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2018年安徽省宿州市埇桥区中考数学二模试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分)
1.(4分)2018的相反数是( )
A.2018 B. C.﹣ D.﹣2018
2.(4分)如图,a∥b,含30°角的三角板的直角顶点在直线b上,一个锐角的顶点在直线a上,若∠1=20°,则∠2的度数是( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
3.(4分)2017年11月8日﹣10日,美国总统特朗普对我国进行国事访向,访问期间,中美两国企业签约项目总金额达2500亿美元,这里“2500亿”用科学记数法表示为( )
A.2.5×103 B.2.5×1011 C.0.25×1012 D.2500×108
4.(4分)如图是由四个相同的小正方体组成的几何体,则它的主视图为( )
A. B. C. D.
5.(4分)估计﹣2的值应该在( )
A.﹣1﹣0之间 B.0﹣1之间 C.1﹣2之间 D.2﹣3之间
6.(4分)一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B. C.D.
7.(4分)如图是某班学生篮球运球成绩频数分布直方图,根据图中的信息,这组数据的中位数与众数是( )
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A.10人、20人 B.13人、14人 C.14分、14分 D.13.5分、14分
8.(4分)如图,一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M,N,则关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数
C.没有实数根 D.以上结论都正确
9.(4分)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线AD的延长线交于点E,若点D是弧AC的中点,且∠ABC=70°,则∠AEC等于( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
10.(4分)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处,则CD′的最小值是( )
A.2 B. C. D.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
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11.(5分)计算(﹣)﹣2= .
12.(5分)因式分解:a3﹣16ab2=
13.(5分)如图,点A,B,C都在⊙O上,∠ACB=60°,⊙O的直径是6,则劣弧AB的长是 .
14.(5分)在△ABC中,AB=6cm,点P在AB上,且∠ACP=∠B,若点P是AB的三等分点,则AC的长是 .
三、解答题(本题共2小题,每题8分,共16分)
15.(8分)先化简,再求值:,其中x=﹣4
16.(8分)清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道题:山田三亩,场地六亩,共折实田四亩七分;又山田五亩,场地三亩,共折实田五亩五分,问每亩山田折实田多少,每亩场地折实田多少?
译文为:假如有山田3亩,场地6亩,其产粮相当于实田4.7亩;又山田5亩,场地3亩,其产粮相当于实田5.5亩,问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩?请你解答.
四、解答题(本题有2小题,每题8分,共16分)
17.(8分)已知:如图,一次函数y1=x+2与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(a,5)
(1)确定反比例函数的表达式;
(2)结合图象,直接写出x为何值时,y1<y2
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18.(8分)在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)
(1)先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2;
(2)△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称?若是,直接写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
五、解答题(本题有2小题,每题10分,共20)
19.(10分)观察如图图形,把一个三角形分别连接其三边中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图1),对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,……,据此解答下面的问题
(1)填写下表:
图形
挖去三角形的个数
图形1
1
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图形2
1+3
图形3
1+3+9
图形4
(2)根据这个规律,求图n中挖去三角形的个数wn;(用含n的代数式表示)
(3)若图n+1中挖去三角形的个数为wn+1,求wn+1﹣Wn
20.(10分)如图,在一座小山上建有一座铁塔AD,小明站在C处测得小山顶A的仰角为30°,铁塔顶端的D的仰角为45°,若铁塔AD的高度是100m,试求小山的铅直高度AB(精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
六、解答题(本题共12分)
21.(12分)小明学习电学知识后,用四个开关按键(每个开关键闭合的可能性相等)、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图
(1)若小明设计的电路图(四个开关按键都处于打开状态)如图所示,求任意闭合一个开关按键,灯泡能发光的概率;
(2)若小明设计的电路图(四个开关按键都处于打开状态)如图所示,求同时闭合其中的两个开关按键,灯泡能发光的概率.(用列表或树状图法)
七、解答题(本题共12分)
22.(12分)已知:如图,抛物线y=﹣x2+bx+C经过点B(0,3)和点A(3,0)
(1)求该抛物线的函数表达式和直线AB的函数表达式;
(2)若直线l⊥
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x轴,在第一象限内与抛物线交于点M,与直线AB交于点N,请在备用图上画出符合题意的图形,并求点M与点N之间的距离的最大值或最小值,以及此时点M,N的坐标.
八、解答题(本题共14分)
23.(14分)如图,正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上(点P与A、C不重合),QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.
(1)①求证:AP=CQ;②求证:PA2=AF•AD;
(2)若AP:PC=1:3,求tan∠CBQ.
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2018年安徽省宿州市埇桥区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分)
1.(4分)2018的相反数是( )
A.2018 B. C.﹣ D.﹣2018
【解答】解:2018的相反数是:﹣2018.
故选:D.
2.(4分)如图,a∥b,含30°角的三角板的直角顶点在直线b上,一个锐角的顶点在直线a上,若∠1=20°,则∠2的度数是( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
【解答】解:如图,∵a∥b,
∴∠3=∠2,
由三角形外角性质,可得∠3=∠1+30°=20°+30°=50°,
∴∠2=50°,
故选:C.
