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2018年山东省泰安市岱岳区中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)
1.(3分)下列计算不正确的是( )
A.30÷3﹣3=9 B.(﹣4)×5=﹣20 C.﹣1﹣2=﹣3 D.|(﹣3)+(﹣5)|=8
2.(3分)下列等式成立的是( )
A.(ab)10÷(ab)5=a2b2 B.(x+2)2=x2+4
C.(a3)2•a2=a8 D.2x4+3x4=5x8
3.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(3分)某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图,由图可知,11名成员射击成绩的众数和中位数分别是( )
A.8,9 B.8,8 C.8,10 D.9,8
5.(3分)如图,OA,OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,若AB∥OC,∠BCO=21°,则∠AOC的度数是( )
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A.42° B.21° C.84° D.60°
6.(3分)下列四个函数:①y=﹣;②y=2(x+1)2﹣3;③y=﹣2x+5;④y=3x﹣10.其中,当x>﹣1时,y随x的增大而增大的函数是( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.①②
7.(3分)如图,是一个几何体的三视图,则此几何体的全面积是( )
A.210πcm2 B.175πcm2 C.320πcm2 D.285πcm2
8.(3分)一元二次方程(x+1)(x﹣2)=10根的情况是( )
A.无实数根 B.有两个正根
C.有两个根,且都大于﹣1 D.有两个根,其中一根大于2
9.(3分)我市为实行土地灌溉高效节水计划,增加高效节水灌溉面积,决定新建用水管道6000米,为使管道能尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.5 倍,结果提前20天完成任务.问原计划每天修管道多少米?若设原计划每天修管道x 米,根据题意列出方程得( )
A. ﹣=20 B.﹣=20
C.﹣=1.5 D.﹣=20
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,反比例函数y=﹣与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是( )
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A. B. C. D.
11.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,若BC=4,则图中阴影部分的面积为( )
A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+1
12.(3分)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:①△ABF≌△ADF;②S△ADF=2S△CEF;③tan∠EBF=;④S△ABF=4S△BEF,其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)目前,世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m,将0.00000004用科学记数法表示为 .
14.(3分)将一把直尺与一块三角板如图放置,若∠1=41°,则∠2的度数为 .
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15.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点D平分弧AC,AC=5,DE=1.5,则OE= .
16.(3分)如果不等式组的解集是x<2,那么m的取值范围是 .
17.(3分)如图,海中一渔船在A处于小岛C相距70海里,若该渔船由西向东航行30海里到达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上,则该渔船此时与小岛C之间的距离是 海里.
18.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点B1,以OB1为一边在OB1上方作等边三角形A10B1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为一边在A1B2上方作等边三角形A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为一边在A2B3上方作等边三角形A3A2B3,…,则△A2017B2018A2018的周长是 .
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三、解答题(本大题共7小题,共计66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
19.(6分)先化简,再求值:()÷,其中a=,b=﹣1.
20.(8分)我市某中学举行演讲比赛,赛后整理参赛学生的成绩,将比赛成绩分为A,B,C,D四个等级,把结果列成下表(其中,m是常数)并绘制如图所示的扇形统计图(部分).
等级
A
B
C
D
人数
6
10
m
8
(1)求m的值和A等级所占圆心角α的大小;
(2)若从本次比赛中获得A等级的学生中,选出2名取参加市中心学生演讲比赛,已知A等级中男生有2名,求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率.
21.(8分)如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将线段AB沿x轴向右平移5个单位到DC,设DC与双曲线交于点E,求点E到x轴的距离.
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22.(10分)如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF.
(1)CD与BE相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由;
(2)若∠BAC=90°,求证:BF2+CD2=FD2.
23.(10分)某商场购进了甲、乙两种型号的中性笔共4000支,甲型号中性笔进价是3元/支,乙型号中性笔进价是7元/支,购进两种型号的中性笔共用去16000元.
(1)求甲、乙两种型号的中性笔各购进了多少支;
(2)为使每支乙型号中性笔的利润是甲型号的1.8倍,且保证售完这4000支中性笔的利润不低于7200元,求每支甲型号中性笔的售价至少是多少元.(注:利润=售价﹣进价)
24.(12分)如图,在矩形ABCD中,EH垂直平分BD,交BD于点M,过BD上一点F作FG∥BE,FG恰好平分∠EFD,FG与EH交于点N.
(1)求证:DE•DG=DF•BF;
(2)若AB=3,AD=9,求FN的长.
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25.(12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+2 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OADC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点,作PH⊥EO,垂足为H,求PH的最大值;
(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,若四边形ACMN是平行四边形,求点M、N的坐标.
