广东省东莞市南开实验学校2015届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

东莞市2015届高三数学上学期期中试题（文科有解析）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.‎ ‎1．（5分）设i是虚数单位，复数i3+=（）‎ ‎ A． ﹣i B． i C． ﹣1 D． 1‎ ‎2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁UA=（）‎ ‎ A． {1，3，5，6} B． {2，3，7} C． {2，4，7} D． {2，5，7}‎ ‎3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）‎ ‎ A． 2 B． ‎4 ‎C． 7 D． 8‎ ‎4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）‎ ‎ A． 1 B． ‎3 ‎C． 7 D． 15‎ ‎5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b‎2”‎的（）‎ ‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎6．（5分）根据如下样本数据：‎ x 3 4 5 6 7 8‎ y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0‎ 得到回归方程为=bx+a，则（）‎ ‎ A． a＞0，b＜0 B． a＞0，b＞‎0 ‎C． a＜0，b＜0 D． a＜0，b＞0‎ ‎7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）‎ - 19 -‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．（5分）一多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（）‎ ‎ A． B． C． 6 D． 7‎ ‎9．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎C． 4 D． 8‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）‎ ‎ A． （2，+∞） B． （1，+∞） C． （﹣∞，﹣2） D． （﹣∞，﹣1）‎ 二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．‎ ‎12．（5分）中x3的系数为．（用数字作答）‎ ‎13．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．‎ ‎（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题【坐标系与参数方程】‎ - 19 -‎ ‎14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为．‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15．已知⊙O的割线PAB交⊙OA，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．‎ ‎（1）求a，θ的值；‎ ‎（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．‎ ‎17．（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；‎ ‎（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005‎ k0 2.706 3.841 6.635 7.879‎ 附：K2=．‎ - 19 -‎ ‎18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，侧面BB‎1C1C为菱形，B‎1C的中点为O，且AO⊥平面BB‎1C1C．‎ ‎（1）证明：B‎1C⊥AB；‎ ‎（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的高．‎ ‎19．（14分）在等差数列{an}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=a，记Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）nbn，求Tn．‎ ‎20．（14分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．‎ ‎（Ⅰ）求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ 广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.‎ - 19 -‎ ‎1．（5分）设i是虚数单位，复数i3+=（）‎ ‎ A． ﹣i B． i C． ﹣1 D． 1‎ 考点： 复数代数形式的乘除运算． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．‎ 解答： 解：复数i3+=﹣i+=﹣i+=1，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁UA=（）‎ ‎ A． {1，3，5，6} B． {2，3，7} C． {2，4，7} D． {2，5，7}‎ 考点： 补集及其运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： 根据全集U以及A，求出A的补集即可．‎ 解答： 解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，‎ ‎∴∁UA={2，4，7}．‎ 故选：C．‎ 点评： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．‎ ‎3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）‎ ‎ A． 2 B． ‎4 ‎C． 7 D． 8‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．‎ 解答： 解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：‎ - 19 -‎ ‎∵目标函数Z=2x+y，‎ ‎∴ZO=0，ZA=4，ZB=7，ZC=4，‎ 故2x+y的最大值是7，‎ 故选：C 点评： 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）‎ ‎ A． 1 B． ‎3 ‎C． 7 D． 15‎ 考点： 程序框图． ‎ 专题： 算法和程序框图．‎ 分析： 算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．‎ 解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，‎ ‎∵跳出循环的k值为3，‎ ‎∴输出S=1+2+4=7．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．‎ - 19 -‎ ‎5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b‎2”‎的（）‎ ‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．‎ 解答： 解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b‎2”‎的不充分条件；‎ 反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b‎2”‎的不必要条件．‎ 故选D 点评： 判断充要条件的方法是：‎ ‎①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；‎ ‎②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；‎ ‎③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；‎ ‎④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．‎ ‎⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．‎ ‎6．（5分）根据如下样本数据：‎ x 3 4 5 6 7 8‎ y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0‎ 得到回归方程为=bx+a，则（）‎ ‎ A． a＞0，b＜0 B． a＞0，b＞‎0 ‎C． a＜0，b＜0 D． a＜0，b＞0‎ 考点： 线性回归方程． ‎ 专题： 计算题；概率与统计．‎ 分析： 利用公式求出b，a，即可得出结论．‎ 解答： 解：样本平均数=5.5，=0.25，‎ ‎∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，‎ ‎∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．‎ ‎7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ - 19 -‎ 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．‎ 解答： 解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，‎ 所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），‎ 图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，‎ 即φ=﹣，‎ 当k=﹣1时，φ的最小正值是．