遂宁市2014-2015高二数学下学期期末模拟试卷（文科附答案）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2．（5分）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）
A． B． C． （1，0） D． （1，π）
3．（5分）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）
A． y=±4x B． C． y=±2x D．
4．（5分）过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
5．（5分）已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|+|F2B|=30，则|AB|=（）
A． 16 B． 18 C． 22 D． 20
6．（5分）ax+y﹣3=0与曲线y=在x=1处的切线平行，则a的值为（）
A． a=1 B． a=﹣1 C． a=2 D． a=1
7．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
A． B． C． D．
8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）
A． x2﹣=1 B． x2﹣y2=15 C． =1 D． x2﹣y2=9
9．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（﹣1，1）内，则实数a的取值范围是（）
A． （0，2] B． （0，2） C． [，2） D．
10．（5分）已知函数f（x）=2ln x﹣xf′（1），则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是（）
A． x﹣y+2=0 B． x+y+2=0 C． x+y﹣2=0 D． x﹣y﹣2=0
11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）
A． B． 3 C． D． 2
12．（5分）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且a+2b+3c=0，f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是（）
A． [0，） B． [0，） C． （，） D． （，）
二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx在上的最大值为．
14．（5分）曲线C的参数方程是（θ为参数，且θ∈（π，2π）），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是．
15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△MFO的面积为，则该抛物线的方程为．
16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ
将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程．
18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
19．（12分）设椭圆E：过，两点，O为坐标原点
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．
20．（12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足
（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．
四川省遂宁市射洪中学2014-2015学年高二下学期期末数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 复数的代数表示法及其几何意义．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．
解答： 解：因为复数===﹣1+i，
所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．
故选：B．
点评： 本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．
2．（5分）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）
A． B． C． （1，0） D． （1，π）
考点： 简单曲线的极坐标方程．
专题： 直线与圆；坐标系和参数方程．
分析： 先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．
解答： 解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：
ρ2=﹣2ρsinθ，
化成直角坐标方程为
x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．
∴圆心的极坐标
故选B．
点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．
3．（5分）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）
A． y=±4x B． C． y=±2x D．
考点： 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
专题： 计算题．
分析： 根据题意，结合椭圆的性质，可得e2==1﹣=，进而可得=；再由双曲线的渐进性方程，可得答案．
解答： 解：根据题意，椭圆的离心率为，
则有e2==1﹣=，
即=；
则双曲线的渐近线方程为y=±x，即；
故选D．
点评： 解本题时，注意椭圆与双曲线的标准方程中，a、b的意义与相互间的关系．
4．（5分）过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 利用抛物线C在点B处的切线斜率为1，求出B的坐标，可得直线l的方程，利用抛物线的定义，即可求出|AF|．
解答： 解：∵x2=2y，∴y′=x，
∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，
∴B（1，），
∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，
∴直线l的方程为y=，
∴|AF|=1．
故选：A．
点评： 本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．
5．（5分）已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|+|F2B|=30，则|AB|=（）
A． 16 B． 18 C． 22 D． 20
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由椭圆的定义得，则|AB|+|AF2|+|BF2|=52，由此可求出|AB|的长．
解答： 解：由椭圆的定义得，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=52，
又|F2A|+|F2B|=30，∴|AB|+30=52，
∴|AB|=22．
故选：C．
点评： 本题考查椭圆的定义与基本性质和应用，体现了数学转化思想方法，是基础题．
6．（5分）ax+y﹣3=0与曲线y=在x=1处的切线平行，则a的值为（）
A． a=1 B． a=﹣1 C． a=2 D． a=1
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的概念及应用；直线与圆．
分析： 求出函数的导数，利用导数的几何意义结合直线平行的等价条件，即可得到结论．
解答： 解：∵函数在点（1，f（1））处的切线与直线ax+y﹣3=0平行，
∴切线斜率k=﹣a，即k=f′（1）=﹣a，
∵y=f（x）=，
∴f′（x）=，
即k=f′（1）=1=﹣a，
解得a=﹣1，
故选：B．
点评： 本题主要考查导数的几何意义的应用以及直线平行的关系，根据导数求出函数的切线斜率是解决本题的关键．
7．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
A． B． C． D．
考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．
专题： 压轴题．
分析： 本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．
解答： 解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．
点评： 考查函数的单调性问题．
8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）
A． x2﹣=1 B． x2﹣y2=15 C． =1 D． x2﹣y2=9
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 根据抛物线的焦点坐标，双曲线的离心率等于，确定双曲线中的几何量，从而可得双曲线方程．
解答： 解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（，0）
∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，∴c=
∵双曲线的离心率等于，∴a=3
∴b2=c2﹣a2=1
∴双曲线的方程为=1
故选：C．
