东莞市2015届高三数学上学期期中试题(理科附解析)
一.选择题(5*8=40分)
1.(5分)设集合,B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是()
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.(5分)log2+log2cos的值为()
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 2 D. 1
3.(5分)已知x,y∈R,则“x+y=1”是“xy≤”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.(5分)已知函数f(x)=,则有()
A. 函数f(x)的图象关于直线x=对称
B. 函数f(x)的图象关关于点(,0)对称
C. 函数f(x)的最小正周期为
D. 函数f(x)在区间(0,π)内单调递减
5.(5分)已知0<a<b<1,则()
A. > B. ()a<()b C. (lga)2<(lgb)2 D. >
6.(5分)已知函数f(x)=x2+2cosx,若f′(x)是f(x)的导函数,则函数f′(x)在原点附近的图象大致是()
A. B. C. D.
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7.(5分)已知函数f(x)=,若对任意的x∈R,不等式f(x)≤m2﹣m恒成立,则实数m的取值范围是()
A. (﹣∞,﹣] B. (﹣∞,﹣]∪[1,+∞) C. [1,+∞) D. [﹣,1]
8.(5分)已知方程=k在(0,+∞)上有两个不同的解α、β(α<β),则下列的四个命题正确的是()
A. sin2α=2αcos2α B. cos2α=2αsin2α
C. sin2β=﹣2βsin2β D. cos2β=﹣2βsina2β
二.填空题(6*5=30分)(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.(5分)若=.
10.(5分)如图是函数在一个周期内的图象,则阴影部分的面积是.
11.(5分)若,则的最大值为.
12.(5分)已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,则当y≥l时,的取值范围是.
13.(5分)设x,y,z为空间不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,下列说法中能保证“若x⊥z,y⊥z,则x∥y”为真命题的序号有.(把所有的真命题全填上)
①x为直线,y,z为平面;
②x,y,z都为平面;
③x,y为直线,z为平面;
④x,y,z都为直线;
⑤x,y为平面,z为直线.
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三、选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分。【坐标系与参数方程选做题】
14.(5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:,(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是.
(几何证明选讲选做题)
15.已知⊙O1和⊙O2交于点C和D,⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点,交直线CD于点E,M是⊙O2上的一点,若PE=2,EA=1,∠AMB=45°,那么⊙O2的半径为.
三.解答或证明题
16.(12分)已知锐角△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=6,向量=(2sinC,﹣),=(cos2C,2cos2﹣1),且∥.
(1)求C的大小;
(2)若,求的值.
17.(13分)一个袋子中装有6个红球和4个白球,假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的.
(Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球,求摸出的球均为白球的概率;
(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回).某人连续摸了3次,记“摸球成功”的次数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
18.(13分)如图1,AD是直角△ABC斜边上的高,沿AD把△ABC的两部分折成直二面角(如图2),DF⊥AC于F.
(Ⅰ)证明:BF⊥AC;
(Ⅱ)设∠DCF=θ,AB与平面BDF所成的角为α,二面角B﹣FA﹣D的大小为β,试用tanθ, cosβ表示tanα;
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(Ⅲ)设AB=AC,E为AB的中点,在线段DC上是否存在一点P,使得DE∥平面PBF?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
19.(14分)如图,点P(0,﹣1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.
20.(14分)如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2km,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.
(1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积;
- 23 -
(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.
21.(14分)函数的导数为0的点称为函数的驻点,若点(1,1)为函数f(x)的驻点,则称f(x)具有“1﹣1驻点性”.
(1)设函数f(x)=﹣x+2+alnx,其中a≠0.
①求证:函数f(x)不具有“1﹣1驻点性”
②求函数f(x)的单调区间
(2)已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1﹣1驻点性”,给定x1,x2∈R,x1<x2,设λ为实数,且λ≠﹣1,α=,β=,若|g(α)﹣g(β)|>|g(x1)﹣g(x2)|,求λ的取值范围.
广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题(5*8=40分)
1.(5分)设集合,B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是()
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
考点: 交集及其运算;子集与真子集.
专题: 数形结合.
分析: 由题意集合,B={(x,y)|y=3x},画出A,B集合所表示的图象,看图象的交点,来判断A∩B的子集的个数.