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．‎ ‎8．（5分）一多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（）‎ ‎ A． B． C． 6 D． 7‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．‎ 解答： 解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，‎ 正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，‎ 故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧==．‎ 故选：B．‎ - 19 -‎ 点评： 本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．‎ ‎9．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎C． 4 D． 8‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．‎ 解答： 解：抛物线C：y2=x的焦点为F，‎ ‎∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，‎ ‎∴=x0+，‎ 解得x0=1．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）‎ ‎ A． （2，+∞） B． （1，+∞） C． （﹣∞，﹣2） D． （﹣∞，﹣1）‎ 考点： 函数零点的判定定理． ‎ 专题： 综合题；导数的概念及应用．‎ 分析： 分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．‎ 解答： 解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；‎ 当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：‎ ‎ x （﹣∞，0） 0 （0，） （，+∞） ‎ ‎ f′（x） + 0 ﹣ 0 +‎ ‎ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，‎ - 19 -‎ ‎∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．‎ 当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：‎ ‎ x （﹣∞，） （，0） 0 （0，+∞）‎ ‎ f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣‎ ‎ f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，‎ ‎∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，‎ ‎∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，‎ ‎∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，‎ ‎∵a＜0，∴a＜﹣2．‎ 综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ 二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．‎ 考点： 古典概型及其概率计算公式． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．‎ 解答： 解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，‎ 其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．‎ ‎12．（5分）中x3的系数为20．（用数字作答）‎ 考点： 二项式定理． ‎ 专题： 排列组合．‎ - 19 -‎ 分析： 由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确定出x3是展开式中的第几项，从而得出其系数 解答： 解：由题意，的展开式的通项公式是Tr+1==x12﹣3r 令12﹣3r=3得r=3‎ 所以中x3的系数为=20‎ 故答案为20‎ 点评： 本题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，解答的关键是熟练掌握二项式的通项公式 ‎13．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．‎ 考点： 函数的值． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．‎ 解答： 解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，‎ 则f（）+f（）‎ ‎=f（8﹣）+f（8﹣）‎ ‎=f（﹣）+f（﹣）‎ ‎=﹣f（）﹣f（）‎ ‎=‎ ‎==．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．‎ ‎（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题【坐标系与参数方程】‎ - 19 -‎ ‎14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为（1，1）．‎ 考点： 抛物线的参数方程；圆的参数方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 把曲线C1与C2的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线C1与C2的交点坐标．‎ 解答： 解：在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的普通方程分别为 y2=x，x2+y2=2．‎ 解方程组 可得 ，故曲线C1与C2的交点坐标为（1，1），‎ 故答案为 （1，1）．‎ 点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于中档题．‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15．已知⊙O的割线PAB交⊙OA，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为2．‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 计算题；压轴题．‎ 分析： 由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=3，AB=4，PO=5，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．‎ 解答： 解：设⊙O的半径为R 则PC=PO﹣OC=5﹣R PD=PO+OD=5+R 又∵PA=3，AB=4，‎ ‎∴PB=PA+AB=7‎ 由切割线定理易得：‎ PA•PB=PC•PD 即3×7=（5﹣R）×（5+R）‎ 解得R=2‎ 故答案：2‎ 点评： 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件的方程是解答的关键．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ - 19 -‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．‎ ‎（1）求a，θ的值；‎ ‎（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： （1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．‎ ‎（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．‎ 解答： 解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，‎ ‎∵θ∈（0，π）．‎ ‎∴sinθ≠0，‎ ‎∴a+1=0，即a=﹣1‎ ‎∵f（x）为奇函数，‎ ‎∴f（0）=（a+2）cosθ=0，‎ ‎∴cosθ=0，θ=．‎ ‎（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，‎ ‎∴f（）=﹣sinα=﹣，‎ ‎∴sinα=，‎ ‎∵α∈（，π），‎ ‎∴cosα==﹣，‎ ‎∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．‎ 点评： 本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．‎ ‎17．（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？‎ - 19 -‎ ‎（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；‎ ‎（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005‎ k0 2.706 3.841 6.635 7.879‎ 附：K2=．‎ 考点： 独立性检验；频率分布直方图． ‎ 专题： 应用题；概率与统计．‎ 分析： （Ⅰ）根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；‎ ‎（Ⅲ）写出2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论．