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参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)
1.(3分)下列计算不正确的是( )
A.30÷3﹣3=9 B.(﹣4)×5=﹣20 C.﹣1﹣2=﹣3 D.|(﹣3)+(﹣5)|=8
【解答】解:A、30÷3﹣3=1÷=27,故此选项错误,符合题意;
B、(﹣4)×5=﹣20,正确,不合题意;
C、﹣1﹣2=﹣3,正确,不合题意;
D、|(﹣3)+(﹣5)|=8,正确,不合题意;
故选:A.
2.(3分)下列等式成立的是( )
A.(ab)10÷(ab)5=a2b2 B.(x+2)2=x2+4
C.(a3)2•a2=a8 D.2x4+3x4=5x8
【解答】解:A、(ab)10÷(ab)5=(ab)5=a5b5,此选项错误;
B、(x+2)2=x2+4x+4,此选项错误;
C、(a3)2•a2=a6•a2=a8,此选项正确;
D、2x4+3x4=5x4,此选项错误;
故选:C.
3.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数是( )
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:第1个,是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
第2个,不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
第3个,是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;
第4个,是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确.
故选:B.
4.(3分)某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图,由图可知,11名成员射击成绩的众数和中位数分别是( )
A.8,9 B.8,8 C.8,10 D.9,8
【解答】解:由条形统计图知8环的人数最多,
所以众数为8环,
由于共有11个数据,
所以中位数为第6个数据,即中位数为8环,
故选:B.
5.(3分)如图,OA,OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,若AB∥OC,∠BCO=21°,则∠AOC的度数是( )
A.42° B.21° C.84° D.60°
【解答】解:∵AB∥OC,∠BCO=21°,
∴∠ABC=∠BCO=21°,
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∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角,
∴∠AOC=2∠ABC=42°.
故选:A.
6.(3分)下列四个函数:①y=﹣;②y=2(x+1)2﹣3;③y=﹣2x+5;④y=3x﹣10.其中,当x>﹣1时,y随x的增大而增大的函数是( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.①②
【解答】解:四个函数:①y=﹣;②y=2(x+1)2﹣3;③y=﹣2x+5;④y=3x﹣10.其中,当x>﹣1时,y随x的增大而增大的函数是①④,
故选:C.
7.(3分)如图,是一个几何体的三视图,则此几何体的全面积是( )
A.210πcm2 B.175πcm2 C.320πcm2 D.285πcm2
【解答】解:由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体,
上部分是一个圆锥,
下部分是一个圆柱,
而且圆锥和圆柱的底面积相等,
此几何体的全面积是=cm2,
故选:A.
8.(3分)一元二次方程(x+1)(x﹣2)=10根的情况是( )
A.无实数根 B.有两个正根
C.有两个根,且都大于﹣1 D.有两个根,其中一根大于2
【解答】解:将抛物线y=(x+
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1)(x﹣2)往下平移10个单位长度可得出新抛物线y=(x+1)(x﹣2)﹣10,如图所示.
∵抛物线y=(x+1)(x﹣2)与x轴交于点(﹣1,0)、(2,0),
∴抛物线y=(x+1)(x﹣2)﹣10与x轴有两个交点,一个在(﹣1,0)的左侧,一个在(2,0)的右侧,
∴方程(x+1)(x﹣2)=10有两个不相等的实数根,一根小于﹣1,一根大于2.
故选:D.
9.(3分)我市为实行土地灌溉高效节水计划,增加高效节水灌溉面积,决定新建用水管道6000米,为使管道能尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.5 倍,结果提前20天完成任务.问原计划每天修管道多少米?若设原计划每天修管道x 米,根据题意列出方程得( )
A.﹣=20 B.﹣=20
C.﹣=1.5 D.﹣=20
【解答】解:设原计划每天修管道x米,根据题意得:,
故选:D.
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,反比例函数y=﹣与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是( )
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A. B. C. D.
【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下,
∴a<0,
对称轴在y轴的左边,
∴x=﹣<0,
∴b<0,
∴反比例函数y=﹣的图象在第一三象限,
正比例函数y=bx的图象在第二四象限,
故选:D.
11.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,若BC=4,则图中阴影部分的面积为( )
A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+1
【解答】解:连接OD、AD,
∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,
∴∠C=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是Rt△BAC,
∵BC=4,
∴AC=AB=4,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,BO=DO=2,
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∵OD=OB,∠B=45°,
∴∠B=∠BDO=45°,
∴∠DOA=∠BOD=90°,
∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA=+=π+2.
故选:B.
