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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
高三理科数学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．，
B．复数，，，若，则
C．“，”是“”的充要条件
D．命题“，”的否定是：“，”
【答案】D
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
4．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5．设，则的展开式中常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．执行如图所示的程序框图，若，则输出的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7．某几何体的三视图如图所示，记为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
9．已知数列中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10．已知，下列结论中错误的是（ ）
A．既是偶函数又是周期函数 B．的最大值是1
C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
【答案】B
11．已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12．已知函数，若正实数，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设，满足约束条件，则的最小值为________．
【答案】
14．已知向量与的夹角为，且，，则_________．
【答案】
15．已知，，，四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是________．
【答案】20
16．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，则双曲线离心率的取值范围是_______．
【答案】
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因为为等差数列，且，
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，由，，成等比数列，得，
即，，，，
故．
（2）证明：，，
，
故．
18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（1）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；
（2）将表示为的函数，求出该函数表达式；
（3）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．
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【答案】（1）0.7；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）根据频率分布直方图及两两互斥事件的概率的可加性得：
．
（2）当时，，
当时，，
所以．
（3）由题意及（2）可得：
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以的分布列为：
45
53
61
65
0.1
0.2
0.3
0.4
所以，万元．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点，
（1）证明：；
（2）若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值．
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【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：底面，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得：，，，，，
，，，即．
（2），，，，由点在棱上，
设，，
，
，，解得：，．
设平面的法向量为，则
，不妨令，可得为平面的一个法向量，
取平面的一个法向量，则，
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易知，二面角是锐角，所以其余弦值为．
20．（12分）如图，分别过椭圆左、右焦点，的动直线，相交于点，与椭圆分别交于，与，不同四点，直线，，，的斜率，，，满足．已知当与轴重合时，，，
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点，，使得为定值？若存在，求出，点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当与轴重合时，，即，
垂直于轴，得，，
得，，椭圆的方程为：．
（2）焦点，坐标分别为，，
当直线斜率存在，斜率不存在时，点坐标为，
当直线斜率不存在，斜率存在时，点坐标为，
当直线、斜率均存在时，设斜率分别为，，设，，
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，得，
则，，
，
同理可得．
，，
由题意知，．
设，则，即，
当直线斜率存在，斜率不存在时，当直线斜率不存在，斜率存在时，也满足此方程，
所以点在椭圆上，存在点和，
使得为定值，定值为．
21．（12分）已知，，，
（1）若，，求的极值；
（2）若函数的两个零点为，，记，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1），，
，，
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令得：，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
，不存在．
（2）函数的两个零点为，，不妨设，
，，
，
即，
又，，
，
．
令，则，
，
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在上单调递减，故，
，即，
又，．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于不同的两点，，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）或．
【解析】（1）直线普通方程为，曲线的极坐标方程为，，，则，
即为曲线的普通方程．
（2）将（为参数，）代入曲线．
，，，
，
，又，或．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知，，函数的最小值为1．
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（1）证明：
（2）若恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：，，
显然在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，即．
（2）因为恒成立，所以恒成立，
，
当且仅当时，取得最小值，
所以，即实数的最大值为．
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