江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二数学下学期期末模拟试卷（含解析）.doc

东台市2014-2015高二数学下学期期末模拟试卷（有解析）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1．（5分）若不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为 ．‎ ‎2．（5分）若（1﹣2i）i=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=．‎ ‎3．（5分）若向量，，且∥，则实数x=．‎ ‎4．（5分）袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“‎2”‎、“‎3”‎、“‎4”‎、“‎6”‎这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是．‎ ‎5．（5分）某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示（成绩分组为[0，10），[10，20），…，[80，90），[90，100]）．则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为．‎ ‎6．（5分）已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则=．‎ ‎7．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为．‎ ‎8．（5分）已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）．‎ ‎9．（5分）当直线l：y=k（x﹣1）+2被圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5截得的弦最短时，则k=．‎ ‎10．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为．‎ ‎11．（5分）曲线在点（1，f（1））处的切线方程为．‎ ‎12．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点，AB=，则C的实轴长为．‎ ‎13．（5分）在△ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=．‎ ‎14．（5分）定义在实数集上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]上单调减，又α、β是锐角三角形的二个内角，则f（sinα）与f（cosβ） 的关系是．（用＞，＜，≥，≤表示）．‎ 二、解答题：本大题共8小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎ 15．（14分）已知命题p：不等式a2﹣‎5a﹣3≥3恒成立，命题q：不等式x2+ax+2＜0有解；若p为真命题，q为假命题，求a的取值范围．‎ ‎16．（14分）在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC．‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎17．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． 若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．‎ ‎18．（14分）某汽配厂生产某种零件，每个零件的出厂单价为60元，为了鼓励更多销售商订购，该厂决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．‎ ‎（1）当一次订购量最少为多少时，零件的实际出厂单价恰好为51元？‎ ‎（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式．‎ ‎19．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF‎1F2面积的最大值．‎ ‎20．（16分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x ‎（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．‎ ‎21．（16分）（文科）已知数列{an}满足：a1=1，a2=，且[3+（﹣1）n]an+2﹣2an+2[（﹣1）n﹣1]=0，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=a2n﹣1•a2n，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A‎1A=，M是CC1的中点．‎ ‎（1）求证：A1B⊥AM；‎ ‎（2）求二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．‎ 江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二下学期期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1．（5分）若不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为 [0，1）．‎ 考点： 交集及其运算；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先解一个一元二次不等式得出集合M，再根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域N，再求它们的交集即可．‎ 解答： 解：不等式x2﹣x≤0的解集M={x|0≤x≤1}，‎ f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域N={x|﹣1＜x＜1}，‎ 则M∩N={x|0≤x＜1}．‎ 故答案为：[0，1）‎ 点评： 本题属于以不等式和函数的定义域为平台，求集合的交集的基础题，也是2015届高考常会考的题型．属于基础题．‎ ‎2．（5分）若（1﹣2i）i=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=2．‎ 考点： 复数相等的充要条件．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 把等式左边展开后运用复数相等的概念得到a、b的值．