解答图形存在问题的两种途径
图形存在问题在各地中考中屡见不鲜.这类问题常常以图形的变化或图形上点的运动为主线，要求我们判断和说明符合某一结论的现象是否存在.解答这类问题，可首先假设这种现象存在，再考虑利用化“动”为“静”的策略，构造方程关系式或函数关系式，进行判断和说明.现举例分析如下:
一、从构造方程关系式入手
例1 (临沂市中考)已知，在矩形中，，，动点从点出发沿边向点运动.
(1)如图1，当，点运动到边的中点时，请证明:.
(2)如图2，若时，点在运动的过程中，是否存在?若存在，请给予证明;若不存在，请说明理由.
解析(1)先证明.
∵四边形是矩形，
∴.
∵，点M=是边的中点，
∴，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴.
(2)假设存在题中所求，则存在符合要求的正实数，使得.
由，得
，
∴，
∴.
∵，，
∴.
当时，
，且两根均大于0，所以存在两个不同的正实数，使得，必存在使的点;
当时，
，所以不存在正实数，使得，必不存在使
的点.
说明 解答(1)的关键在于将证明转化为证明和都是等腰直角三角形.
解答(2)的关键在于发现:若，则.根据其对应边的比相等的性质，能构造一个关于的一元二次方程.接下去只需要判断或说明这个关于的一元二次方程是否存在正实数根.
例2 (南通市中考)如图3，在中，c，cm，点是边的中点，点从点出发，以 cm/s()的速度沿匀速向点运动;点同时以1cm/s的速度从点出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为s.
(1)若，，求的值.
(2)点在上，四边形为平行四边形.
①若，求的长.
②是否存在实数，使得点在的平分线上?若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由.
解析 (1)在中，由已知条件，可得
.
∵，
∴.
∵时，
，，，
∴，
解得.
(2)①由四边形为平行四边形，得
，.
∵，
∴，
∴，
∴，
解得.
∴.
②假设存在符合要求的实数，连(如图4).
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴四边形是菱形.
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，.
因为，所以不存在实数符合要求的，使得点在的平分线上.
说明 解答(1)的关键在于利用的条件，根据其对应边的比相等的性质构造一个关于的方程.
解答(2)①的关键在于从四边形为平行四边形入手，推出
为等腰三角形及;解答(2)②的关键在于发现，若点在的平分线上时，四边形是菱形，根据且，能得两个关于和的方程.
二、从构造函数关系式入手
例3 (南充市)如图5，在中，，是中点，把一三角尺的直角顶点放在点处，以为旋转中心，旋转三角尺，使三角尺的两直角边与的两直角边分别交于点、.
(1)求证：.
(2)连结，探究:在旋转三角尺的过程中，的周长是否存在最小值?若存在，求出最小值;若不存在，请说明理由.
解析 (1)如图6所示，连结，只需证明.
因为是等腰直角三角形，且是斜边的中点，
∴，，平分.
∴，
，
∴，
∴.
(2)假设存在最小值，则存在正实数，使得，且使得的周长有最小值.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值为8，
∴的最小值.
所以在旋转三角尺的过程中，的周长存在最小值为.
说明 解答(7)的关键在于连结，将证明转化为证明.
解答(2)的关键在于构造l=与的函数关系式，并利用配方方法确定的最小值为8.
例4 (德州市)如图7所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点为正方形边上的一点(不与点、点重合).将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连结、.
(1)求证:.
(2)当点在边上移动时，的周长是否发生变化?并证明你的结论.
(3)设为，四边形的面积为，试问是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.
解析 (1)注意到，那么.
因为四边形沿拆痕折叠后与四边形重合，
∴，
∴.
(2)如图8，过点作于点.
∵，
∴点在的平分线上，
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴的周长.
所以点在边上移动时，的周长不会发生变化.
(3)假设四边形的面积存在最小值.由于四边形沿折痕折叠后与四边形重合，则.
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴，
.
过点作，垂足为，
则，.
∵为折痕，点与点是一对对应点，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴，
.
∴
.
因为当时，的最小值为6,
所以四边形的面积存在最小值为6.
说明解答(1)的关键在于利用轴对称图形的性质证明.
解答(2)的关键在于过点作于点，并利用(1)的结论证明.
解答(3)的关键在于用分别表示和.要用表示离不开用表示，要用表示，过点作至关重要.
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