解答: 解:∵集合,
∴为椭圆和指数函数y=3x图象,
如图,可知其有两个不同交点,记为A1、A2,
则A∩B的子集应为∅,{A1},{A2},{A1,A2}共四种,
故选A.
- 23 -
点评: 此题利用数形结合的思想来求解,主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道不错的题.
2.(5分)log2+log2cos的值为()
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 2 D. 1
考点: 对数的运算性质.
专题: 计算题.
分析: 利用对数的运算法则进行计算即可.先结合对数运算法则:loga(MN)=logaM+logaN,利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式,再计算即得
解答: 解:
=
=
==﹣2.
故选A.
点评: 本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、二倍角的正弦公式等基础知识,考查基本运算能力.属于基础题.
3.(5分)已知x,y∈R,则“x+y=1”是“xy≤”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 简易逻辑.
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分析: 由x+y=1,推出xy≤,判定充分性成立;由xy≤,不能得出x+y=1,判定必要性不成立即可.
解答: 解:∵x,y∈R,当x+y=1时,y=1﹣x,
∴xy=x(1﹣x)=x﹣x2=﹣≤,∴充分性成立;
当xy≤时,如x=y=0,x+y=0≠1,∴必要性不成立;
∴“x+y=1”是“xy≤”的充分不必要条件.
故选:A.
点评: 本题考查了充分与必要条件的判定问题,解题时应判定充分性、必要性是否都成立,然后下结论,是基础题.
4.(5分)已知函数f(x)=,则有()
A. 函数f(x)的图象关于直线x=对称
B. 函数f(x)的图象关关于点(,0)对称
C. 函数f(x)的最小正周期为
D. 函数f(x)在区间(0,π)内单调递减
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 常规题型.
分析: 分析函数f(x)=性质,要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式,然后再研究性质.
解答: 解:∵f(x)==
∴函数f(x)不是轴对称图形,∴A不正确;
∵函数f(x)的最小正周期为π,∴C不正确;
∵函数在区间(0,π)不单调,∴D不正确;
∵函数f(x)的对称中心为()k∈Z,
∴函数f(x)的图象关关于点(,0)对称正确,
故选B.
点评: 本题考查了三角变换和正切型函数的性质.
5.(5分)已知0<a<b<1,则()
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A. > B. ()a<()b C. (lga)2<(lgb)2 D. >
考点: 不等式的基本性质.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出.
解答: 解:∵0<a<b<1,
∴,可得;
;
(lga)2>(lgb)2;
lga<lgb<0,可得.
综上可知:只有D正确.
故选:D.
点评: 本题考查了不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性,属于基础题.
6.(5分)已知函数f(x)=x2+2cosx,若f′(x)是f(x)的导函数,则函数f′(x)在原点附近的图象大致是()
A. B. C. D.
考点: 函数的图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由题可得f′(x)=2x﹣2sinx,判断导函数的奇偶性,利用特殊值的函数值推出结果即可.
解答: 解:函数f(x)=x2+2cosx,∴f′(x)=2x﹣2sinx=2(x﹣sinx),
f′(﹣x)=﹣2x+2sinx=﹣(2x﹣2sinx)=﹣f′(x),
导函数是奇函数,
∵x∈(0,),x>sinx>0,
∴B、C、D不正确.
故选:A.
点评: 本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.
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7.(5分)已知函数f(x)=,若对任意的x∈R,不等式f(x)≤m2﹣m恒成立,则实数m的取值范围是()
A. (﹣∞,﹣] B. (﹣∞,﹣]∪[1,+∞) C. [1,+∞) D. [﹣,1]
考点: 分段函数的应用.
专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析: 求出分段函数的最大值,把不等式f(x)≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f(x)的最大值恒成立,然后求解不等式得到实数m的取值范围.
解答: 解:对于函数f(x)=,
当x≤1时,f(x)=﹣(x﹣)2+;
当x>1时,f(x)=<0.
则函数f(x)的最大值为.
则要使不等式f(x)≤m2﹣m恒成立,
则m2﹣m恒成立,即m或m≥1.
故选B.
点评: 本题考查了恒成立问题,训练了分段函数的最值的求法,考查了数学转化思想方法,考查运算能力,是中档题.
