咸宁市2015年中考数学试卷（含解析）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
正数和负数．.
分析：
求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
解答：
解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，
∴﹣0.6最接近标准，
故选：C．
点评：
本题考查了绝对值和正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．
2．（3分）（2015•咸宁）方程2x﹣1=3的解是（ ）
A．
﹣1
B．
﹣2
C．
1
D．
2
考点：
解一元一次方程．.
专题：
计算题．
分析：
方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解答：
解：方程2x﹣1=3，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
故选D
点评：
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
3．（3分）（2015•咸宁）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．
圆柱
B．
圆锥
C．
长方体
D．
正方体
考点：
由三视图判断几何体．.
分析：
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
18
解答：
解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得此几何体为圆柱．
故选A．
点评：
本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
4．（3分）（2015•咸宁）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．
50°
B．
40°
C．
30°
D．
25°
考点：
平行线的性质．.
分析：
由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．
解答：
解：如图，，
∵∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90°﹣50°=40°．
故选B．
点评：
此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
5．（3分）（2015•咸宁）下列运算正确的是（ ）
A．
a6÷a2=a3
B．
（a+b）2=a2+b2
C．
2﹣3=﹣6
D．
=﹣3
考点：
同底数幂的除法；立方根；完全平方公式；负整数指数幂．.
专题：
计算题．
分析：
A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；
C、原式利用负整数指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用立方根定义计算得到结果，即可做出判断．
解答：
解：A、原式=a4，错误；
B、原式=a2+b2+2ab，错误；
C、原式=，错误；
D、原式=﹣3，正确，
18
故选D
点评：
此题考查了同底数幂的除法，立方根，完全平方公式，以及负整数指数幂，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6．（3分）（2015•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．
1：2
B．
1：4
C．
1：5
D．
1：6
考点：
位似变换．.
分析：
利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．
解答：
解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选：B．
点评：
此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．
7．（3分）（2015•咸宁）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（ ）
A．
由小到大
B．
由大到小
C．
不变
D．
先由小到大，后由大到小
考点：
扇形面积的计算．.
分析：
18
作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，构造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性质，通过证明△DMG≌△DNH，把△DHN补到△DNG的位置，得到四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方形DMCN的面积，即为定值．
解答：
解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
DM=AD=AB，DN=BD=AB，
∴DM=DN，
∴四边形DNCN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDG=90°﹣∠GDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°﹣∠GDN，
∴∠MDG=∠NDH，
在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH，
∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，
∵正方形DMCN的面积=DM2=AB2，
∴四边形DGCH的面积=，
∵扇形FDE的面积==，
∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形DGCH的面积=（定值），
故选C．
点评：
本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．（3分）（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
18
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．.
分析：
①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；
②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
解答：
解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
点评：
本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．
二、细心填一填（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•咸宁）﹣6的倒数是 ．
考点：
倒数．.
分析：
根据倒数的定义求解．
解答：
解：因为（﹣6）×（﹣）=1，
所以﹣6的倒数是﹣．
点评：
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
10．（3分）（2015•咸宁）端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a元，则粽子的原价卖 a 元．
18
考点：
列代数式．.
分析：
8折=80%，把原价当作单位“1”，则现价是原价的80%，根据分数除法的意义原价是：a÷80%=，得结果．
解答：
解：8折=80%，
a÷80%=，
故答案为：．
点评：
本题主要考查了打折问题，找准单位“1”，弄清各种量的关系是解答此题的关键．
11．（3分）（2015•咸宁）将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m= 3 ．
考点：
配方法的应用．.
专题：
计算题．
分析：
原式配方得到结果，即可求出m的值．
解答：
解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n，
则m=3，
故答案为：3
点评：
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（3分）（2015•咸宁）如果实数x，y满足方程组，则x2﹣y2的值为 ﹣ ．
考点：
解二元一次方程组；平方差公式．.
专题：
计算题．
分析：
方程组第二个方程变形求出x+y的值，原式利用平方差公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：方程组第二个方程变形得：2（x+y）=5，即x+y=，
∵x﹣y=﹣，
∴原式=（x+y）（x﹣y）=﹣，
故答案为：﹣
点评：
此题考查了解二元一次方程组，以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18
13．（3分）（2015•咸宁）为了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级1200名学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，整理数据后绘制如图所示的统计图．由此可估计该年级喜爱“科普常识”的学生约有 360 人．
考点：
扇形统计图．.
分析：
根据扇形图求出喜爱科普常识的学生所占的百分比，1200乘百分比得到答案．
解答：
解：喜爱科普常识的学生所占的百分比为：1﹣40%﹣20%﹣10%=30%，
1200×30%=360，
故答案为：360．
点评：
本题考查的是扇形统计图的知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
14．（3分）（2015•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为 8 ．
考点：
一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．.
分析：
根据题意确定点A′的纵坐标，根据点A′落在直线y=﹣x上，求出点A′的横坐标，确定△OAB沿x轴向左平移的单位长度即可得到答案．
解答：
解：由题意可知，点A移动到点A′位置时，纵坐标不变，
∴点A′的纵坐标为6，
﹣x=6，解得x=﹣8，
∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置，移动了8个单位，
∴点B与其对应点B′间的距离为8，
故答案为：8．
点评：
18
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和图形的平移，确定三角形OAB移动的距离是解题的关键．
15．（3分）（2015•咸宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= 1.6×105或160000 ．
考点：
规律型：数字的变化类．.
