佛山一中2015届高三数学上学期期中试卷(理科带解析)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为()
A. 2+i B. 2﹣i C. 5+i D. 5﹣i
2.(5分)已知几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()
A. B. 4 C. D.
3.(5分)设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则m⊥β的一个充分条件是()
A. α⊥β,α∩β=l,m⊥l B. α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
C. α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D. n⊥α,n⊥β,m⊥α
4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()
A. 63 B. 45 C. 36 D. 27
5.(5分)设,则a,b,c的大小关系是()
A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a
6.(5分)设x,y∈R,向量=(x,1)=(1,y),=(2,﹣4)且⊥,∥,则x+y=()
A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣2
7.(5分)如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为()
- 22 -
A. B. C. D.
8.(5分)对于下列命题:
①命题“∃x0∈R,x02+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;
②在△ABC中“∠A>∠B”的 充要条件是“sinA>sinB”;
③设a=sin,b=cos,c=tan,则c>a>b;
④将函数y=2sin(3x+)图象的横坐标变为原来的3倍,再向左平移个单位,得到函数y=2sin(x+)图象.
其中真命题的个数是()
A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分(一)必做题:(9-13)
9.(5分)若0<α<,﹣<β<0,且sinβ=﹣,cos(α﹣β)=,则sinα=.
10.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则=.
11.(5分)过点A(1,1)作曲线y=x2(x≥0)的切线,设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S,则S=.
- 22 -
12.(5分)已知a>0,函数f(x)=,若f(t﹣)>﹣,则实数t的取值范围为.
13.(5分)如图,多面体OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2,AC=BD=,且OA,OB,OC两两垂直,给出下列 5个结论:
①三棱锥O﹣ABC的体积是定值;
②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是;
③直线OB∥平面ACD;
④直线AD与OB所成角是60°;
⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°.
其中正确的结论是.
三、选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)(坐标系与参数方程选做题)
14.(5分)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρcos(θ﹣)=3的距离的最小值是.
四、(几何证明选讲选做题)
15.如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O于B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP•NP=.
五、解答题(共80分)
16.(12分)已知.
(1)求f(x)的周期及其图象的对称中心;
- 22 -
(2)△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求f(B)的值.
17.(12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为,乙、丙面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.
(Ⅰ)求至少有1人面试合格的概率;
(Ⅱ)求签约人数ξ的分布列和数学期望.
18.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,点D,E分别在棱PB,PC上,且BC∥平面ADE
(Ⅰ)求证:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)当二面角A﹣DE﹣P为直二面角时,求多面体ABCED与PAED的体积比.
19.(14分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(14分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;
(Ⅱ)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值.
- 22 -
21.(14分)已知函数.
(1)当时,如果函数g(x)=f(x)﹣k仅有一个零点,求实数k的取值范围;
(2)当a=2时,试比较f(x)与1的大小;
(3)求证:(n∈N*).
广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为()
A. 2+i B. 2﹣i C. 5+i D. 5﹣i
考点: 复数的基本概念.
专题: 数系的扩充和复数.
分析: 利用复数的运算法则求得z,即可求得z的共轭复数.
解答: 解:∵(z﹣3)(2﹣i)=5,
∴z﹣3==2+i
∴z=5+i,
∴=5﹣i.
故选D.
点评: 本题考查复数的基本概念与基本运算,求得复数z是关键,属于基础题.
2.(5分)已知几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()
A. B. 4 C. D.
- 22 -
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题.
分析: 根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥,且可得底面棱长为2,侧面高为,由此求出底面面积和棱锥的高,代入棱锥体积公式,可得答案.
解答: 解:由已知可得该几何体是一个底面棱长为2
侧面高为的正四棱锥
则棱锥的高h==
∴棱锥的高V=Sh=×2×2×=
故选C
点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键.
3.(5分)设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则m⊥β的一个充分条件是()
A. α⊥β,α∩β=l,m⊥l B. α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
C. α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D. n⊥α,n⊥β,m⊥α
考点: 直线与平面垂直的判定.
专题: 证明题;转化思想.
分析: 根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确,根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项D正确.
解答: 解:α⊥β,α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m⊂α,故不正确;
α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;
α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;
n⊥α,n⊥β,⇒α∥β,而m⊥α,则m⊥β,故正确
故选D
点评: 本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.
4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()
A. 63 B. 45 C. 36 D. 27
考点: 等差数列的性质.
分析: 观察下标间的关系,知应用等差数列的性质求得.