‎ 解答： 解：由（1﹣2i）i=a+bi，得：2+i=a+bi，‎ 所以a=2，b=1，所以ab=2．‎ 故答案为2．‎ 点评： 本题考查了复数相等的充要条件，两个复数相等，当且仅当它们的实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．‎ ‎3．（5分）若向量，，且∥，则实数x=﹣4．‎ 考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 利用向量共线定理即可得出．‎ 解答： 解：∵∥，∴3x﹣2×（﹣6）=0，解得x=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ 点评： 本题考查了向量共线定理，属于基础题．‎ ‎4．（5分）袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“‎2”‎、“‎3”‎、“‎4”‎、“‎6”‎这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是．‎ 考点： 等可能事件的概率．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由于所有的取法共有 种，取出的3个球能构成等差数列的取法有2种，由此求得三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率．‎ 解答： 解：从中随机选取三个球，所有的取法共有=4种，‎ 其中，取出的3个球能构成等差数列的取法有2种：三个球的号码分别为2、3、4 和 2、4、6，‎ 故所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 =，‎ 故答案为．‎ 点评： 本题考查等可能事件的概率，考查数字排列问题，题目在计算时注意数字本身的特点，再就是要做到不重不漏，属于中档题．‎ ‎5．（5分）某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示（成绩分组为[0，10），[10，20），…，[80，90），[90，100]）．则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为120．‎ 考点： 用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先由频率分布直方图计算得分落在80分以下各分数段的频率和频数，再将其相加即得低于80分的人数，总人数为400人，故可得高于80分的人数 解答： 解：由图可知，得分在[50，60）的频率为0.015×10=0.15，频数为0.15×400=60‎ 得分在[60，70）的频率为0.025×10=0.25，频数为0.25×400=100‎ 得分在[70，80）的频率为0.03×10=0.3，频数为0.3×400=120‎ ‎∴得分低于80分的人数为60+100+120=280‎ ‎∴得分不低于80分的人数为400﹣280=120‎ 故答案为120‎ 点评： 本题主要考查了利用频率分布直方图估计总体分布的方法，频率分布直方图的认识和应用，数据的频率和频数的计算方法 ‎6．（5分）已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则=﹣1．‎ 考点： 导数的运算．‎ 专题： 导数的概念及应用．分析： 对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=代入导函数中，列出关于f'（）的方程，进而得到f'（）的值，确定出函数f（x）的解析式，把x=代入f（x）解析式，即可求出f（）的值．‎ 解答： 解：求导得f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，‎ 令x=得f′（）=f′（）cos﹣sin 解得f′（）=﹣﹣1‎ ‎∴f（x）=（﹣﹣1）sinx+cosx，‎ 则=（﹣﹣1）sin+cos=﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ 点评： 本题主要考查了导数的运算，以及函数的值，同时考查了计算能力，解题的关键是求f′（）的值，属于基础题．‎ ‎7．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为21．‎ 考点： 伪代码．‎ 专题： 阅读型．‎ 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i≤3时推出循环，得到S的值即可．‎ 解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加，当不满足条件i≤3时推出循环．‎ 此时S=3+6+12=21，‎ 故输出的S值为21．‎ 故答案为：21．‎ 点评： 本题主要考查根据伪代码求输出结果，是算法中常见的题型，解题的关键是弄清循环的次数，属于基础题．‎ ‎8．（5分）已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的充分不必要条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）．‎ 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ 专题： 证明题．‎ 分析： 先看充分性，当l垂直于两腰AD，BC时，根据直线与平面垂直的判定定理，可得l与平面ABCD垂直，结合AB，DC是平面ABCD内的直线，得到l垂直于两底AB，DC，充分性成立；‎ 再看必要性，作出梯形ABCD的高AE，设AE所在直线为l，可得l满足垂直于两底AB，DC，但是l不与梯形ABCD的两腰垂直，必要性不成立．由此得到正确答案．‎ 解答： 解：先看充分性 ‎∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，‎ ‎∴两腰BC、AD所在直线是相交直线．‎ ‎∵l垂直于两腰AD，BC ‎∴l⊥平面ABCD 又∵AB，DC是平面ABCD内的直线，‎ ‎∴l垂直于两底AB，DC，因此充分性成立；‎ 再看必要性 作出梯形ABCD的高AE，则AE垂直于两底AB，DC，设AE所在直线为l，‎ ‎∵l垂直于两底AB，DC，且l是平面ABCD内的直线，‎ ‎∴l与梯形ABCD的两腰不垂直，因此必要性不成立．‎ 故答案为：充分不必要．‎ 点评： 本题借助于必要条件、充分条件与充要条件的判断，着重考查了空间直线与平面垂直、直线与直线垂直的判定与证明等知识点，属于基础题．‎ ‎9．（5分）当直线l：y=k（x﹣1）+2被圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5截得的弦最短时，则k=1．