8.(5分)已知方程=k在(0,+∞)上有两个不同的解α、β(α<β),则下列的四个命题正确的是()
A. sin2α=2αcos2α B. cos2α=2αsin2α
C. sin2β=﹣2βsin2β D. cos2β=﹣2βsina2β
考点: 余弦函数的图象.
专题: 导数的综合应用.
分析: 将方程=k转化为|cosx|=kx,作出两个函数的图象,利用数形结合,以及导数的几何意义即可得到结论.
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解答: 解:∵=k,∴|cosx|=kx,
∴要使方程=k(k>0)在(0,+∞)上有两个不同的解,则y=|cosx|的图象与直线y=kx(k>0)在(0,+∞)上
有且仅有两个公共点,
所以直线y=kx与y=|cosx|在(,π)内相切,且切于点(β,﹣cosβ),此时y=|cosx|=﹣cosx.
∴切线的斜率为sinβ=,∴βsinβ=﹣cosβ,
∴2βsinβsinβ=﹣2sinβcosβ,
∴sin 2β=﹣2βsin2β,
故选:C.
点评: 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,导数的几何意义,体现了转化的数学思想.
二.填空题(6*5=30分)(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.(5分)若=3.
考点: 对数的运算性质.
专题: 计算题;转化思想.
分析: 由2x=3,得x=log23,把化为以2为底数的对数,然后运用对数的和等于乘积的对数进行运算.
解答: 解:∵2x=3,∴x=log23,
又∵,
∴x+2y==.
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故答案为3.
点评: 本题主要考查对数的运算,关键是化指数式为对数式,然后运用对数的运算法则进行化简计算,此题是基础题.
10.(5分)如图是函数在一个周期内的图象,则阴影部分的面积是.
考点: 定积分.
专题: 导数的综合应用.
分析: 先根据函数关系式和图象,求得图象与x的正半轴的另一个交点为(,0),再根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积.
解答: 解:∵y=cos(2x﹣),
∴周期T==π,
∴
∴阴影部分的面积S=﹣cos(2x﹣)dx+cos(2x﹣)dx=﹣sin(2x﹣)|+sin(2x﹣)|=;
故答案为:.
点评: 本题主要考查了定积分的几何意义以及三角函数的问题,关键是求出积分上下限,计算积分值,属于基础题.
11.(5分)若,则的最大值为.
考点: 二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用.
专题: 三角函数的求值.
分析: 利用利用三角函数基本关系式、基本不等式即可得出.
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解答: 解:∵,∴tanα>0.
∴====.
故答案为:
点评: 本题考查了三角函数基本关系式、基本不等式,属于基础题.
12.(5分)已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,则当y≥l时,的取值范围是[,].
考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 判断函数f(x)的奇偶性和单调性,将不等式进行转化,利用直线和圆的位置关系,结合数形结合和的几何意义即可得到结论.
解答: 解:∵f(x)=x+sinx(x∈R),
∴f(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣(x+sinx)=﹣f(x),
即f(x)=x+sinx(x∈R)是奇函数,
∵f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,
∴f(y2﹣2y+3)≤﹣f(x2﹣4x+1)=f[﹣(x2﹣4x+1)],
由f'(x)=1+cosx≥0,
∴函数单调递增.
∴(y2﹣2y+3)≤﹣(x2﹣4x+1),
即(y2﹣2y+3)+(x2﹣4x+1)≤0,
∴(y﹣1)2+(x﹣2)2≤1,
∵y≥1,
∴不等式对应的平面区域为圆心为(2,1),半径为1的圆的上半部分.
的几何意义为动点P(x,y)到定点A(﹣1,0)的斜率的取值范围.
设k=,(k>0)
则y=kx+k,即kx﹣y+k=0.
当直线和圆相切是,圆心到直线的距离d===1,
即8k2﹣6k=0,解得k=.此时直线斜率最大.
当直线kx﹣y+k=0.经过点B(3,1)时,直线斜率最小,
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此时3k﹣1+k=0,即4k=1,解得k=,
∴≤k≤,
故答案为[,].
点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围,综合性较强,运算量较大,利用数形结合是解决本题的基本思想.