解答: 解:由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列,即9,27,S9﹣S6成等差,∴S9﹣S6=45
∴a7+a8+a9=45
故选B.
点评: 本题考查等差数列的性质.
- 22 -
5.(5分)设,则a,b,c的大小关系是()
A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a
考点: 幂函数图象及其与指数的关系.
分析: 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
解答: 解:∵在x>0时是增函数
∴a>c
又∵在x>0时是减函数,所以c>b
故答案选A
点评: 本题主要考查幂函数与指数的关系.要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题.
6.(5分)设x,y∈R,向量=(x,1)=(1,y),=(2,﹣4)且⊥,∥,则x+y=()
A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣2
考点: 平面向量的坐标运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出.
解答: 解:∵⊥,∥,
∴2x﹣4=0,2y+4=0,
解得x=2,y=﹣2.
∴x+y=0.
故选:A.
点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理,属于基础题.
7.(5分)如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为()
A. B. C. D.
考点: 平面向量的基本定理及其意义.
- 22 -
专题: 计算题;作图题;平面向量及应用.
分析: 以A为原点,AB,AD为坐标轴建立坐标系,设AB、AD为单位长度,从而可得,=(λ,λ﹣),=(λ﹣,λ),由由E、F、K三点共线可得λ•λ﹣(λ﹣)(λ﹣)=0,从而解得.
解答: 解:以A为原点,AB,AD为坐标轴建立坐标系,
设AB、AD为单位长度,
则由题意可得,
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(,0),F(0,),K(λ,λ),
则=(λ,λ﹣),=(λ﹣,λ),
则由E、F、K三点共线可得,
λ•λ﹣(λ﹣)(λ﹣)=0,
即λ=,
故λ=,
故选A.
点评: 本题考查了平面向量的基本定理应用,属于中档题.
8.(5分)对于下列命题:
①命题“∃x0∈R,x02+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;
②在△ABC中“∠A>∠B”的 充要条件是“sinA>sinB”;
③设a=sin,b=cos,c=tan,则c>a>b;
④将函数y=2sin(3x+)图象的横坐标变为原来的3倍,再向左平移个单位,得到函数y=2sin(x+)图象.
其中真命题的个数是()
A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 三角函数的图像与性质;解三角形;简易逻辑.
分析: ①,写出命题“∃x0∈R,x02+1>3x0”的否定再判断其正误即可;
- 22 -
②,在△ABC中,利用大角对大边及正弦定理可判断②的正误;
③,利用诱导公式及特殊角的三角函数值可判断设a=sin,b=cos,c=tan的大小;
④,利用三角函数间的图象变换可判断④的正误.
解答: 解:对于①,命题“∃x0∈R,x02+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,故①正确;
对于②,在△ABC中,由大角对大边及正弦定理可知,∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB,
即△ABC中“∠A>∠B”的 充要条件是“sinA>sinB”,故②正确;
对于③,因为a=sin=sin(335×2π+)=﹣,b=cos=cos=﹣,c=tan=,则c>b>a,故③错误;
对于④,将函数y=2sin(3x+)图象的横坐标变为原来的3倍,得到y=2sin(x+)的图象,
再向左平移个单位,得到函数y=2sin[(x+)+]=2sin(x+)图象,故④正确.
综上所述,其中真命题的个数是3个,
故选:D.
点评: 本题考查命题的真假判断及其应用,综合考查命题及其否定、充分必要条件的概念及应用,考查诱导公式及特殊角的三角函数值、三角函数间的图象变换等基本知识.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分(一)必做题:(9-13)
9.(5分)若0<α<,﹣<β<0,且sinβ=﹣,cos(α﹣β)=,则sinα=.
考点: 两角和与差的正弦函数.
专题: 计算题;三角函数的求值.
分析: 利用同角三角函数平方关系,求出cosβ、sin(α﹣β),再利用角的变换,即可得出结论.
解答: 解:∵sinβ=﹣,﹣<β<0,
∴cosβ=,
∵0<α<,﹣<β<0,
∴0<α﹣β<π,
∵cos(α﹣β)=,
∴sin(α﹣β)=,
- 22 -
∴sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ==.
故答案为:.
点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,考查同角三角函数平方关系、角的变换,正确运用sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ是关键.
10.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则=0.
考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题: 压轴题.
分析: 先根据图象可得到周期T进而可知ω的值,确定函数f(x)的解析式后将x=代入即可得到答案.
解答: 解:根据图象可知,所以T=π,
因为,所以ω=3,
当x=时,f()=0,即,可得,
所以.