‎ 考点： 直线与圆的位置关系．‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 先求出圆心到直线l的距离为d，设弦长为L，则（ ）2+d2=r2，再根据L的解析式，利用基本不等式求得L的最小值．‎ 解答： 解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的圆心（2，1），半径为，‎ 设圆心到直线l的距离为d，则 d==，‎ 又设弦长为L，则（）2+d2=r2，即 （）2=5﹣=5﹣（1+）=4﹣≥3．‎ ‎∴当k=1时，（）2min=3，‎ ‎∴直线l：y=k（x﹣1）+2被圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5截得的弦最短时，则k=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题主要考查直线过定点问题，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．‎ ‎10．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为．‎ 考点： 双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 将圆化成标准方程得圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0），可得c==5，结合双曲线的离心率e==算出a=，由平方关系得到b2=20，由此即可得出该双曲线的标准方程．‎ 解答： 解：∵圆x2+y2﹣10x=0化成标准方程，得（x﹣5）2+y2=25‎ ‎∴圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0）‎ ‎∵双曲线的一个焦点为F（5，0），且的离心率等于，‎ ‎∴c==5，且=‎ 因此，a=，b2=c2﹣a2=20，可得该双曲线的标准方程为 故答案为：‎ 点评： 本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎11．（5分）曲线在点（1，f（1））处的切线方程为．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ 专题： 导数的概念及应用．‎ 分析： 求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程．‎ 解答： 解：由题意，，‎ ‎∴，‎ ‎∴f′（1）=e ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴所求切线方程为y﹣e+=e（x﹣1），即 故答案为：‎ 点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线的斜率是关键．‎ ‎12．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点，AB=，则C的实轴长为1．‎ 考点： 双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=，即可求得结论．‎ 解答： 解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）‎ ‎∵抛物线y2=4x，2p=4，p=2，∴=1．‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=﹣1．‎ 设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣1的两个交点A（﹣1，y），B（﹣1，﹣y）（y＞0），‎ 则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=，∴y=．‎ 将x=﹣1，y=代入（1），得（﹣1）2﹣（）2=λ，∴λ=‎ ‎∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=，即 ，‎ ‎∴C的实轴长为1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎13．（5分）在△ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=．‎ 考点： 平面向量数量积的性质及其运算律．‎ 专题： 计算题；平面向量及应用．‎ 分析： 根据题意，以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC是矩形，由勾股定理求出BC=2．过A作AE⊥BC于E，算出BE=，最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义，即可算出的值．‎ 解答： 解：以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则 ‎=+‎ ‎∵=‎ ‎∴四边形ABDC是矩形 过A作AE⊥BC于E ‎∵Rt△ABC中，，‎ ‎∴BC==2，可得斜边上的高AE==‎ 因此，BE==‎ ‎∵=，cos∠ABC=‎ ‎∴==1，可得=‎ 故答案为：‎ 点评： 本题在直角三角形中，求一个向量在另一个向量上投影的值．着重考查了向量加法的几何定义和向量数量积的定义等知识，属于基础题．‎ ‎14．（5分）定义在实数集上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]上单调减，又α、β是锐角三角形的二个内角，则f（sinα）与f（cosβ） 的关系是f（sinα）＞f（cosβ）．（用＞，＜，≥，≤表示）．‎ 考点： 奇偶性与单调性的综合．‎ 专题： 综合题；函数的性质及应用．‎ 分析： 确定函数f（x）在[0，1]上单调增，再确定1＞sinα＞cosβ＞0，即可得到结论．‎ 解答： 解：∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]上单调减，‎ ‎∴f（x）在[﹣1，0]上单调减 ‎∵f（x）是偶函数 ‎∴f（x）在[0，1]上单调增 ‎∵α、β是锐角三角形的两个内角，‎ ‎∴α+β ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴1＞sinα＞cosβ＞0‎ ‎∴f（sinα）＞f（cosβ）‎ 故答案为f（sinα）＞f（cosβ）．‎ 点评： 本题考查函数的单调性，考查三角函数的范围，属于中档题．‎ 二、解答题：本大题共8小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15．