佛山一中2015届高三数学上学期期中试卷(理科带解析)
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资料简介
佛山一中2015届高三数学上学期期中试卷(理科带解析)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为()‎ ‎ A. 2+i B. 2﹣i C. 5+i D. 5﹣i ‎2.(5分)已知几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()‎ ‎ A. B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎3.(5分)设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则m⊥β的一个充分条件是()‎ ‎ A. α⊥β,α∩β=l,m⊥l B. α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ ‎ C. α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D. n⊥α,n⊥β,m⊥α ‎4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()‎ ‎ A. 63 B. ‎45 ‎C. 36 D. 27‎ ‎5.(5分)设,则a,b,c的大小关系是()‎ ‎ A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a ‎6.(5分)设x,y∈R,向量=(x,1)=(1,y),=(2,﹣4)且⊥,∥,则x+y=()‎ ‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. ﹣2‎ ‎7.(5分)如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为()‎ - 22 -‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.(5分)对于下列命题:‎ ‎①命题“∃x0∈R,x02+1>3x‎0”‎的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;‎ ‎②在△ABC中“∠A>∠B”的 充要条件是“sinA>sinB”;‎ ‎③设a=sin,b=cos,c=tan,则c>a>b;‎ ‎④将函数y=2sin(3x+)图象的横坐标变为原来的3倍,再向左平移个单位,得到函数y=2sin(x+)图象.‎ 其中真命题的个数是()‎ ‎ A. 4 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分(一)必做题:(9-13)‎ ‎9.(5分)若0<α<,﹣<β<0,且sinβ=﹣,cos(α﹣β)=,则sinα=.‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则=.‎ ‎11.(5分)过点A(1,1)作曲线y=x2(x≥0)的切线,设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S,则S=.‎ - 22 -‎ ‎12.(5分)已知a>0,函数f(x)=,若f(t﹣)>﹣,则实数t的取值范围为.‎ ‎13.(5分)如图,多面体OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2,AC=BD=,且OA,OB,OC两两垂直,给出下列 5个结论:‎ ‎①三棱锥O﹣ABC的体积是定值;‎ ‎②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是;‎ ‎③直线OB∥平面ACD;‎ ‎④直线AD与OB所成角是60°;‎ ‎⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°.‎ 其中正确的结论是.‎ 三、选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)(坐标系与参数方程选做题)‎ ‎14.(5分)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρcos(θ﹣)=3的距离的最小值是.‎ 四、(几何证明选讲选做题)‎ ‎15.如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O于B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP•NP=.‎ 五、解答题(共80分)‎ ‎16.(12分)已知.‎ ‎(1)求f(x)的周期及其图象的对称中心;‎ - 22 -‎ ‎(2)△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,满足(‎2a﹣c)cosB=bcosC,求f(B)的值.‎ ‎17.(12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为,乙、丙面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.‎ ‎(Ⅰ)求至少有1人面试合格的概率;‎ ‎(Ⅱ)求签约人数ξ的分布列和数学期望.‎ ‎18.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,点D,E分别在棱PB,PC上,且BC∥平面ADE ‎(Ⅰ)求证:DE⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)当二面角A﹣DE﹣P为直二面角时,求多面体ABCED与PAED的体积比.‎ ‎19.(14分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎20.(14分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;‎ ‎(Ⅱ)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值.‎ - 22 -‎ ‎21.(14分)已知函数.‎ ‎(1)当时,如果函数g(x)=f(x)﹣k仅有一个零点,求实数k的取值范围;‎ ‎(2)当a=2时,试比较f(x)与1的大小;‎ ‎(3)求证:(n∈N*).‎ 广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为()‎ ‎ A. 2+i B. 2﹣i C. 5+i D. 5﹣i 考点: 复数的基本概念. ‎ 专题: 数系的扩充和复数.