎9．（4分）﹣5的倒数是　 　；﹣的相反数是　 　．‎ ‎10．（4分）分解因式：x3﹣9x=　 　．‎ ‎11．（4分）二次根式中字母a的取值范围是　 　．‎ ‎12．（4分）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的根为　 　．‎ ‎13．（4分）如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=　 　．‎ ‎14．（4分）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　 　．‎ ‎15．（4分）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为　 　米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）‎ ‎16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有　 　（只填序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（17、18题各6分，19、20、21、22题各8分，23、24题各10分，共64分）‎ ‎17．（6分）计算：|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1．‎ ‎18．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2．‎ ‎19．（8分）我校为了创建“书香校园”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的 ‎ 价格比文学类图书平均每本的价格多4元，已知学校用16000元购买的科普类图书的本数与用12000元购买的文学类图书的本数相等．求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？‎ ‎20．（8分）在星期一的第八节课，我校体育老师随机抽取了九年级的总分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表． ‎ ‎　等级 ‎　得分x（分）‎ ‎　频数（人）‎ ‎　A ‎　95＜x≤100‎ ‎　4‎ ‎　B ‎　90＜x≤95‎ ‎　m ‎　C ‎　85＜x≤90‎ ‎　n ‎　D ‎　80＜x≤85‎ ‎　24‎ ‎　E ‎　75＜x≤80‎ ‎　8‎ ‎　F ‎　70＜x≤75‎ ‎　4‎ 请你根据图表中的信息完成下列问题：‎ ‎1）本次抽样调查的样本容量是　 　．其中m=　 　，n=　 　．‎ ‎2）扇形统计图中，求E等级对应扇形的圆心角α的度数；‎ ‎3）我校九年级共有700名学生，估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有多少人？‎ ‎4）我校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．‎ ‎21．（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（2，﹣1）、B（，n）两点．直线y=2与y轴交于点C．‎ ‎1）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎2）求△ABC的面积；‎ ‎3）直接写出不等式kx+b＞在如图所示范围内的解集．‎ ‎22．（8分）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）当OB=3，PA=6时，求MB、MC的长．‎ ‎23．（10分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．‎ ‎（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；‎ ‎（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．‎ ‎24．（10分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+‎ c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；‎ ‎（3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年湖南省岳阳市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ‎1．‎ ‎【解答】解：0.00000032=3.2×10﹣7；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．‎ ‎【解答】解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；‎ B、=6，故此选项错误；‎ C、a6÷a2=a4，正确；‎ D、（2ab2）3=8a3b6，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．‎ ‎【解答】解：此几何体的主视图由四个正方形组成，下面一层三个正方形，且左边有两层．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．‎ ‎【解答】解：由x＞﹣1，得x＞﹣1，‎ 由2x≤4，得x≤2，‎ ‎∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣m，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣m）=1+4m，‎ ‎∵关于x的方程x2+x﹣m=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴1+4m＞0，‎ 解得：m＞﹣，‎ 则m的值可以是：0，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．