（14分）已知命题p：不等式a2﹣‎5a﹣3≥3恒成立，命题q：不等式x2+ax+2＜0有解；若p为真命题，q为假命题，求a的取值范围．‎ 考点： 一元二次不等式与一元二次方程；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 分别求出p为真命题，q为假命题时a的取值范围，从而可得a的取值范围．‎ 解答： 解：因为a2﹣‎5a﹣3≥3，所以a≥6或a≤﹣1．‎ 所以p为真命题时a≥6或a≤﹣1…（4分）‎ 又因为不等式x2+ax+2＜0有解，所以△=a2﹣8＞0‎ 所以或 所以q为假命题时，…（8分）‎ 所以p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为…（12分）‎ 点评： 本题重点考查命题真假的运用，考查不等式的解法，解题的关键是求出p为真命题，q为假命题时a的取值范围，属于基础题．‎ ‎16．（14分）在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC．‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）求的最大值．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用．‎ 专题： 计算题；三角函数的求值．‎ 分析： （1）利用正弦定理将（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC转化为边之间的关系，再由余弦定理即可求得求角A的值；‎ ‎（2）利用（1）中角A=60°，可求得B=120°﹣C，利用三角函数中的恒等变换可将sinB﹣cosC转化为关于角C的关系式，从而可求得其最大值．‎ 解答： 解：（1）∵（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC，‎ ‎∴（sinB+sinC）2﹣sin‎2A=3sinBsinC，‎ ‎∴sin2B+sin‎2C﹣sin‎2A﹣sinBsinC=0，‎ 由正弦定理===2R得：b2+c2﹣a2﹣bc=0，‎ 又由余弦定理知，a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎∴cosA=，角A=60°．‎ ‎（2）∵角A=60°，在△ABC中，A+B+C=180°，‎ ‎∴B=120°﹣C，‎ ‎∴sinB﹣cosC ‎=sin（120°﹣C）﹣cosC ‎=（cosC﹣（﹣）sinC）﹣cosC ‎=cosC+sinC ‎=sin（C+），‎ ‎∵C∈（0°，120°），‎ ‎∴=1，即sinB﹣cosC得最大值为1．‎ 点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理，突出三角函数中的恒等变换及诱导公式的应用，属于中档题．‎ ‎17．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． 若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．‎ 考点： 点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 将直线和圆的方程化为直角坐标方程，利用直线和圆的位置关系求解．‎ 解答： 解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，‎ 圆心的直角坐标（﹣，﹣）‎ 直线l的极坐标方程为即为x+y﹣=0，‎ 圆心O（﹣，﹣）到直线的距离d==2．‎ 圆O上的点到直线的最大距离为 2+r=3，‎ 解得r=1．‎ 点评： 本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，考查点到直线距离公式等．‎ ‎18．（14分）某汽配厂生产某种零件，每个零件的出厂单价为60元，为了鼓励更多销售商订购，该厂决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．‎ ‎（1）当一次订购量最少为多少时，零件的实际出厂单价恰好为51元？‎ ‎（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式．‎ 考点： 分段函数的应用．‎ 专题： 应用题．‎ 分析： （1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元；‎ ‎（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P=51，则当100＜x＜550时，得到P为分段函数，写出解析式即可；‎ 解答： 解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．‎ ‎（2）当0＜x≤100时，P=60‎ 当100＜x＜550时，‎ 当x≥550时，P=51‎ 所以．‎ 点评： 本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．‎ ‎19．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF‎1F2面积的最大值．‎ 考点： 椭圆的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）根据焦距为2求出c的值，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）先设M的坐标为（x0，y0）根据题意满足，再表示出直线l的方程，由圆M与l有公共点可得到M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0﹣15≥0，再由消去y0，求出x0的取值范围，写出△MF‎1F2面积后即可求出最大值．‎ 解答： 解：（1）∵‎2c=2，且，∴c=1，a=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=3．‎ 则椭圆C的方程为；‎ ‎（2）设点M的坐标为（x0，y0），‎ 则．‎ ‎∵F1（﹣1，0），，‎ ‎∴直线l的方程为x=4．‎ 由于圆M与l有公共点，‎ ‎∴M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．‎ ‎∵R2=MF12=（x0+1）2+y02，‎ ‎∴（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，‎ 即y02+10x0﹣15≥0．‎ 又，∴3﹣+10x0﹣15≥0．‎ 解得：，又，‎ ‎∴，当时，，‎ ‎∴×2×=．