故答案为:0.
点评: 本题主要考查已知三角函数的部分图象求函数解析式的问题.属基础题.
11.(5分)过点A(1,1)作曲线y=x2(x≥0)的切线,设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S,则S=.
考点: 定积分在求面积中的应用.
专题: 导数的综合应用.
- 22 -
分析: 首先根据导数的几何意义求出切线的斜率,写出直线方程,利用定积分的几何意义求S.
解答: 解:因为点A的坐标为(1,1),过点A的切线的斜率为k=y'|x=1=2,
故过点A的切线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即y=2x﹣1,令y=0,得x=,
则S==;
故答案为:.
点评: 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分的应用、直线的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.
12.(5分)已知a>0,函数f(x)=,若f(t﹣)>﹣,则实数t的取值范围为(0,+∞).
考点: 分段函数的应用.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据分段函数的表达式判断函数的单调性,根据函数的单调性将不等式进行转化即可得到结论.
解答: 解:当x∈[﹣1,0)时,函数f(x)=sin单调递增,且f(x)∈[﹣1,0),
当x∈[0,+∞)时,函数f(x)=ax2+ax+1的对称轴为x=﹣,此时函数f(x)单调递增且f(x)≥1,
综上当x∈[﹣1,+∞)时,函数单调递增,
由f(x)=sin=得=,解得x=,
则不等式f(t﹣)>﹣,等价为f(t﹣)>f(﹣),
∵函数f(x)是增函数,
∴t﹣>﹣,
即t>0,
故答案为:(0,+∞)
- 22 -
点评: 本题主要考查不等式的求解,根据条件判断分段函数的单调性是解决本题的关键.
13.(5分)如图,多面体OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2,AC=BD=,且OA,OB,OC两两垂直,给出下列 5个结论:
①三棱锥O﹣ABC的体积是定值;
②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是;
③直线OB∥平面ACD;
④直线AD与OB所成角是60°;
⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°.
其中正确的结论是①②④.
考点: 空间中直线与直线之间的位置关系.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 由题意,只要构造长方体,设OA=x,OB=y,OC=z,则x2+y2=4,x2+z2=10,y2+z2=12,解得,x=1,y=,z=3,运用棱锥的体积公式,即可判断①;运用异面直线所成角的定义,即可判断②;球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长,即可判断③;由于OB∥AE,AE和平面ACD相交,即可判断④.
解答: 解:由题意,构造长方体,如右图,设OA=x,OB=y,OC=z,
则x2+y2=4,x2+z2=10,y2+z2=12,解得,x=1,y=,z=3,
对于①,三棱锥O﹣ABC的体积为OC×OA×OB=,故①对;
对于②,球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长,
即为,故②对;
对于③,由于OB∥AE,AE和平面ACD相交,则OB和平面ACD相交,故③错.
对于④,由于OB∥AE,则∠DAE即为直线AD与OB所成的角,
- 22 -
由tan∠DAE=,则∠DAE=60°,故④对;
⑤因为AO⊥OC,DC⊥OC,所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A﹣OC﹣D的二面角大小,连接OE,则角AOE为所求,tan∠AOE=,所以∠AOE=60°;⑤错误;
故答案为:①②④
点评: 本题考查线面的位置关系的判断,空间异面直线所成的角,以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系,考查运算能力,属于中档题和易错题.
三、选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)(坐标系与参数方程选做题)
14.(5分)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρcos(θ﹣)=3的距离的最小值是1.
考点: 简单曲线的极坐标方程.
专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程.
分析: 运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,化极坐标方程为直角坐标方程,再由圆心到直线的距离公式,结合d﹣r为最小,即可得到.
解答: 解:圆ρ=2化为直角坐标方程均为x2+y2=4,
直线ρcos(θ﹣)=3即为ρcosθ+ρsinθ=3,
即有x+y﹣6=0,
则圆心到直线的距离d==3,
则圆上的点到直线的距离的最小值为d﹣r=3﹣2=1.
故答案为:1.
点评: 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查直线和圆的关系,考查点到直线的距离公式,属于中档题.
四、(几何证明选讲选做题)
15.如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O于B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP•NP=.
- 22 -
考点: 与圆有关的比例线段.
专题: 计算题.
分析: 由已知中,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O于B,我们由切割线定理,结合已知中AC=4,AB=6,我们易求出AD的长,进而求出弦CD的长,又由弦MN过CD的中点P,由相交弦定理我们易求出MP•NP.