‎ ‎【解答】解：A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确；‎ B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；‎ C、S2= [（3﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2]=1.6，故此选项正确；‎ D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠BCD+∠A=180°，‎ ‎∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，‎ ‎∴2∠A+∠A=180°，‎ 解得：∠A=60°，‎ ‎∴∠BOD=120°，‎ ‎∴的长==2π；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．‎ ‎【解答】解：（1）∵P（a，b）在y=上，‎ ‎∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，‎ ‎∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．‎ ‎（2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax2+bx，‎ ‎∴x=0时，y=0，‎ ‎∴所有“派生函数”为y=ax2+bx经过原点，‎ ‎∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都经过同一点，是真命题．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共32分）‎ ‎9．‎ ‎【解答】解：﹣5的倒数是﹣；﹣的相反数是．‎ 故答案为：﹣；．‎ ‎　‎ ‎10．‎ ‎【解答】解：原式=x（x2﹣9）‎ ‎=x（x+3）（x﹣3），‎ 故答案为：x（x+3）（x﹣3）．‎ ‎　‎ ‎11．‎ ‎【解答】解：根据题意得：a﹣2≥0，‎ 解得：a≥2．‎ 故答案为：a≥2．‎ ‎　‎ ‎12．‎ ‎【解答】解：3x（x﹣1）=2（x﹣1），‎ 移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，‎ 即（x﹣1）（3x﹣2）=0，‎ ‎∴x﹣1=0，3x﹣2=0，‎ 解方程得：x1=1，x2=．‎ 故答案为：x=1或x=．‎ ‎　‎ ‎13．‎ ‎【解答】解：∵a∥b，∠1=35°，‎ ‎∴∠3=∠1=35°．‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠2=90°﹣∠3=55°．‎ 故答案为：55°．‎ ‎　‎ ‎14．‎ ‎【解答】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，‎ ‎∴BC=AB=6，‎ ‎∵BC=3BD，‎ ‎∴BD=BC=2，‎ ‎∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE，‎ ‎∴CE=BD=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．‎ ‎【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，‎ 设AD=xm，‎ 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，‎ ‎∴CD=AD=x，‎ ‎∴BD=BC+CD=x+100，‎ 在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，‎ ‎∴x=（x+100），‎ ‎∴x=50（+1）≈137，‎ 即山高AD为137米．‎ 故答案为137．‎ ‎　‎ ‎16．‎ ‎【解答】解：①由翻折可知，∠APE=∠APB，∠MPC=∠MPN，‎ ‎∴∠APE+∠MPF=∠CPN+∠BPE=90°，‎ ‎∴∠CPM+∠APB=90°，∵∠APB+∠PAB=90°，‎ ‎∴∠CPM=∠PAB，∵∠C=∠B=90°，‎ ‎∴△CMP∽△BPA．故①正确；‎ ‎②设PB=x，则CP=2﹣x，‎ ‎∵△CMP∽△BPA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CM=x（2﹣x），‎ ‎∴S四边形AMCB= [2+x（2﹣x）]×2=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+2.5，‎ ‎∴x=1时，四边形AMCB面积最大值为2.5，故②正确；‎ ‎③在Rt△ADN和Rt△AEN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADN≌△AEN．故③正确；‎ ‎④作MG⊥AB于G，‎ ‎∵AM==，∴AG最小时AM最小，‎ ‎∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=2﹣x（2﹣x）=（x﹣1）2+，‎ ‎∴x=1时，AG最小值=，‎ ‎∴AM的最小值==，故④正确．‎ ‎⑤当PB=PC=PE=1时，‎ 由折叠知，ND=NE，‎ 设ND=NE=y，‎ 在Rt△PCN中，（y+1）2=（2﹣y）2+12解得y=，‎ ‎∴NE=，‎ ‎∴NE≠EP，故⑤错误，‎ ‎　‎ 三、解答题（17、18题各6分，19、20、21、22题各8分，23、24题各10分，共64分）‎ ‎17．‎ ‎【解答】解：‎ ‎|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1‎ ‎=﹣1+2×﹣2+2‎ ‎=﹣1+﹣2+2‎ ‎=1．‎ ‎　‎ ‎18．‎ ‎【解答】解：原式=．‎ 当时，原式=．‎ ‎　‎ ‎19．‎ ‎【解答】解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+4）元．‎ 根据题意，得=．