唐山市2015年高二数学第二学期期末试题（理科带答案）
说明：
1.考试时间120分钟，满分150分。2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题纸上。3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位说明：
卷Ⅰ
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知复数，则在复平面上表示的点位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知且，则
（ ）
A．-6或-2 B．-6 C．2或-6 D．2
3.已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下：
0
1
2
3
4
2.2
4.3
t
4.8
6.7
且回归方程是,则t= （ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
4. 设是两个单位向量,其夹角为,则“”是“”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 设集合,,从集合中任取一个元素,则这个元素也是集合中元素的概率是 ( )
A. B. C. D.
6.下列四个结论：
①若，则恒成立；
②命题“若”的逆命题为“若”；
③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
④命题“”的否定是“”.
其中正确结论的个数是 ( )
8
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是 ( )
A． B． C． D．
8.设随机变量X服从正态分布，则成立的一个必要不充分条件是 （ ）
A．或2 B．或2 C． D．
9．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为 （ ）
A.2k+1 B.2（2k+1） C. D.
10.设，则的最小值为 （ ）
A. 2 B.3 C.4 D.
11．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是3的倍数，则满足条件的点的个数为
（ ）
A．252 B．216 C．72 D．42
12．设函数，则函数的零点的个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
卷Ⅱ
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式中，含项的系数为_________.（用数字作答）
14.已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若，则
8
__________ ．
15.函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是______.
16观察下列等式：
。。。
据此规律，第个等式可为____________________________________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17. （本小题共10分）已知函数
（1）解关于的不等式;
（2）若的解集非空，求实数的取值范围.
18. （本小题共12分）在极坐标系中，曲线,曲线C与有且仅有一个公共点.
（1）求的值；
（2）为极点，A，B为C上的两点，且，求的最大值.
19.（本题满分12分）
某中学一名数学老师对全班名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分分），其中分（含分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：
8
（I）根据以上两个直方图完成下面的列联表：
（II）根据中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？
（Ⅲ）若从成绩在的学生中任取人，求取到的人中至少有名女生的概率．
20. （本小题满分12分）
如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， ∥，，，．
⑴证明：平面平面；
⑵当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
21.已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)与圆相切的直线交椭圆于
8
两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数，
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若k为正常数，设，求函数的最小值；
（Ⅲ）若，证明：.
2014-2015学年度第二学期期末考试答案
数 学 试 卷（理）
一．选择题
1-12 BACAC BABBC AC
二．填空题
13. –810
14. 1
15.
16.
三．解答题
17. 解：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：
即：……………2分
由得
由得
综上原不等式的解为……………5分
(Ⅱ)原不等式等价于
令，即，…………8分
由，所以，
所以.………………10分
8
18. （Ⅰ）曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆；
l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.
由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1. ………4分
（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，
则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos(θ＋)
＝3cosθ－sinθ＝2cos(θ＋)， ………10分
当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2. …12分
19.解：(1)
成绩性别
优秀
不优秀
总计
男生
13
10
23
女生
7
20
27
总计
20
30
50
……………4分
(2)由(1)中表格的数据知， K2＝≈4.844. ……………6分
∵K2≈4.844>3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．…………… 8分
（3）成绩在的学生中男生人，
女生有人，……………9分
从6名学生中任取人，共有种选法，
若选取的都是男生，共有种选法；……………10分
故所求事件的概率.……………12分
20. 解：（Ⅰ）证明：因为是直径，所以
因为平面，所以 ，
因为，所以平面
因为， ，所以是平行四边形，
，所以平面
因为平面，所以平面平面…………………5分
（Ⅱ）依题意， ，
由（Ⅰ）知
，
当且仅当时等号成立 …………8分
如图所示，建立空间直角坐标系，则，，
8
，
则，，
，
设面的法向量为，，
即，
设面的法向量为， ，
即，
可以判断与二面角的平面角互补
二面角的余弦值为.…………………12分
21.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为
由已知得: 解得
所以椭圆的标准方程为:
(Ⅱ) 因为直线:与圆相切
所以,
把代入并整理得: ┈7分
设,则有
8
因为,, 所以,
又因为点在椭圆上, 所以,
因为 所以
所以 ,所以 的取值范围为
22解:（Ⅰ）∵，解，得；解，得.
∴的单调递增区间是，单调递减区间是. ……3′
（Ⅱ）∵，定义域是.
∴……5′
由，得，由，得
∴ 函数在上单调递减；在上单调递增……7′
故函数的最小值是：. ……8′
（Ⅲ）∵，，∴ 在（Ⅱ）中取，
可得，即.……10′
∴，∴.
即.……12′
8
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