12.(3分)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:①△ABF≌△ADF;②S△ADF=2S△CEF;③tan∠EBF=;④S△ABF=4S△BEF,其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥CB,AD=BC=AB,∠FAD=∠FAB,
在△AFD和△AFB中,,
∴△AFD≌△AFB,故①正确,
∴S△ABF=S△ADF,∵BE=EC=BC=AD,AD∥EC,
∴===,
∴S△ADF=4S△CEF,S△CFE=4S△BEF,
故②错误;④正确;
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延长BF交CD于M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴=,
∵=,
∴=,
∴CM=AB=CD=BC,
∴tan∠EBF==,故③正确;
即正确的个数是3,
故选:C.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)目前,世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m,将0.00000004用科学记数法表示为 4×10﹣8 .
【解答】解:0.00000004=4×10﹣8.
故答案为:4×10﹣8.
14.(3分)将一把直尺与一块三角板如图放置,若∠1=41°,则∠2的度数为 131° .
【解答】解:如图,由三角形的外角性质得,∠3=90°+∠1=90°+41°=131°,
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∵直尺的两边互相平行,
∴∠2=∠3=131°.
故答案为:131°.
15.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点D平分弧AC,AC=5,DE=1.5,则OE= .
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,点D平分弧AC,AC=5,DE=1.5,
设OE为x,由垂径定理可得:,
解得:x=,
即OE=,
故答案为:
16.(3分)如果不等式组的解集是x<2,那么m的取值范围是 m≥2 .
【解答】解:,
解不等式①,2x﹣1>3x﹣3,
2x﹣3x>﹣3+1,
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﹣x>﹣2,
x<2,
∵不等式组的解集是x<2,
∴m≥2.
故答案为:m≥2.
17.(3分)如图,海中一渔船在A处于小岛C相距70海里,若该渔船由西向东航行30海里到达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上,则该渔船此时与小岛C之间的距离是 50 海里.
【解答】解:过点C作CD⊥AB于点D,
由题意得∠BCD=30°,设BC=x,
在Rt△BCD中,BD=BC•sin30°=x,CD=BC•cos30°=x;
∴AD=30+x,
∵AD2+CD2=AC2,
∴(30+x)2+(x)2=702,
解得:x=50(负值舍去),
即渔船此时与C岛之间的距离为50海里.
故答案为:50.
18.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点B1
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,以OB1为一边在OB1上方作等边三角形A10B1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为一边在A1B2上方作等边三角形A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为一边在A2B3上方作等边三角形A3A2B3,…,则△A2017B2018A2018的周长是 3×22017 .
【解答】解:∵直线l:y=x﹣与x轴交于点B1,
∴B1(1,0),OB1=1,△OA1B1的周长为3;
如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,
则OA=OB1=,A1A=OA=,
∴A1的坐标为(,),
∵A1B2平行于x轴,
∴B2的纵坐标为,
将y=代入y=x﹣,求得x=,
∴B2(,),
∴A1B2=2,△A1B2A2的周长是3×21;
过A2作A2B⊥A1B2于B,
则A1B=A1B2=1,A2B=A1B=,
∴A2的横坐标为OA+A1B=+1=,纵坐标为A1A+A2B=+=,
∴A2的坐标为(,),
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∵A2B3平行于x轴,
∴B3的纵坐标为,
将y=代入y=x﹣,求得x=,
∴B3(,),
∴A2B3=4,△A2B3A3的周长是3×22;
由此可得,△AnBn+1An+1的周长是3×2n,
∴△A2017B2018A2018的周长是3×22017.
故答案为3×22017.
三、解答题(本大题共7小题,共计66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
19.(6分)先化简,再求值:()÷,其中a=,b=﹣1.
【解答】解:()÷
=
=
=
=,
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当a=,b=﹣1时,原式=.
20.(8分)我市某中学举行演讲比赛,赛后整理参赛学生的成绩,将比赛成绩分为A,B,C,D四个等级,把结果列成下表(其中,m是常数)并绘制如图所示的扇形统计图(部分).
等级
A
B
C
D
人数
6
10
m
8
(1)求m的值和A等级所占圆心角α的大小;
(2)若从本次比赛中获得A等级的学生中,选出2名取参加市中心学生演讲比赛,已知A等级中男生有2名,求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率.
【解答】解:(1)本次调查的总人数为8÷20%=40人,
则m=40﹣(6+10+8)=16,A等级所占圆心角α=360°×=54°;
(2)设两位男生为a、b,四位女生为m、n、p、q,
从6位同学中选取两人的所有等可能结果为:ab、am、an、ap、aq、bm、bn、bp、bq、mn、mp、mq、np、nq、pq共15种情况,
其中恰有1男1女的有8种结果,
所以所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率为.
21.(8分)如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=
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的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将线段AB沿x轴向右平移5个单位到DC,设DC与双曲线交于点E,求点E到x轴的距离.
【解答】解:(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x﹣3,
可得n=×4﹣3=3;
把点A(4,3)代入反比例函数y=,
可得3=,
解得k=12.