‎ 点评： 本题主要考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查直线与椭圆、圆与椭圆的交点问题，解答此题的关键在于不等式的转化，属难题．‎ ‎20．（16分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x ‎（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．‎ 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．‎ 专题： 综合题；压轴题．‎ 分析： （1）求导函数，利用f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，可得f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，由此可求实数a的取值范围；‎ ‎（2）利用x=﹣是f（x）的极值点，求出a的值，再求出函数的极值，把极值同两个端点的值进行比较得到最值 解答： 解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，‎ ‎∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立 ‎∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立 ‎∴且f′（1）=﹣‎2a≥0‎ ‎∴a≤0‎ ‎（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴‎ ‎∴‎ ‎∴a=4‎ ‎∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3‎ 令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；‎ ‎∴x=3时，函数取得最小值﹣18‎ ‎∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12‎ ‎∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．‎ 点评： 本题考查导数的应用，求极值和求最值，考查恒成立问题，考查学生等价转化问题的能力，属于中档题．‎ ‎21．（16分）（文科）已知数列{an}满足：a1=1，a2=，且[3+（﹣1）n]an+2﹣2an+2[（﹣1）n﹣1]=0，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=a2n﹣1•a2n，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 考点： 数列的求和；数列递推式．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （Ⅰ）通过n=1，2，3，4，计算可得a3，a4，a5，a6的值，讨论n为奇数和偶数，由等差数列和等比数列的通项即可得到数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求出bn=（2n﹣1）•（）n，运用错位相减法，即可得到数列{bn}的前n项和Sn．‎ 解答： 解：（Ⅰ）a1=1，a2=，且[3+（﹣1）n]an+2﹣2an+2[（﹣1）n﹣1]=0，‎ 则‎2a3﹣‎2a1﹣4=0，解得a3=3，‎ ‎4a‎4﹣‎2a2=0，解得a4=，‎ ‎2a‎5﹣‎2a3﹣4=0，解得a5=5，‎ ‎4a‎6﹣‎2a4=0，解得a6=，‎ 当n为奇数时，an+2=an+2，an=n；‎ 当n为偶数时，an+2=an，an=．‎ 即有an=；‎ ‎（Ⅱ）由于2n﹣1为奇数，则a2n﹣1=2n﹣1，‎ 由于2n为偶数，则a2n=（）n．‎ 因此，bn=a2n﹣1•a2n=（2n﹣1）•（）n．‎ Sn=1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣3）•（）n﹣1+（2n﹣1）•（）n，‎ Sn=1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n+1，‎ 两式相减得Sn=1•+2[（）2+（）3+（）4+…+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1，‎ ‎=+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，‎ 化简可得，Sn=3﹣．‎ 点评： 本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A‎1A=，M是CC1的中点．‎ ‎（1）求证：A1B⊥AM；‎ ‎（2）求二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．‎ 考点： 用空间向量求平面间的夹角．‎ 专题： 空间角；空间向量及应用．‎ 分析： （1）以C为原点，CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能证明A1B⊥AM．‎ ‎（2）求出平面AMC的一个法向量和平面BAM的法向量，由此利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．‎ 解答： （1）证明：以C为原点，CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则B（1，0，0），A（0，，0），，‎ M（0，0，），=（1，﹣，﹣），=（0，﹣，），‎ ‎∵=0+3﹣3=0，‎ ‎∴A1B⊥AM．‎ ‎（2）解：∵ABC﹣A1B‎1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，‎ 又BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，‎ ‎∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，‎ 又AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC，‎ ‎∴=（1，0，0）是平面AMC的一个法向量，‎ 设=（x，y，z）是平面BAM的法向量，‎ ‎=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），‎ ‎∴，‎ 取z=2，得=（），‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小为45°．‎ 点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．‎