13.(5分)设x,y,z为空间不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,下列说法中能保证“若x⊥z,y⊥z,则x∥y”为真命题的序号有①③⑤.(把所有的真命题全填上)
①x为直线,y,z为平面;
②x,y,z都为平面;
③x,y为直线,z为平面;
④x,y,z都为直线;
⑤x,y为平面,z为直线.
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 压轴题;简易逻辑.
分析: 依据线面、面面平行和垂直的判断和性质定理,逐一判定5个命题得答案.
解答: 解:①中x⊥平面z,平面y⊥平面z,
∴x∥平面y或x⊂平面y.
又∵x⊄平面y,故x∥y成立;
②中若x,y,z均为平面,则x可与y相交,故②不成立;
③x⊥z,y⊥z,x,y为不同直线,故x∥y成立;
④x,y,z均为直线可异面垂直,故④不成立;
⑤z⊥x,z⊥y,z为直线,x,y为平面可得x∥y,⑤成立.
故答案为:①③⑤.
点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系,是中档题.
三、选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分。【坐标系与参数方程选做题】
- 23 -
14.(5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:,(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是ρ(cosθ﹣sinθ)=1.
考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: 由题意可得直线l的方程为y=x+b,曲线方程化为直角坐标,表示一个圆,由于弦长正好等于直径,可得圆心(2,1)在直线l上,由此求得b的值,可得直线的方程.
解答: 解:设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b,
曲线C:(α为参数),即 (x﹣2)2+(y﹣1)2=1,表示以(2,1)为圆心、半径等于1的圆.
由于弦长|AB|=2,正好等于直径,故圆心(2,1)在直线l上,故有1=2+b,解得b=﹣1,
故直线l的方程为 y=x﹣1,即x﹣y﹣1=0.
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,即ρ(cosθ﹣sinθ)=1
故答案为:ρ(cosθ﹣sinθ)=1.
点评: 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程,直线和圆的位置关系,属于基础题.
(几何证明选讲选做题)
15.已知⊙O1和⊙O2交于点C和D,⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点,交直线CD于点E,M是⊙O2上的一点,若PE=2,EA=1,∠AMB=45°,那么⊙O2的半径为.
考点: 圆与圆的位置关系及其判定.
专题: 直线与圆.
分析: 根据切割线定理和割线定理,证出EP2=EA•EB,代入题中数据解得EB=4,从而得到AB=3.再在△ABM中利用正弦定理加以计算,即可得出⊙O2的半径.
解答: 解:∵PE切⊙O1于点P,∴EP2=EC•ED.
∵ED、EB是⊙O2的两条割线,∴EC•ED=EA•EB.
∴EP2=EA•EB,即22=1•EB,得EB=4,
因此,△ABM中AB=EB﹣EA=3,∠AMB=45°,设⊙O2的半径为R,
由正弦定理,得=2R,即2R==,解之得R=.
故答案为:
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点评: 本题给出两圆相交,在已知一条圆的切线长的情况下求另一个圆的半径.着重考查了圆当中的比例线段和正弦定理等知识,属于中档题.
三.解答或证明题
16.(12分)已知锐角△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=6,向量=(2sinC,﹣),=(cos2C,2cos2﹣1),且∥.
(1)求C的大小;
(2)若,求的值.
考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量共线(平行)的坐标表示.
专题: 计算题;三角函数的求值.
分析: (1)由∥,得2sinC(2cos2﹣1)=﹣cos2C,可求得tan2C,从而可得2C,进而得到C;
(2)由,得,则,利用差角的正弦公式可求;
解答: (1)∵∥,∴2sinC(2cos2﹣1)=﹣cos2C,
∴,即,
又∵C为锐角,∴2C∈(0,π),∴,∴;
(2)∵,∴,
∴,
又,且A为锐角,∴,
∴;
点评: 本题考查平面向量共线的充要条件、和差角公式,考查学生的运算求解能力.
17.(13分)一个袋子中装有6个红球和4个白球,假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的.
(Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球,求摸出的球均为白球的概率;
(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回).某人连续摸了3次,记“摸球成功”的次数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
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专题: 计算题;概率与统计.
分析: (Ⅰ)设从袋子中任意摸出3个球,利用排列组合知识能求出摸出的球均为白球的概率.
(Ⅱ)由一次”摸球成功”的概率P==.随机变量ξ服从二项分布B(3,),由此能求出ξ的分布列和数学期望.
