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2018年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）
数学（理）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，满足不等式组则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
4.已知为实数，直线，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（ ）
A． B． C. D．
6.已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C. D．
7.双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C. D．
8.已知定义在上的函数则下列说法中正确的个数有（ ）
①关于的方程有个不同的零点；
②对于实数，不等式恒成立；
③在上，方程有个零点；
④当时，函数的图象与轴围成的面积为.
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.为虚数单位，设复数满足，则的虚部是 ．
10.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点
、，则 ．
11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
12.若（其中），则的展开式中的系数为 ．
13.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为 ．
14.已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值.
16. 某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目.
（Ⅰ）求个人来自于两个不同专业的概率；
（Ⅱ）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望.
17. 如图，四边形与均为菱形，，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
18. 已知数列的前项和满足：，（为常数，，）.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，.若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围.
19.已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值.
20.已知函数，的最大值为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，令，是否存在区间
.使得函数在区间上的值域为若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5:ABDAD 6-8:CDB
二、填空题
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题
15. 解：（1）由已知得，
由正弦定理得，
∴，
又在中， ，
∴
∴.
（２）由已知及正弦定理
又 SΔABC=， ∴ ， 得
由余弦定理
得 .
16. （1）令A表示事件“3个人来自于两个不同专业”，表示事件“3个人来自于同一个专业”，表示事件“3个人来自于三个不同专业”，
则由古典概型的概率公式有；
（2）随机变量X的取值为：0，1，2，3则
，
，
,
,
X
0
1
2
3
P
．
17. 解析：（1）设与相交于点，连接，
∵四边形为菱形，∴，
且为中点，
∵，∴,
又，
∴平面.
（2）连接，∵四边形为菱形，且，
∴为等边三角形，
∵为中点，∴，又，
∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，∵四边形为菱形， ，∴.
∵为等边三角形，∴.
∴，
∴，
设平面的法向量为，则
令，得
设平面的法向量为，则，
令，得
所以
又因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为
（3）设
所以
化简得
解得：
所以.
18. 解：（1）
且
数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由得，
因为数列为等比数列，所以，
解得.
(3)由（2）知
所以
，
所以，
解得.
19. 解：(1)由得，
从而
整理，得，
故离心率
(2) 解法一：(i)由（I）得，所以椭圆的方程可写
设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得.
依题意，
而 ①
②由题设知，点B为线段AE的中点，所以
③
联立①③解得，
将代入②中，解得.
解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程
消去，解得 解出
(依照解法一酌情给分)
(ii)由(i)可知
当时，得，由已知得.
线段的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.
直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组
，
由解得故
20. (1) 由题意得，
令，解得，
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减.
所以当时， 取得极大值，也是最大值，
所以，解得.
（2）的定义域为.
①即,则，故在单调增
②若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调递减，在单调递增。
③若,即,同理在单调递减，在单调递增
（3）由（1）知，
所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，
所以恒成立，
所以函数在区间内单调递增.
假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，
则，
问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根， 即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，
令， ，则，
设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，
故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.
综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.
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