‎ 分析: 利用复数的运算法则求得z,即可求得z的共轭复数.‎ 解答: 解:∵(z﹣3)(2﹣i)=5,‎ ‎∴z﹣3==2+i ‎∴z=5+i,‎ ‎∴=5﹣i.‎ 故选D.‎ 点评: 本题考查复数的基本概念与基本运算,求得复数z是关键,属于基础题.‎ ‎2.(5分)已知几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()‎ ‎ A. B. ‎4 ‎C. D. ‎ - 22 -‎ 考点: 由三视图求面积、体积. ‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥,且可得底面棱长为2,侧面高为,由此求出底面面积和棱锥的高,代入棱锥体积公式,可得答案.‎ 解答: 解:由已知可得该几何体是一个底面棱长为2‎ 侧面高为的正四棱锥 则棱锥的高h==‎ ‎∴棱锥的高V=Sh=×2×2×=‎ 故选C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键.‎ ‎3.(5分)设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则m⊥β的一个充分条件是()‎ ‎ A. α⊥β,α∩β=l,m⊥l B. α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ ‎ C. α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D. n⊥α,n⊥β,m⊥α 考点: 直线与平面垂直的判定. ‎ 专题: 证明题;转化思想.‎ 分析: 根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确,根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项D正确.‎ 解答: 解:α⊥β,α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m⊂α,故不正确;‎ α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;‎ α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;‎ n⊥α,n⊥β,⇒α∥β,而m⊥α,则m⊥β,故正确 故选D 点评: 本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.‎ ‎4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()‎ ‎ A. 63 B. ‎45 ‎C. 36 D. 27‎ 考点: 等差数列的性质. ‎ 分析: 观察下标间的关系,知应用等差数列的性质求得.‎ 解答: 解:由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列,即9,27,S9﹣S6成等差,∴S9﹣S6=45‎ ‎∴a7+a8+a9=45‎ 故选B.‎ 点评: 本题考查等差数列的性质.‎ - 22 -‎ ‎5.(5分)设,则a,b,c的大小关系是()‎ ‎ A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a 考点: 幂函数图象及其与指数的关系. ‎ 分析: 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.‎ 解答: 解:∵在x>0时是增函数 ‎∴a>c 又∵在x>0时是减函数,所以c>b 故答案选A 点评: 本题主要考查幂函数与指数的关系.要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题.‎ ‎6.(5分)设x,y∈R,向量=(x,1)=(1,y),=(2,﹣4)且⊥,∥,则x+y=()‎ ‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. ﹣2‎ 考点: 平面向量的坐标运算. ‎ 专题: 平面向量及应用.‎ 分析: 利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出.‎ 解答: 解:∵⊥,∥,‎ ‎∴2x﹣4=0,2y+4=0,‎ 解得x=2,y=﹣2.‎ ‎∴x+y=0.‎ 故选:A.‎ 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理,属于基础题.‎ ‎7.(5分)如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为()‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 考点: 平面向量的基本定理及其意义. ‎ - 22 -‎ 专题: 计算题;作图题;平面向量及应用.‎ 分析: 以A为原点,AB,AD为坐标轴建立坐标系,设AB、AD为单位长度,从而可得,=(λ,λ﹣),=(λ﹣,λ),由由E、F、K三点共线可得λ•λ﹣(λ﹣)(λ﹣)=0,从而解得.‎ 解答: 解:以A为原点,AB,AD为坐标轴建立坐标系,‎ 设AB、AD为单位长度,‎ 则由题意可得,‎ A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(,0),F(0,),K(λ,λ),‎ 则=(λ,λ﹣),=(λ﹣,λ),‎ 则由E、F、K三点共线可得,‎ λ•λ﹣(λ﹣)(λ﹣)=0,‎ 即λ=,‎ 故λ=,‎ 故选A.‎ 点评: 本题考查了平面向量的基本定理应用,属于中档题.‎ ‎8.(5分)对于下列命题:‎ ‎①命题“∃x0∈R,x02+1>3x‎0”‎的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;‎ ‎②在△ABC中“∠A>∠B”的 充要条件是“sinA>sinB”;‎ ‎③设a=sin,b=cos,c=tan,则c>a>b;‎ ‎④将函数y=2sin(3x+)图象的横坐标变为原来的3倍,再向左平移个单位,得到函数y=2sin(x+)图象.‎ 其中真命题的个数是()‎ ‎ A. 4 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ 考点: 命题的真假判断与应用. ‎ 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形;简易逻辑.‎ 分析: ①,写出命题“∃x0∈R,x02+1>3x‎0”‎的否定再判断其正误即可;‎ - 22 -‎ ‎②,在△ABC中,利用大角对大边及正弦定理可判断②的正误;‎ ‎③,利用诱导公式及特殊角的三角函数值可判断设a=sin,b=cos,c=tan的大小;‎ ‎④,利用三角函数间的图象变换可判断④的正误.