解答: 解:(Ⅰ)设从袋子中任意摸出3个球,摸出的球均为白球的概率:
P==.…(4分)
(Ⅱ)由一次”摸球成功”的概率P==.…(8分)
随机变量ξ服从二项分布B(3,),
∴ξ的分布列为:…(12分)
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
ξ 0 1 2 3
P
Eξ=3×=2. …(14分)
点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,在历年2015届高考中都是必考题型.解题时要认真审题,注意概率知识的灵活运用.
18.(13分)如图1,AD是直角△ABC斜边上的高,沿AD把△ABC的两部分折成直二面角(如图2),DF⊥AC于F.
(Ⅰ)证明:BF⊥AC;
(Ⅱ)设∠DCF=θ,AB与平面BDF所成的角为α,二面角B﹣FA﹣D的大小为β,试用tanθ,cosβ表示tanα;
(Ⅲ)设AB=AC,E为AB的中点,在线段DC上是否存在一点P,使得DE∥平面PBF?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定.
专题: 三角函数的求值;空间位置关系与距离;空间角.
分析: (1)首先利用折叠,把平面问题转化成空间问题,进一步利用面面垂直转化成线面垂直和线线垂直.
(2)利用三角函数及定义建立等量关系
(3)存在性问题的确定,先确定结论,然后进行证明,进一步得出结论.
解答: 证明:(Ⅰ)∵AD⊥DB,AD⊥DC,
∴∠BDC是二面角B﹣DA﹣C的平面角.
又∵二面角B﹣DA﹣C是直二面角,
∴BD⊥DC,
∴BD⊥平面ADC,
∴BD⊥AC,
又DF⊥AC,∴AC⊥平面BDF,∴BF⊥AC.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ),
.
利用三角形相似得:,
∴.
解:(Ⅲ)存在,使DE∥平面PBF
理由:连接CE交BF于点M,连接PM,则PM∥DE.
∵AB=AC,∴AD=DC,
∴F为AC的中点,而E为AB的中点,
∴M为△ABC的重心,
∴,∴.
即在线段DC上存在一点P,此时,使DE∥平面PBF.
故答案为:(1)略
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(2)tanθcosβ=tanα
(3)存在,使DE∥平面PBF
点评: 本题考查的知识要点:面面垂直的性质定理与线面垂直和线线垂直的转化,三角函数只是在三角形中的应用,直二面角的应用,存在性问题的确定与证明方法.
19.(14分)如图,点P(0,﹣1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.
考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析: (1)由题意可得b=1,2a=4,即可得到椭圆的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意可知:直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y=kx﹣1.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|,又l2⊥l1,可得直线l2
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的方程为x+kx+k=0,与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标,即可得出|PD|,即可得到三角形ABD的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值,即得到k的值.
解答: 解:(1)由题意可得b=1,2a=4,即a=2.
∴椭圆C1的方程为;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意可知:直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y=kx﹣1.
又圆的圆心O(0,0)到直线l1的距离d=.
∴|AB|==.
又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0,联立,消去y得到(4+k2)x2+8kx=0,解得,
∴|PD|=.
∴三角形ABD的面积S△==,
令4+k2=t>4,则k2=t﹣4,
f(t)===,
∴S△=,当且仅,即,当时取等号,
故所求直线l1的方程为.
点评: 本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力.
20.(14分)如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2km,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.
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(1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积;
(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.
考点: 在实际问题中建立三角函数模型.
专题: 计算题;三角函数的求值.
分析: (1)先过S作SH⊥RT于H,则有:S△RST=,由题意知:△RST在月牙形公园里,RT与圆Q只能相切或相离,RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,建立不等关系:RT≤4,SH≤2,当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.从而得出场地面积的最大值即可;
(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,AD必须切圆Q于P,再设∠BPA=θ,写出等腰梯形ABCD面积的表达式,再利用导数求得其极大值也是最大值即可.
解答: 解:(1)如下右图,
过S作SH⊥RT于H,
S△RST=.(2分)
由题意,△RST在月牙形公园里,
RT与圆Q只能相切或相离;(4分)
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,
则有RT≤4,SH≤2,
当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.