解答: 解:∵AB为⊙O的切线,ACD为⊙O的割线
由切割线定理可得:AB2=AC•AD
由AC=4,AB=6,故AD=9
故CD=5
又∵P是弦CD的中点
故PC=PD=
由相交弦定理得MP•NP=PC•PD=
故答案为:
点评: 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段,分析已知线段与未求线段与圆的关系,以选择恰当的定理是解答此题的关键.
五、解答题(共80分)
16.(12分)已知.
(1)求f(x)的周期及其图象的对称中心;
(2)△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求f(B)的值.
考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦定理.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: (1)利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f(x)的解析式为sin(+)+1,由此可得f(x)的周期及其图象的对称中心.
(2)△ABC中,由(2a﹣c)cosB=bcosC,利用正弦定理化简可得得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,故有cosB=,由此求得 B 的值.
- 22 -
解答: 解:(1)∵已知=sin+cos+1=sin(+)+1,
故f(x)的周期为 =4π.
由sin(+)=0 求得 +=kπ,k∈z,即 x=2kπ﹣,故函数的图象的对称中心为(2kπ﹣,0).
(2)△ABC中,∵(2a﹣c)cosB=bcosC,由正弦定理可得 (2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,
化简可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=,∴B=.
∴f(B)=sin(+)+1=+1.
点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,三角函数的周期性及求法,正弦函数的对称中心、正弦定理,属于中档题.
17.(12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为,乙、丙面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.
(Ⅰ)求至少有1人面试合格的概率;
(Ⅱ)求签约人数ξ的分布列和数学期望.
考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件与对立事件;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列.
专题: 计算题.
分析: (Ⅰ)用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,且.由至少有1人面试合格的概率是1﹣P(),能求出至少有1人面试合格的概率.(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3.分别求了P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2)和P(ξ=3),由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ.
解答: 解:(Ⅰ)用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.
由题意知A,B,C相互独立,
且.
至少有1人面试合格的概率是:
1﹣P()
=1﹣
=1﹣
- 22 -
=.
(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=P()+P()+P()
=++
=++
=.
P(ξ=1)=P(AC)+P()+
=+
=,
P(ξ=2)=P(BC)==,
P(ξ=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)==.
∴ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P(ξ)
故ξ的期望Eξ==.
点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查学生的运算能力,考查学生探究研究问题的能力,解题时要认真审题,理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,体现了化归的重要思想.
18.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,点D,E分别在棱PB,PC上,且BC∥平面ADE
(Ⅰ)求证:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)当二面角A﹣DE﹣P为直二面角时,求多面体ABCED与PAED的体积比.
- 22 -
考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.
专题: 计算题.
分析: (I)欲证DE⊥平面PAC,观察本题的条件,BC⊥平面PAC易证,而BC∥平面ADE结合DE=平面PBC∩平面ADE,可证得BC∥ED,由此证法思路已明.
(Ⅱ)由(I),结合二面角A﹣DE﹣P为直二面角,可证得AE⊥面PBC,即得AE⊥PC,再由,∠BCA=90°,AP=AC可得出E是中点,由于求多面体ABCED与PAED的体积比可以转化为求面BCED与面PAED的比,问题得解.
解答: 解:(Ⅰ)∵BC∥平面ADE,BC⊂平面PBC,
平面PBC∩平面ADE=DE
∴BC∥ED(2分)
∵PA⊥底面ABC,BC⊂底面ABC∴PA⊥BC.(3分)
又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.
∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(5分)
∴DE⊥平面PAC.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DE⊥平面PAC,
又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角,(8分)
∴∠AEP=90°,即AE⊥PC,(9分)
∵AP=AC,∴E是PC的中点,ED是△PBC的中位线.(10分)
∴(12分)
点评: 本题考查利用线面垂直的条件证明线面垂直以及求棱锥的体积比,本题中两个问题的证明都转化为了另外问题的证明,体现了做题的灵活性.
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19.(14分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
考点: 数列与函数的综合;数列的求和.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: (1)由“对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上”可得到Sn=bn+r,依次求出a1、a2、a3,由等比数列的性质(a2)2=a1×a3,解可得答案.
(2)结合(1)可知an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,从而bn=,符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式,用错位相减法求解即可.