3.(4分)2017年11月8日﹣10日,美国总统特朗普对我国进行国事访向,访问期间,中美两国企业签约项目总金额达2500亿美元,这里“2500亿”用科学记数法表示为( )
A.2.5×103 B.2.5×1011 C.0.25×1012 D.2500×108
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【解答】解:2500亿用科学记数法表示为2.5×1011,
故选:B.
4.(4分)如图是由四个相同的小正方体组成的几何体,则它的主视图为( )
A. B. C. D.
【解答】解:从正面看第一层是两个小正方形,第二层左边一个小正方形,
故选:A.
5.(4分)估计﹣2的值应该在( )
A.﹣1﹣0之间 B.0﹣1之间 C.1﹣2之间 D.2﹣3之间
【解答】解:∵1<3<4,
∴,
∴1﹣2<<2﹣2,
即﹣1<0,
故选:A.
6.(4分)一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:,
由①得:x≤2,
由②得:x>﹣1,
则不等式组的解集为﹣1<x≤2,
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表示在数轴上,如图所示:
故选:C.
7.(4分)如图是某班学生篮球运球成绩频数分布直方图,根据图中的信息,这组数据的中位数与众数是( )
A.10人、20人 B.13人、14人 C.14分、14分 D.13.5分、14分
【解答】解:由频数分布直方图可知,11分的5人、12分的10人、13分的10人、14分的20人、15分的5人,
共有5+10+10+20+5=50人,
则中位数为第25、26个数据的平均数,即中位数为=13.5分,
众数为14分,
故选:D.
8.(4分)如图,一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M,N,则关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数
C.没有实数根 D.以上结论都正确
【解答】解:∵一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象有两个交点,
∴ax2+bx+c=﹣x有两个不相等的实数根,
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ax2+bx+c=﹣x变形为ax2+(b+1)x+c=0,
∴ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根,
故选:A.
9.(4分)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线AD的延长线交于点E,若点D是弧AC的中点,且∠ABC=70°,则∠AEC等于( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
【解答】解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,∠ABC=70°,
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=110°,∠BAC=90°﹣∠ABC=10°,
∵D为的中点,
∴AD=DC,
∴∠EAC=∠DCA=×(180°﹣110°)=35°,
∵EC为⊙O的切线,
∴∠ECA=∠ABC=70°,
∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ECA=180°﹣35°﹣70°=75°,
故选:B.
10.(4分)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处,则CD′的最小值是( )
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A.2 B. C. D.
【解答】解:当点D'位于AC连线上时最小,
∵矩形ABCD中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处,
∴AD=AD'=BC=2,
在Rt△ABC中,AC=,
∴CD'=AC﹣AD'=2﹣2,
故选:C.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
11.(5分)计算(﹣)﹣2= 4 .
【解答】解: ==4.
故答案为:4.
12.(5分)因式分解:a3﹣16ab2= a(a+4b)(a﹣4b)
【解答】解:原式=a(a2﹣16b2)=a(a+4b)(a﹣4b),
故答案为:a(a+4b)(a﹣4b)
13.(5分)如图,点A,B,C都在⊙O上,∠ACB=60°,⊙O的直径是6,则劣弧AB的长是 2π .
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【解答】解:如图连接OA、OB.
∵∠AOB=2∠ACB=120°,
∴劣弧AB的长==2π,
故答案为2π.
14.(5分)在△ABC中,AB=6cm,点P在AB上,且∠ACP=∠B,若点P是AB的三等分点,则AC的长是 .
【解答】解:由∠ACP=∠B,∠A=∠A,可得
△ACP∽△ABC.
∴,即AC2=AP•AB.
分两种情况:
(1)当AP=AB=2cm时,AC2=2×6=12,
∴AC==cm;
(2)当AP=AB=4cm时,AC2=4×6=24,
∴AC==;
故答案为:.
三、解答题(本题共2小题,每题8分,共16分)
15.(8分)先化简,再求值:,其中x=﹣4
【解答】解:,
=•,
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=,
=,
当x=﹣4时,原式==.
16.(8分)清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道题:山田三亩,场地六亩,共折实田四亩七分;又山田五亩,场地三亩,共折实田五亩五分,问每亩山田折实田多少,
每亩场地折实田多少?
译文为:假如有山田3亩,场地6亩,其产粮相当于实田4.7亩;又山田5亩,场地3亩,其产粮相当于实田5.5亩,问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩?请你解答.
【解答】解:设每亩山田产粮相当于实田x亩,每亩场地产粮相当于实田y亩,
根据题意得:,
解得:.
答:每亩山田产粮相当于实田0.9亩,每亩场地产粮相当于实田亩.
四、解答题(本题有2小题,每题8分,共16分)
17.(8分)已知:如图,一次函数y1=x+2与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(a,5)
(1)确定反比例函数的表达式;
(2)结合图象,直接写出x为何值时,y1<y2
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【解答】解:(1)∵点A(a,5)在一次函数y1=x+2的图象上,
∴5=a+2,
∴a=3,
∴点A坐标为(3,5),
∵点A(3,5)在反比例函数的图象上,
∴5=,
∴k=15,
∴反比例函数的表达式为y2=(x>0);
(2)由图象可知,当0<x<3时,y1<y2.