‎ 解答: 解:对于①,命题“∃x0∈R,x02+1>3x‎0”‎的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,故①正确;‎ 对于②,在△ABC中,由大角对大边及正弦定理可知,∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB,‎ 即△ABC中“∠A>∠B”的 充要条件是“sinA>sinB”,故②正确;‎ 对于③,因为a=sin=sin(335×2π+)=﹣,b=cos=cos=﹣,c=tan=,则c>b>a,故③错误;‎ 对于④,将函数y=2sin(3x+)图象的横坐标变为原来的3倍,得到y=2sin(x+)的图象,‎ 再向左平移个单位,得到函数y=2sin[(x+)+]=2sin(x+)图象,故④正确.‎ 综上所述,其中真命题的个数是3个,‎ 故选:D.‎ 点评: 本题考查命题的真假判断及其应用,综合考查命题及其否定、充分必要条件的概念及应用,考查诱导公式及特殊角的三角函数值、三角函数间的图象变换等基本知识.‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分(一)必做题:(9-13)‎ ‎9.(5分)若0<α<,﹣<β<0,且sinβ=﹣,cos(α﹣β)=,则sinα=.‎ 考点: 两角和与差的正弦函数. ‎ 专题: 计算题;三角函数的求值.‎ 分析: 利用同角三角函数平方关系,求出cosβ、sin(α﹣β),再利用角的变换,即可得出结论.‎ 解答: 解:∵sinβ=﹣,﹣<β<0,‎ ‎∴cosβ=,‎ ‎∵0<α<,﹣<β<0,‎ ‎∴0<α﹣β<π,‎ ‎∵cos(α﹣β)=,‎ ‎∴sin(α﹣β)=,‎ - 22 -‎ ‎∴sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ==.‎ 故答案为:.‎ 点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,考查同角三角函数平方关系、角的变换,正确运用sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ是关键.‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则=0.‎ 考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. ‎ 专题: 压轴题.‎ 分析: 先根据图象可得到周期T进而可知ω的值,确定函数f(x)的解析式后将x=代入即可得到答案.‎ 解答: 解:根据图象可知,所以T=π,‎ 因为,所以ω=3,‎ 当x=时,f()=0,即,可得,‎ 所以.‎ 故答案为:0.‎ 点评: 本题主要考查已知三角函数的部分图象求函数解析式的问题.属基础题.‎ ‎11.(5分)过点A(1,1)作曲线y=x2(x≥0)的切线,设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S,则S=.‎ 考点: 定积分在求面积中的应用. ‎ 专题: 导数的综合应用.‎ - 22 -‎ 分析: 首先根据导数的几何意义求出切线的斜率,写出直线方程,利用定积分的几何意义求S.‎ 解答: 解:因为点A的坐标为(1,1),过点A的切线的斜率为k=y'|x=1=2,‎ 故过点A的切线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即y=2x﹣1,令y=0,得x=,‎ 则S==;‎ 故答案为:.‎ 点评: 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分的应用、直线的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎12.(5分)已知a>0,函数f(x)=,若f(t﹣)>﹣,则实数t的取值范围为(0,+∞).‎ 考点: 分段函数的应用. ‎ 专题: 函数的性质及应用.‎ 分析: 根据分段函数的表达式判断函数的单调性,根据函数的单调性将不等式进行转化即可得到结论.‎ 解答: 解:当x∈[﹣1,0)时,函数f(x)=sin单调递增,且f(x)∈[﹣1,0),‎ 当x∈[0,+∞)时,函数f(x)=ax2+ax+1的对称轴为x=﹣,此时函数f(x)单调递增且f(x)≥1,‎ 综上当x∈[﹣1,+∞)时,函数单调递增,‎ 由f(x)=sin=得=,解得x=,‎ 则不等式f(t﹣)>﹣,等价为f(t﹣)>f(﹣),‎ ‎∵函数f(x)是增函数,‎ ‎∴t﹣>﹣,‎ 即t>0,‎ 故答案为:(0,+∞)‎ - 22 -‎ 点评: 本题主要考查不等式的求解,根据条件判断分段函数的单调性是解决本题的关键.‎ ‎13.(5分)如图,多面体OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2,AC=BD=,且OA,OB,OC两两垂直,给出下列 5个结论:‎ ‎①三棱锥O﹣ABC的体积是定值;‎ ‎②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是;‎ ‎③直线OB∥平面ACD;‎ ‎④直线AD与OB所成角是60°;‎ ‎⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°.‎ 其中正确的结论是①②④.‎ 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. ‎ 专题: 空间位置关系与距离.‎ 分析: 由题意,只要构造长方体,设OA=x,OB=y,OC=z,则x2+y2=4,x2+z2=10,y2+z2=12,解得,x=1,y=,z=3,运用棱锥的体积公式,即可判断①;运用异面直线所成角的定义,即可判断②;球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长,即可判断③;由于OB∥AE,AE和平面ACD相交,即可判断④.‎ 解答: 解:由题意,构造长方体,如右图,设OA=x,OB=y,OC=z,‎ 则x2+y2=4,x2+z2=10,y2+z2=12,解得,x=1,y=,z=3,‎ 对于①,三棱锥O﹣ABC的体积为OC×OA×OB=,故①对;‎ 对于②,球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长,‎ 即为,故②对;‎ 对于③,由于OB∥AE,AE和平面ACD相交,则OB和平面ACD相交,故③错.