解答: 解:(1)因为对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
所以得Sn=bn+r,
当n=1时,a1=S1=b+r,
a2=S2﹣S1=b2+r﹣(b1+r)=b2﹣b1=(b﹣1)b,
a3=S3﹣S2=b3+r﹣(b2+r)=b3﹣b2=(b﹣1)b2,
又因为{an}为等比数列,所以(a2)2=a1×a3,则[(b﹣1)b]2=(b﹣1)b2×(b+r)
解可得r=﹣1,
(2)当b=2时,an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,bn=
则Tn=
Tn=
相减,得Tn=
+=
所以Tn=
点评: 本题主要考查数列与函数的综合运用,主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系,错位相减法求和等问题,属中档题,是常考类型.
20.(14分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;
(Ⅱ)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值.
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考点: 用空间向量求平面间的夹角;异面直线及其所成的角;二面角的平面角及求法.
专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角.
分析: (1)根据题意,得△ABE是正三角形,∠AEB=60°,等腰△CDE中∠CED=(180°﹣∠ECD)=30°,所以∠AED=90°,得到DE⊥AE,结合DE⊥AA1,得DE⊥平面A1AE,从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE.
(2)取BB1的中点F,连接EF、AF,连接B1C.证出EF∥A1D,可得∠AEF(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.利用勾股定理和三角形中位线定理,算出△AEF各边的长,再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值.
(3)建立的空间直角坐标系中,求得平面A1DE的一个法向量,平面CA1D的法向量,利用向量数量积求解夹角余弦值,则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值.
解答: 解:(1)依题意,BE=EC=BC=AB=CD,
∴△ABE是正三角形,∠AEB=60°,
又∵△CDE中,∠CED=∠CDE=(180°﹣∠ECD)=30°
∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°,即DE⊥AE,
∵AA1⊥平面ABCD,DE⊆平面ABCD,∴DE⊥AA1,
∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面A1AE,
∵DE⊆平面A1DE,∴平面A1AE⊥平面A1DE.
(2)取BB1的中点F,连接EF、AF,连接B1C,
∵△BB1C中,EF是中位线,∴EF∥B1C
∵A1B1∥AB∥CD,A1B1=AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,可得B1C∥A1D
∴EF∥A1D,
可得∠AEF(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.
∵△CDE中,DE=CD==A1E=,AE=AB=1
∴A1A=,由此可得BF=,AF=EF==,
∴cos∠AEF==,即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为
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(Ⅲ)取BE的中点F,以A为原点,AF所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,AA1=
则A(0,0,0),D(0,2,0),C(,,0),
A1(0,0,),
又,
设平面CA1D的法向量
则得,
同理可得平面A1DE的一个法向量为=()
设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ,且θ为锐角
则cosθ=|cos<>|===
所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为.
点评: 本题在直平行六面体中,求证面面垂直并求异面直线所成角余弦,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识,属于中档题.
21.(14分)已知函数.
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(1)当时,如果函数g(x)=f(x)﹣k仅有一个零点,求实数k的取值范围;
(2)当a=2时,试比较f(x)与1的大小;
(3)求证:(n∈N*).
考点: 不等式的证明;函数的零点;利用导数研究函数的极值.
专题: 数形结合;分类讨论;函数的性质及应用.
分析: (1)利用函数f(x)的导数求出它的单调区间和极值,由题意知 k大于f(x)的极大值,或 k小于f(x)的极小值.
(2)令h(x)=f(x)﹣1,由h′(x)>0得h(x)在(0,+∞)上是增函数,利用h(1)=0,分x>1、
0<x<1、当x=1三种情况进行讨论.
(3)根据(2)的结论,当x>1时,,令,有,可得 ,由 ,证得结论.
解答: 解:(1)当时,,定义域是(0,+∞),
求得,令f'(x)=0,得,或x=2.
∵当或x>2时,f'(x)>0; 当时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(0,]、(2,+∞)上单调递增,在上单调递减.
∴f(x)的极大值是 ,极小值是 .
∵当x趋于 0时,f(x)趋于﹣∞;当x趋于+∞时,f(x)趋于+∞,
由于当g(x)仅有一个零点时,函数f(x)的图象和直线y=k仅有一个交点,
k的取值范围是{k|k>3﹣ln2,或}.
(2)当a=2时,,定义域为(0,+∞).
令,∵,
∴h(x)在(0,+∞)上是增函数. ①当x>1时,h(x)>h(1)=0,即f(x)>1;
②当0<x<1时,h(x)<h(1)=0,即f(x)<1; ③当x=1时,h(x)=h(1)=0,即f(x)=1.
(3)证明:根据(2)的结论,当x>1时,,即.
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令,则有,∴.
∵,∴.
点评: 本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考查分类讨论思想和数形结合思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识,属于中档题.
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