分析：
首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．
解答：
解：∵；；；…
∴；
∴．
故答案为：1.6×105或160000．
点评：
本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．
16．（3分）（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）
考点：
四边形综合题．.
分析：
根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，AG=GE，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长，然后求出弧BD的长度，判断出③正确；正方形的对角线减去圆弧的半径就是CG的最小值，通过计算从而判断出④错误．
解答：
解：∵在正方形ABCD中，AE、BD垂直平分，
∴当E移动到与C重合时，AG=GE，故①错误；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
18
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正确；
根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长，
∴圆弧BD的长==π，故③正确；
CG的最小值为AC﹣AB=4﹣2，故④错误；
综上所述，正确的结论有②③．
故答案为②③．
点评：
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分）
17．（8分）（2015•咸宁）（1）计算：|1﹣|++（﹣2）0；
（2）化简：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a﹣b）2．
考点：
整式的混合运算；实数的运算；零指数幂．.
专题：
计算题．
分析：
（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用多项式除以单项式法则计算，第二项利用完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
解答：
解：（1）原式=﹣1+2+1=3；
（2）原式=a2﹣2ab﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=﹣2b2．
点评：
此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2015•咸宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
考点：
相似三角形的判定；全等三角形的判定．.
分析：
（1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案；
18
（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．
解答：
解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中
∵，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
点评：
此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
19．（8分）（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
考点：
根的判别式；解一元二次方程-公式法．.
分析：
（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
解答：
解：（1）△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
18
点评：
本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．
20．（9分）（2015•咸宁）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如图：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
m
93
93
12
九（2）班
99
95
n
93
8.4
（1）直接写出表中m、n的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；
（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．
考点：
列表法与树状图法；加权平均数；中位数；众数；方差．.
专题：
计算题．
分析：
（1）求出九（1）班的平均分确定出m的值，求出九（2）班的中位数确定出n的值即可；
（2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持九（2）班成绩好的原因；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出另外两个决赛名额落在同一个班的情况数，即可求出所求的概率．
解答：
解：（1）m=（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）=94；
把九（2）班成绩排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99，
则中位数n=（95+96）=95.5；
（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；③九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可）；
（3）用A1，B1表示九（1）班两名98分的同学，C2，D2表示九（2）班两名98分的同学，
画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有4种，
则P（另外两个决赛名额落在同一个班）==．
点评：
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18
21．（9分）（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
考点：
切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．.
分析：
（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；
（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．
解答：
（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．
∵BC与⊙O相切于一点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°=∠C，
∴OD∥AC，
∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=AO=0D，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形AODE是菱形．
（2）解：设⊙O的半径为r．
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴，即8r=6（8﹣r）．
解得r=，
∴⊙O的半径为．
如图2，连接OD、DF．
∵OD∥AC，
∴∠DAC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
18
∴∠DAC=∠DAO，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°=∠C，
∴△ADC∽△AFD，
∴，
∴AD2=AC•AF，
∵AC=6，AF=，
∴AD2=×6=45，
∴AD==3．
点评：
本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．
22．（10分）（2015•咸宁）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
考点：
一次函数的应用；分式方程的应用．.
分析：
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解；
18
（2）根据题意得到100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，即可解答．
（3）根据甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，根据一次函数的性质，即可解答．
解答：
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）根据题意，得：100x+50y=1800，
整理得：y=36﹣2x，
∴y与x的函数解析式为：y=36﹣2x．
（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，
∴x+y≤26，
∴x+36﹣2x≤26，
解得：x≥10，
设施工总费用为w元，根据题意得：
w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，
∵k=0.1＞0，
∴w随x减小而减小，
∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9=10，
此时y=36﹣20=16．
答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．
点评：
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
23．（10分）（2015•咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
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考点：
四边形综合题．.
分析：
（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；
（2）连接AC，BD，证明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直径，所以AB≠CD，即可解答；
（3）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．
解答：
解：（1）如图1所示（画2个即可）．
（2）如图2，连接AC，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ADB和Rt△ACB中，
∴Rt△ADB≌Rt△ACB，
∴AD=BC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AB≠CD，
∴四边形ABCD是对等四边形．
（3）如图3，点D的位置如图所示：
①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；
②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，
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过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，
设BE=x，
∵tan∠PBC=，
∴AE=，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即，
解得：x1=5，x2﹣5（舍去），
∴BE=5，AE=12，
∴CE=BC﹣BE=6，
由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，
在Rt△AFD2中，，
∴，，
综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+．
点评：
本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．
24．（12分）（2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
考点：
反比例函数综合题．.
分析：
（1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥﹣3时，显然y=x+3；②当x＜﹣3时，利用待定系数法求解；
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（2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=．由点D是线段AC上一动点（不包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=﹣m，再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，然后利用二次函数的性质即可求解；
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形．
解答：
解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；
②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：
①x≥﹣3时，显然y=x+3；
②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．
在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，
则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．
把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，
得，解得，
∴y=﹣x﹣3．
综上所述，新函数的解析式为y=；
（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=上，
∴k=1×4=4，y=．
∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），
∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴P（，m+3），
∴PD=﹣m，
∴△PAD的面积为
S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
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∵a=﹣＜0，
∴当m=﹣时，S有最大值，为，
又∵﹣3＜﹣＜1，
∴△PAD的面积的最大值为；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形．
点评：
本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
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