18.(8分)在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)
(1)先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2;
(2)△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称?若是,直接写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1和△A2B2C2即为所求;
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(2)由图可知,△A2B2C2与△ABC关于点(0,2)成中心对称.
五、解答题(本题有2小题,每题10分,共20)
19.(10分)观察如图图形,把一个三角形分别连接其三边中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图1),对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,……,据此解答下面的问题
(1)填写下表:
图形
挖去三角形的个数
图形1
1
图形2
1+3
图形3
1+3+9
图形4
1+3+32+33
(2)根据这个规律,求图n中挖去三角形的个数wn;(用含n的代数式表示)
(3)若图n+1中挖去三角形的个数为wn+1,求wn+1﹣Wn
【解答】解:(1)图1挖去中间的1个小三角形,
图2挖去中间的(1+3)个小三角形,
图3挖去中间的(1+3+32)个小三角形,
则图4挖去中间的(1+3+32+33)个小三角形,即图4挖去中间的40个小三角形,
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故答案为:1+3+32+33;
(2)由(1)知,图n中挖去三角形的个数wn=3n﹣1+3n﹣2+…+32+3+1;
(3)∵wn+1=3n+3n﹣1+…+32+3+1,
wn=3n﹣1+3n﹣2+…+32+3+1
∴=3n.
20.(10分)如图,在一座小山上建有一座铁塔AD,小明站在C处测得小山顶A的仰角为30°,铁塔顶端的D的仰角为45°,若铁塔AD的高度是100m,试求小山的铅直高度AB(精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
【解答】解:设AB=x(m),在Rt△ABC中
∵tan30°=,
BC=,
在Rt△BCD中,
∵tan45°=,
∴,
∵AD+AB=BD,
∴100+x=x,
解得x≈136.6(m),
答:小山的铅直高度AB约为136.6m.
六、解答题(本题共12分)
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21.(12分)小明学习电学知识后,用四个开关按键(每个开关键闭合的可能性相等)、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图
(1)若小明设计的电路图(四个开关按键都处于打开状态)如图所示,求任意闭合一个开关按键,灯泡能发光的概率;
(2)若小明设计的电路图(四个开关按键都处于打开状态)如图所示,求同时闭合其中的两个开关按键,灯泡能发光的概率.(用列表或树状图法)
【解答】解:(1)任意闭合一个开关按键,灯泡能发光的概率=;
(2)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中同时闭合其中的两个开关按键,灯泡能发光的结果数为6,
所以同时闭合其中的两个开关按键,灯泡能发光的概率==.
七、解答题(本题共12分)
22.(12分)已知:如图,抛物线y=﹣x2+bx+C经过点B(0,3)和点A(3,0)
(1)求该抛物线的函数表达式和直线AB的函数表达式;
(2)若直线l⊥x轴,在第一象限内与抛物线交于点M,与直线AB交于点N,请在备用图上画出符合题意的图形,并求点M与点N之间的距离的最大值或最小值,以及此时点M,N的坐标.
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【解答】解:
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B(0,3)和点A(3,0),
∴,解得,
∴抛物线的函数表达式是y=﹣x2+2x+3;
设直线AB:y=kx+m,
根据题意得,解得,
∴直线AB的函数表达式是y=﹣x+3;
(2)如图,设点M横坐标为a,则点M的坐标为(a,﹣a2+2a+3),点N的坐标是(a,﹣a+3),
又点M,N在第一象限,
∴|MN|=﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)=﹣a2+3a,
又|MN|=﹣a2+3a=﹣(a2﹣3a+)+=,
当a=时,|MN|有最大值,最大值为,
即点M与点N之间的距离有最大值,
此时点M坐标为(,)点N的坐标为.
八、解答题(本题共14分)
23.(14分)如图,正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上(点P与A、C不重合),QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.
(1)①求证:AP=CQ;②求证:PA2=AF•AD;
(2)若AP:PC=1:3,求tan∠CBQ.
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【解答】解:(1)①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠PBC=90°,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴BP=BQ,∠PBQ=90°,
∴∠PBC+∠CBQ=90°
∴∠ABP=∠CBQ,
∴△ABP≌△CBQ,
∴AP=CQ;
②∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°,
∵∠PQB=45°,∠CEP=∠QEB,
∴∠CBQ=∠CPQ,
由①得△ABP≌△CBQ,∠ABP=∠CBQ
∵∠CPQ=∠APF,
∴∠APF=∠ABP,
∴△APF∽△ABP,
∴,
∴AP2=AF•AB=AF•AD;
(本题也可以连接PD,证△APF∽△ADP)
(2)由①得△ABP≌△CBQ,
∴∠BCQ=∠BAC=45°,
∵∠ACB=45°,∠PCQ=45°+45°=90°,
∴tan∠CPQ=,
由①得AP=CQ,
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又∵AP:PC=1:3,
∴tan∠CPQ=,
由②得∠CBQ=∠CPQ,
∴tan∠CBQ=tan∠CPQ=.
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