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)设E(,m),∵tan∠ECx=tan∠ABC,
∴=,
解得m=(负根已经舍弃),
∴点E到x轴的距离为.
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22.(10分)如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF.
(1)CD与BE相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由;
(2)若∠BAC=90°,求证:BF2+CD2=FD2.
【解答】解:(1)CD=BE,理由如下:
∵△ABC和△ADE为等腰三角形,
∴AB=AC,AD=AE,
∵∠EAD=∠BAC,
∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD,
即∠EAB=∠CAD,
在△EAB与△CAD中,
∴△EAB≌△CAD,
∴BE=CD,
(2)∵∠BAC=90°,
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠ABF=∠C=45°,
∵△EAB≌△CAD,
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∴∠EBA=∠C,
∴∠EBA=45°,
∴∠EBF=90°,
在Rt△BFE中,BF2+BE2=EF2,
∵AF平分DE,
∴AF垂直平分DE,
∴EF=FD,
由(1)可知,BE=CD,
∴BF2+CD2=FD2
23.(10分)某商场购进了甲、乙两种型号的中性笔共4000支,甲型号中性笔进价是3元/支,乙型号中性笔进价是7元/支,购进两种型号的中性笔共用去16000元.
(1)求甲、乙两种型号的中性笔各购进了多少支;
(2)为使每支乙型号中性笔的利润是甲型号的1.8倍,且保证售完这4000支中性笔的利润不低于7200元,求每支甲型号中性笔的售价至少是多少元.(注:利润=售价﹣进价)
【解答】解:(1)设甲种型号的中性笔购进了x支,乙种型号的中性笔购进了y支,依题意有
,
解得.
故甲种型号的中性笔购进了3000支,乙种型号的中性笔购进了1000支;
(2)设每支甲型号中性笔的利润是a元,则每支乙型号中性笔的利润是1.8a元,依题意有
3000a+1000×1.8a≥7200,
解得a≥1.5,
3+1.5=4.5(元).
答:每支甲型号中性笔的售价至少是4.5元.
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24.(12分)如图,在矩形ABCD中,EH垂直平分BD,交BD于点M,过BD上一点F作FG∥BE,FG恰好平分∠EFD,FG与EH交于点N.
(1)求证:DE•DG=DF•BF;
(2)若AB=3,AD=9,求FN的长.
【解答】(1)证明:如图.∵EH垂直平分BD,
∴BE=DE,∠1=∠2.
∵FG平分∠EFD,
∴∠3=∠4.
∴FG∥BE,
∴∠4=∠5,
∴∠3=∠5,
∴△BEF∽△DFG,
∴=,
∵BE=DE,
∴=,
∴DE•DG=DF•BF;
(2)解:设DE=x,则BE=x,
∵AB=3,AD=9,
∴AE=9﹣x.
在Rt△ABE中,∵∠A=90°,
∴AB2+AE2=BE2,即32+(9﹣x)2=x2,
解得x=5.
在Rt△ABD中,∵∠A=90°,AB=3,AD=9,
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∴BD==3,
∴BM=DM=.
由(1)得=,
∵FG∥BE,
∴=,
∴=,
∵BE=DE,
∴BE2=BF•DB,
∴BF===,
∴FM=BM﹣BF=﹣=.
∵FN∥BE,
∴△MNF∽△MEB,
∴=,即=,
解得FN=.
25.(12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+2 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OADC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点,作PH⊥EO,垂足为H,求PH的最大值;
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(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,若四边形ACMN是平行四边形,求点M、N的坐标.
【解答】解:(1)∵矩形OADC的边CD=1,
∴OA=1,
而AB=4,
∴OB=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣3a=2,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)抛物线的对称轴为直线x=1,
当x=0时,y=﹣x2+x+2=2,则C(0,2),
∵EC∥x轴,
∴点E与点C关于直线x=1对称,
∴E(2,2),
∵OC=CE,
∴△OCE为等腰直角三角形,
∴∠COE=45°,
作PQ∥y轴交直线OE于Q,如图1,
∴∠PGH=45°,
∵PH⊥OE,
∴△PQH为等腰直角三角形,
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∴PH=PQ,
易得直线OE的解析式为y=x,
设P(x,﹣x2+x+2),则Q(x,x),
∴PQ═﹣x2+x+2﹣x=﹣x2+x+2,
∴PH=(﹣x2+x+2)
=﹣x2+x+
=﹣(x﹣)2+,
当x=时,PH的值最大,最大值为;
(3)∵四边形ACMN是平行四边形,
∴点A向右平移2个单位可得到N点,
∴点C向右平移2个单位可得到M点,则M点的横坐标为2,
当x=2时,y=﹣x2+x+2=2,则M(2,2),
∴CM∥x轴,
∴点N为对称轴与x轴的交点,
∴N(1,0).
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