点评： 本题考查抛物线的几何性质，考查双曲线的标准方程，确定几何量是关键．
9．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（﹣1，1）内，则实数a的取值范围是（）
A． （0，2] B． （0，2） C． [，2） D．
考点： 函数在某点取得极值的条件．
专题： 综合题．
分析： 求导函数，则问题转化为方程3x2+2ax+1=0的根都在区间（﹣1，1）内，构造函数g（x）=3x2+2ax+1，即可求得实数a的取值范围．
解答： 解：求导函数，可得f′（x）=3x2+2ax+1
则由题意，方程3x2+2ax+1=0的两个不等根都在区间（﹣1，1）内，
构造函数g（x）=3x2+2ax+1，则
∴
∴实数a的取值范围是
故选D．
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查方程根的研究，解题的关键是问题转化为方程3x2+2ax+1=0的根都在区间（﹣1，1）内．
10．（5分）已知函数f（x）=2ln x﹣xf′（1），则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是（）
A． x﹣y+2=0 B． x+y+2=0 C． x+y﹣2=0 D． x﹣y﹣2=0
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： 求出f′（x），由题意可知曲线在点（1，f（1））处的切线方程的斜率等于f′（1），所以把x=1代入到f′（x）中即可求出f′（1）的值，得到切线的斜率，然后把x=1和f′（1）的值代入到f（x）中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率直线切线的方程即可．
解答： 解：f′（x）=2ln x﹣xf′（1），
由题意可知，曲线在（1，f（1））处切线方程的斜率k=f′（1），
则f′（1）=2﹣f′（1），解得f′（1）=1，
则f（1）=﹣1，所以切点（1，﹣1）
所以切线方程为：y+1=x﹣1，化简得x﹣y﹣2=0
故选：D．
点评： 此题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．
11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）
A． B． 3 C． D． 2
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．
解答： 解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．
设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点
又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，
∴△MF1F2为直角三角形，
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2
∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，
∴c=2a，∴e=2．
故选D．
点评： 本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且a+2b+3c=0，f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是（）
A． [0，） B． [0，） C． （，） D． （，）
考点： 导数的运算；二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由求出函数的导数g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，利用根与系数之间的关系得到x1+x2，x1x2的值，将|x1﹣x2|进行转化即可求出结论．
解答： 解：∵g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，
∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=，x1x2=，
∵|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=，
又a+2b+3c=0，
∴3c=﹣a﹣2b代入上式，
得|x1﹣x2|2====（1）2 ，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即•＞0，
∴（a+2b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，两边同除以a2得：（+2）（2+1）＜0；
∴﹣2＜＜﹣，
∴0≤（1）2＜
∴|x1﹣x2|∈[0，）．
故选：A．
点评： 本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．
二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx在上的最大值为．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： 求导分判断导数在上的正负，从而得出在上的单调性，从而求出最大值．
解答： 解：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，
则当 时，f′（x）＞0，
当 时，f'（x）＜0，
∴f（x）在上单调递增，在 上单调递减，
故时，f（x）取得最大值．
故答案为：．
点评： 本题考查了利用导数判断函数的单调性与最值，属于基础题．
14．（5分）曲线C的参数方程是（θ为参数，且θ∈（π，2π）），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是ρsinθ=﹣2．
考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： 利用把曲线D的方程，化为普通方程为x+y=0．利用sin2θ+cos2θ=1可把曲线C的参数方程，化为（x﹣2）2+y2=4，注意到θ∈（π，2π），可得y＜0，联立即可得出交点，进而得出切线方程．
解答： 解：曲线D的方程为，展开化为：=0，即直线D的普通方程为x+y=0，
又曲线C的参数方程是，化为（x﹣2）2+y2=4，
曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的半圆，
注意到θ∈（π，2π），∴y＜0，联立方程组得，
解之得，故交点P的坐标为（2，﹣2）．
过交点P且与曲线C相切的直线的普通方程是y=﹣2，
对应的极坐标方程为ρsinθ=﹣2．
点评： 本题考查了把极坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了直线与圆相切，考查了计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△MFO的面积为，则该抛物线的方程为y2=8x．
考点： 抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．
专题： 计算题．
分析： 根据M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，可确定M的坐标，利用△MFO的面积为，即可求得抛物线的方程．
解答： 解：由题意，F（，0），准线方程为x=﹣
∵|MF|=4|OF|，∴|MF|=2p
∴M的横坐标为
∴M的纵坐标为
∵△MFO的面积为，
∴
∴p=4
∴抛物线的方程为y2=8x
故答案为：y2=8x
点评： 本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定M的坐标．
16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0
是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．
考点： 函数与方程的综合运用；函数的值．
专题： 综合题；函数的性质及应用．
分析： 函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
解答： 解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．
由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．
又1∉（﹣1，1）
∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．
⇒＜m≤
∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．
故答案为：﹣3＜m≤．
点评： 本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ
将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程．
考点： 参数方程化成普通方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： 利用cos2θ+sin2θ=1，可吧曲线C1的参数方程（θ为参数）化为普通方程；曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ，化为ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ，利用即可化为直角坐标方程．
解答： 解：曲线C1的参数方程为（θ为参数），由于cos2θ+sin2θ=1，可得普通方程：（x+2）2+y2=10．
曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ，化为ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=2x+6y．
点评： 本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
考点： 直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
专题： 直线与圆．
分析： （1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；
（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．
解答： 解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0
直线l的参数方程为（t为参数）
将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0
整理，得t2﹣8tcosα+12=0
∵直线l与圆C有公共点，
∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥
∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）
∴α的取值范围为[0，]∪[，π）
（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）
∵M（x，y）为曲线C上任意一点，
∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin（θ+）
∵sin（θ+）∈[﹣1，1]
∴2sin（θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．
点评： 本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
19．（12分）设椭圆E：过，两点，O为坐标原点
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．
考点： 圆与圆锥曲线的综合．
分析： （1）利用待定系数法，可求椭圆E的方程；
（2）分类讨论，设出切线方程与椭圆方程联立，要使，需使x1x2+y1y2=0，结合韦达定理，即可求解．
解答： 解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，
所以，解得，
所以，
所以椭圆E的方程为（5分）
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m．
解方程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，
则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，
即8k2﹣m2+4＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则（7分）
．
要使，需使x1x2+y1y2=0，即，
所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以．
又8k2﹣m2+4＞0，所以，
所以，即或，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，
所以，所以，
所以所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，
而当切线的斜率不存在时，切线为与椭圆的两个交点为或，满足，
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．（13分）
点评： 本题考查利用待定系数法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．（12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足
（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
考点： 函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．
专题： 应用题；导数的综合应用．
分析： （1）根据题意售价为万元/万件，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，利用利润=销售额﹣成本，即可列出函数关系式；
（2）对a进行分类讨论，当a≥1时，利用基本不等式即可求得最值，当a＜1时，利用导数确定函数的单调性，从而求得最值，即可得到答案．
解答： 解：（1）由题意知，该产品售价为万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，
∴，
∵（其中0≤x≤a，a为正常数），
∴y=2×﹣10﹣2×（3﹣）﹣x=16﹣x﹣，
∴（0≤x≤a），
∴该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为（0≤x≤a）；
（2）由（1）可知，（0≤x≤a），
∴，
当且仅当时取等号，
∵0≤x≤a，
①当a≥1时，x=1时，y取得最大值为13，
∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
②当a＜1时，，
∴，解得﹣3＜x＜1，
∴在（﹣3，1）上单调递增，
∴在[0，a]上单调递增，
∴在x=a时，函数有最大值，
∴促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综合①②可得，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，
当a＜1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
点评： 本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．在运用数学方法求解最值时，选用了基本不等式和导数的方法求解．属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （1）求导数，利用极值的 定义，即可求a的值；
（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；
（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．
解答： 解：．
（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）
（2）当0＜a≤2时，f′（x）=
因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，
故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立
记，（1＜a＜2），则，…（10分）
令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0
所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）
故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，
所以
即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）
点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．
22．（12分）已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （Ⅰ）由点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），设直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由已知条件推导出xM=﹣，xN=﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．
解答： 解：（Ⅰ）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，
由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，
∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），
设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，
由，解得点M的横坐标，
又==，
∴xM==﹣，
同理点N的横坐标xN=﹣，
|y2﹣y1|==4，
∴|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=2||， =8=2，
令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，
∴|MN|=2≥，
即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，
此时直线AB的方程为x+y﹣2=0．
点评： 本题考查抛物线方程的求法，考查线段的最小值的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．
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