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2017-2018学年甘肃省定西市临洮县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（）2=9 B． =2 C． D． =﹣2
3．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，c=10，则a的长为（ ）
A．5 B． C．5 D．
5．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB=BC，CD=DA B．AB∥CD，AD=BC C．AB∥CD，∠A=∠C D．∠A=∠B，∠C=∠D
6．（3分）正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．9
7．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10m B．15m C．18m D．20m
8．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
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9．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）．
12．（3分）要使式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（3分）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 ．
14．（3分）计算的结果是 ．
15．（3分）已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为 ．
16．（3分）▱ABCD中一条对角线分∠A为35°和45°，则∠B= 度．
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17．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．
18．（3分）在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，则AB边上的中线CD为 ．
19．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是 ．
20．（3分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4= ．
三．解答题：（本大题共60分）
21．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
22．（8分）若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
23．（7分）有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米．
（1）试判断以点A、点B、点C为顶点的三角形是什么三角形？并说明理由．
（2）求这块地的面积．
24．（8分）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥
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BC，AC=8，BD=6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
25．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
26．（8分）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ．
27．（6分）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
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28．（9分）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，写出第n个等式： ；
（2）利用你观察到的规律，化简：；
（3）计算：…．
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2017-2018学年甘肃省定西市临洮县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意；
B、被开方数含开的尽的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含开的尽的因数或因式，故C不符合题意；
D、最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（）2=9 B． =2 C． D． =﹣2
【解答】解：A、（）2=3，此选项错误；
B、=2，此选项正确；
C、×=，此选项错误；
D、=2，此选项错误；
故选：B．
3．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确；
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C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，c=10，则a的长为（ ）
A．5 B． C．5 D．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠A=45°，
∴a=b，
∵c2=a2+b2，c=10，
∴2a2=100
解得a=5．
故选：C．
5．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB=BC，CD=DA B．AB∥CD，AD=BC C．AB∥CD，∠A=∠C D．∠A=∠B，∠C=∠D
【解答】解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形，
C选项中，由于AB∥CD，∠A=∠C，所以∠B=∠D，
所以只有C能判定．
故选：C．
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6．（3分）正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．9
【解答】解：∵正方形面积为36，
∴正方形的边长为：6，
则对角线的长为： =6．
故选：A．
7．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10m B．15m C．18m D．20m
【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，
∴AC===13m，
∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18m．
即：这棵大树在折断前的高度为18m．
故选：C．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
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A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5cm，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BE=AB=3cm，
∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2cm；
故选：B．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，
解之得：x=3，
∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，
∴S△AFC=•AF•BC=10．
故选：C．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 合格 （填“合格”或“不合格”）．
【解答】解：∵802+602=10000=1002，
即：AD2+DC2=AC2，
∴∠D=90°，
同理：∠B=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
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12．（3分）要使式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，
则x+2≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
13．（3分）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 3 ．
【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则+|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
故答案为：3．
14．（3分）计算的结果是 22﹣4 ．
【解答】解：原式=20﹣4+2
=22﹣4．
故答案为22﹣4．
15．（3分）已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为 3或 ．
【解答】解：当一直角边、斜边为4和5时，第三边==3；
当两直角边长为4和5时，第三边=；
故答案为：3或．
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16．（3分）▱ABCD中一条对角线分∠A为35°和45°，则∠B= 100 度．
【解答】
解：∵▱ABCD中一条对角线分∠A为35°和45°，
∴∠BAD=80°，
∵四边形BACD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠B=100°，
故答案为：100．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= 2.5 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），
∴DO=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=2.5cm，
故答案为：2.5．
18．（3分）在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，则AB边上的中线CD为 10 ．
【解答】解：由勾股定理得，AB==20，
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∵∠C=90°，CD为AB边上的中线，
∴CD=AB=10，
故答案为：10．
19．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是 ．
【解答】解：点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是： =．
故答案填：．
20．（3分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4= ．
【解答】解：12※4===．
故答案为：．
三．解答题：（本大题共60分）
21．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
【解答】解：（1）
=2+2﹣3+
=3﹣
（2）×
=
=
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=
22．（8分）若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）根据题意知，
解得：；
（2）当x=4、y=3时，
===5．
23．（7分）有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米．
（1）试判断以点A、点B、点C为顶点的三角形是什么三角形？并说明理由．
（2）求这块地的面积．
【解答】解：（1）连接AC，
由勾股定理可知：AC=，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2
∴△ABC是直角三角形；
（2）这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积，
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=×5×12﹣×3×4
=24（m2）．
24．（8分）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
【解答】解：
（1）∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴▱ABCD的面积=AC•BD=24．
25．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
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【解答】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形．
26．（8分）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 平行四边形 ，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 互相垂直 条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ 菱形 ．
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【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
同理FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：平行四边形；互相垂直；菱形．
27．（6分）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【解答】解：根据题意，得
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PQ=16×1.5=24（海里），
PR=12×1.5=18（海里），
QR=30（海里），
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，
即“海天”号沿西北方向航行．
28．（9分）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，写出第n个等式： ， ；
（2）利用你观察到的规律，化简：；
（3）计算：…．
【解答】解：（1）写出第n个等式，
故答案为：；
（2）原式==；
（3）原式=+…+
=﹣1．
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