此时,场地面积的最大值为S△RST==4(km2).(6分)
甲图乙图
(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,
AD必须切圆Q于P,再设∠BPA=θ,则
SABCD=(AD+BC)×2sinθ=(4+2×2cosθ)×2sinθ.
=4(sinθ+sinθcosθ)…(8分)
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令y=sinθ+sinθcosθ,则
y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ(﹣sinθ)=2cos2θ+cosθ﹣1.(11分)
若y'=0,,
又时,y'>0,时,y'<0,(14分)
函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值,
故时,场地面积取得最大值为(km2).(16分)
点评: 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型.解题的关键是利用三角函数这个数学模型,建立函数关系式,最后利用导数知识求最值.
21.(14分)函数的导数为0的点称为函数的驻点,若点(1,1)为函数f(x)的驻点,则称f(x)具有“1﹣1驻点性”.
(1)设函数f(x)=﹣x+2+alnx,其中a≠0.
①求证:函数f(x)不具有“1﹣1驻点性”
②求函数f(x)的单调区间
(2)已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1﹣1驻点性”,给定x1,x2∈R,x1<x2,设λ为实数,且λ≠﹣1,α=,β=,若|g(α)﹣g(β)|>|g(x1)﹣g(x2)|,求λ的取值范围.
考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算.
专题: 综合题;压轴题;新定义.
分析: (1)①对函数f(x)=﹣x+2+alnx求导,验证f′(1)≠0即可说明函数f(x)不具有“1﹣1驻点性”;②根据导数的符号和函数单调性的关系,即f′(x)>0时不等式解集就是函数的单调递增区间,f′(x)<0时不等式解集就是函数的单调递减区间,注意对参数a的讨论;
(2)由题设知,函数g(x)得导数g′(x)=g′(x)=3bx2+6x+c,根据g(x)具有“1﹣1驻点性,求出b,c的值,从而g(x)在R上单调递减,分①λ≥0②﹣1<λ<0③λ<﹣1三种情况讨论求解λ得范围即可
解答: 解:(1)①f′(x)=﹣1++
∵f′(1)=﹣1+1+a≠0,
∴函数f(x)不具有“1﹣1驻点性”.
②由f′(x)==
(ⅰ)当a+<0,即a<﹣时,f′(x)<0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数;
(ⅱ)当a+=0,即a=﹣时,显然f′(x)≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数
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(ⅲ)当a+>0,即a>﹣时,由f′(x)=0得=±
当﹣<a<0时,﹣>0
∴x∈(0,a+﹣)时,f′(x)<0;
x∈( a+﹣,a++)时,f′(x)>0; x∈(a++,+∞)时,f′(x)<0;
当a>0时,﹣<0
∴x∈(0,a++)时,f′(x)>0; x∈( a++,+∞)时,f′(x)<0;
综上所述:当a≤﹣时,函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞);
当﹣<a<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,a+﹣)和( a++,+∞),
函数f(x)的单调递增区间为( a+﹣,a++);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,a++),
函数f(x)的单调递减区间为( a++,+∞)
(Ⅱ)由题设得:g′(x)=3bx2+6x+c,
∵g(x)具有“1﹣1驻点性”∴g(1)=1且g′(1)=0
即解得
∴g′(x)=﹣3x2+6x﹣3=﹣3(x﹣1)2≤0,故g(x)在定义域R上单调递减.
①当λ≥0时,α=≥=x1,α=<=x2,即α∈[x1,x2),同理β∈(x1,x2]
由g(x)的单调性可知:g(α),g(β)∈[g(x2),g(x1)]
∴|g(α)﹣g(β)|≤|g(x1)﹣g(x2)|与题设|g(α)﹣g(β)|>|g(x1)﹣g(x2)|不符.
②当﹣1<λ<0时,α=<=x1,β=>=x2
即α<x1<x2<β∴g(β)<g(x2)<g(x1)<g(α)
∴|g(α)﹣g(β)|>|g(x1)﹣g(x2)|,符合题设
③当λ<﹣1时,α=>=x2,β=<=x1,即β<x1<x2<α
∴g(α)<g(x2)<g(x1)<g(β)
∴|g(α)﹣g(β)|>|g(x1)﹣g(x2)|也符合题设
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由此,综合①②③得所求的λ的取值范围是λ<0且λ≠﹣1
点评: 本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力,属难题.
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