‎ 解得x=12．‎ 经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，‎ 则科普类图书平均每本的价格为12+4=16（元），‎ 答：文学类图书平均每本的价格为12元，科普类图书平均每本的价格为16元．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎【解答】解：（1）24÷30%=80，‎ 所以样本容量为80；‎ m=80×15%=12，n=80﹣12﹣4﹣24﹣8﹣4=28；‎ 故答案为80，12，28；‎ ‎（2）E等级对应扇形的圆心角α的度数=×360°=36°；‎ ‎（3）700×=140，‎ 所以估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有140人；‎ ‎（4）画树状图如下：‎ 共12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为2，‎ 所以恰好抽到甲和乙的概率==．‎ ‎　‎ ‎21．‎ ‎【解答】解：1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，‎ ‎∴反比例解析式为y=﹣，‎ 把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（，﹣4），‎ 把A与B坐标代入y=kx+b中得：，‎ 解得：k=2，b=﹣5，‎ 则一次函数解析式为y=2x﹣5；‎ ‎2）如图，‎ ‎∵A（2，﹣1），B（，﹣4），直线AB解析式为y=2x﹣5，‎ ‎∵C（0，2），直线BC解析式为y=﹣12x+2，‎ 将y=﹣1代入BC的解析式得x=，则AD=2﹣=．‎ ‎∵xC﹣xB=2﹣（﹣4）=6，‎ ‎∴S△ABC=×AD×（yC﹣yB）=××6=．‎ ‎3）由图可知，当x＜或x＞2时，kx+b＞．‎ ‎　‎ ‎22．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，‎ ‎∴PA⊥OA ‎∴在Rt△MAP中，∠M+∠P=90°，而∠COB=∠APB，‎ ‎∴∠M+∠COB=90°，‎ ‎∴∠OBM=90°，即OB⊥BP，‎ ‎∴PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，‎ ‎∴△OBM∽△APM，‎ ‎∴=，‎ 设MB=x，则MA=2x，MO=2x﹣3，‎ ‎∴MP=4x﹣6，‎ 在Rt△AMP中，（4x﹣6）2﹣（2x）2=62，解得x=4或0（舍去）‎ ‎∴MB=4，MC=2．‎ ‎　‎ ‎23．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，‎ ‎∴AB=BC，BP=BF，‎ ‎∴AP=CF，‎ 在△APE和△CFE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△APE≌△CFE，‎ ‎∴EA=EC；‎ ‎（2）△ACE是直角三角形，理由是：‎ 如图2，∵P为AB的中点，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∵PB=PE，‎ ‎∴PA=PE，‎ ‎∴∠PAE=45°，‎ 又∵∠BAC=45°，‎ ‎∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；‎ ‎（3）解法一：如图3，设CE交AB于G，‎ ‎∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，‎ ‎∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，‎ ‎∵PE∥CF，‎ ‎∴，即，‎ 解得：a=b，‎ ‎∴a：b=：1，‎ 作GH⊥AC于H，‎ ‎∵∠CAB=45°，‎ ‎∴HG=AG=（2b﹣2b）=（2﹣）b，‎ 又∵BG=2b﹣a=（2﹣）b，‎ ‎∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，‎ ‎∴∠HCG=∠BCG，‎ ‎∵PE∥CF，‎ ‎∴∠PEG=∠BCG，‎ ‎∴∠AEC=∠ACB=45°．‎ 解法二：如图4，连接BE，‎ 易得a=b，‎ ‎∴a：b=：1，‎ ‎∵BE=BF=b，‎ ‎∴BE=a=BC，‎ ‎∴∠BCE=∠BEC，‎ ‎∵∠FBE=∠BCE+∠BEC=45°，‎ ‎∴∠BCE=22.5°，‎ ‎∴∠AEC=2∠PEC=2∠BCE=45°．‎ ‎　‎ ‎24．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），‎ 代入抛物线解析式y=﹣x2+bx+c中，‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，‎ 设P（m，﹣m2﹣2m+3），‎ ‎∴F（m，m+3），‎ ‎∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，‎ ‎△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），‎ ‎=﹣（+1）（m+）2+，‎ ‎∴△PFG周长的最大值为：．‎ ‎（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．‎ 此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，‎ ‎∵D（﹣1，4），‎ ‎∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）‎ ‎∵y=x+3中，k=1，‎ ‎∴直线DM1解析式为：y=x+5，‎ 直线M3M2解析式为：y=x+1，‎ ‎∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3=，x4=，‎ ‎∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．‎ ‎　‎