‎ 解答： 解：（Ⅰ）300×=90，∴应收集90位女生的样本数据；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，‎ ‎∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有300×0.75=225人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ ‎ 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225‎ 总计 210 90 300‎ ‎∴K2=≈4.762＞3.841，‎ ‎∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ - 19 -‎ 点评： 本题主要考查独立性检验等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等，属于中档题．‎ ‎18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，侧面BB‎1C1C为菱形，B‎1C的中点为O，且AO⊥平面BB‎1C1C．‎ ‎（1）证明：B‎1C⊥AB；‎ ‎（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的高．‎ 考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）连接BC1，则O为B‎1C与BC1的交点，证明B‎1C⊥平面ABO，可得B‎1C⊥AB；‎ ‎（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1为等边三角形，求出B1到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的高．‎ 解答： （1）证明：连接BC1，则O为B‎1C与BC1的交点，‎ ‎∵侧面BB‎1C1C为菱形，‎ ‎∴BC1⊥B‎1C，‎ ‎∵AO⊥平面BB‎1C1C，‎ ‎∴AO⊥B‎1C，‎ ‎∵AO∩BC1=O，‎ ‎∴B‎1C⊥平面ABO，‎ ‎∵AB⊂平面ABO，‎ ‎∴B‎1C⊥AB；‎ ‎（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，‎ ‎∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，‎ ‎∴BC⊥平面AOD，‎ ‎∴OH⊥BC，‎ ‎∵OH⊥AD，BC∩AD=D，‎ ‎∴OH⊥平面ABC，‎ ‎∵∠CBB1=60°，‎ ‎∴△CBB1为等边三角形，‎ ‎∵BC=1，∴OD=，‎ ‎∵AC⊥AB1，∴OA=B‎1C=，‎ 由OH•AD=OD•OA，可得AD==，∴OH=，‎ ‎∵O为B‎1C的中点，‎ ‎∴B1到平面ABC的距离为，‎ - 19 -‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的高．‎ 点评： 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎19．（14分）在等差数列{an}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=a，记Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）nbn，求Tn．‎ 考点： 数列的求和；等差数列的性质． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （Ⅰ）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得bn=a=n（n+1），因此Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）nbn=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）nn•（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵a2是a1与a4的等比中项，‎ ‎∴，‎ ‎∵在等差数列{an}中，公差d=2，‎ ‎∴，即，‎ 化为，解得a1=2．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n．‎ ‎（Ⅱ）∵bn=a=n（n+1），‎ ‎∴Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）nbn=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）nn•（n+1）．‎ 当n=2k（k∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4k Tn=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣b2k﹣1）‎ ‎=4（1+2+…+k）=4×=2k（k+1）=．‎ 当n=2k﹣1（k∈N*）时，‎ Tn=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣2﹣b2k﹣3）﹣b2k﹣1‎ ‎=n（n+1）‎ - 19 -‎ ‎=﹣．‎ 故Tn=．‎ 点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题．‎ ‎20．（14分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．‎ ‎（Ⅰ）求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： （Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的标准方程为 +=1，a＞b＞0，则 +=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，里哦也难怪韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=•AB•d=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程．‎ 解答： 解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），且x0＞0，y0＞0．‎ 则切线的斜率为﹣，故切线方程为 y﹣y0=﹣（x﹣x0），即x0x+y0y=4．‎ - 19 -‎ 此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．‎ 再根据 +=4≥2，可得当且仅当x0=y0=时，x0•y0取得最大值，即S取得最小值，‎ 故点P的坐标为（，）．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的标准方程为 +=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴+=1．‎ 由 求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ 由 y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2﹣x1|=•=•‎ ‎=．‎ 由于点P（，）到直线l：y=x+的距离d=，‎ ‎△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得 b4﹣9b2+18=0，解得 b2=3，或 b2=6，‎ 当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；‎ 当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 +=1．‎ 点评： 本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． ‎ - 19 -‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；‎ ‎（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；‎ ‎（3）利用（2）的结论，令x0=，则ex＞x2＞x，即x＜cex．即得结论成立．‎ 解答： 解：（1）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．‎ 又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，‎ ‎∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．‎ 由f′（x）=0得x=ln2，‎ 当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；‎ ‎∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．‎ f（x）无极大值．‎ ‎（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，‎ 由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，‎ ‎∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；‎ ‎（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，‎ 由（2）得ex＞x2＞x，即x＜cex．‎ ‎∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ 点评： 本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．‎ - 19 -‎