‎ 对于④,由于OB∥AE,则∠DAE即为直线AD与OB所成的角,‎ - 22 -‎ 由tan∠DAE=,则∠DAE=60°,故④对;‎ ‎⑤因为AO⊥OC,DC⊥OC,所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A﹣OC﹣D的二面角大小,连接OE,则角AOE为所求,tan∠AOE=,所以∠AOE=60°;⑤错误;‎ 故答案为:①②④‎ 点评: 本题考查线面的位置关系的判断,空间异面直线所成的角,以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系,考查运算能力,属于中档题和易错题.‎ 三、选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)(坐标系与参数方程选做题)‎ ‎14.(5分)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρcos(θ﹣)=3的距离的最小值是1.‎ 考点: 简单曲线的极坐标方程. ‎ 专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程.‎ 分析: 运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,化极坐标方程为直角坐标方程,再由圆心到直线的距离公式,结合d﹣r为最小,即可得到.‎ 解答: 解:圆ρ=2化为直角坐标方程均为x2+y2=4,‎ 直线ρcos(θ﹣)=3即为ρcosθ+ρsinθ=3,‎ 即有x+y﹣6=0,‎ 则圆心到直线的距离d==3,‎ 则圆上的点到直线的距离的最小值为d﹣r=3﹣2=1.‎ 故答案为:1.‎ 点评: 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查直线和圆的关系,考查点到直线的距离公式,属于中档题.‎ 四、(几何证明选讲选做题)‎ ‎15.如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O于B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP•NP=.‎ - 22 -‎ 考点: 与圆有关的比例线段. ‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 由已知中,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O于B,我们由切割线定理,结合已知中AC=4,AB=6,我们易求出AD的长,进而求出弦CD的长,又由弦MN过CD的中点P,由相交弦定理我们易求出MP•NP.‎ 解答: 解:∵AB为⊙O的切线,ACD为⊙O的割线 由切割线定理可得:AB2=AC•AD 由AC=4,AB=6,故AD=9‎ 故CD=5‎ 又∵P是弦CD的中点 故PC=PD=‎ 由相交弦定理得MP•NP=PC•PD=‎ 故答案为:‎ 点评: 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段,分析已知线段与未求线段与圆的关系,以选择恰当的定理是解答此题的关键.‎ 五、解答题(共80分)‎ ‎16.(12分)已知.‎ ‎(1)求f(x)的周期及其图象的对称中心;‎ ‎(2)△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,满足(‎2a﹣c)cosB=bcosC,求f(B)的值.‎ 考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦定理. ‎ 专题: 三角函数的图像与性质.‎ 分析: (1)利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f(x)的解析式为sin(+)+1,由此可得f(x)的周期及其图象的对称中心.‎ ‎(2)△ABC中,由(‎2a﹣c)cosB=bcosC,利用正弦定理化简可得得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,故有cosB=,由此求得 B 的值.‎ - 22 -‎ 解答: 解:(1)∵已知=sin+cos+1=sin(+)+1,‎ 故f(x)的周期为 =4π.‎ 由sin(+)=0 求得 +=kπ,k∈z,即 x=2kπ﹣,故函数的图象的对称中心为(2kπ﹣,0).‎ ‎(2)△ABC中,∵(‎2a﹣c)cosB=bcosC,由正弦定理可得 (2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,‎ 化简可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=,∴B=.‎ ‎∴f(B)=sin(+)+1=+1.‎ 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,三角函数的周期性及求法,正弦函数的对称中心、正弦定理,属于中档题.‎ ‎17.(12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为,乙、丙面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.‎ ‎(Ⅰ)求至少有1人面试合格的概率;‎ ‎(Ⅱ)求签约人数ξ的分布列和数学期望.‎ 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件与对立事件;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列. ‎ 专题: 计算题.‎ 分析: (Ⅰ)用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,且.由至少有1人面试合格的概率是1﹣P(),能求出至少有1人面试合格的概率.(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3.分别求了P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2)和P(ξ=3),由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ.‎ 解答: 解:(Ⅰ)用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.‎ 由题意知A,B,C相互独立,‎ 且.‎ 至少有1人面试合格的概率是:‎ ‎1﹣P()‎ ‎=1﹣‎ ‎=1﹣‎ - 22 -‎ ‎=.‎ ‎(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ=0)=P()+P()+P()‎ ‎=++‎ ‎=++‎ ‎=.‎ P(ξ=1)=P(AC)+P()+‎ ‎=+‎ ‎=,‎ P(ξ=2)=P(BC)==,‎ P(ξ=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)==.‎ ‎∴ξ的分布列是 ‎ ‎ ξ 0 1 2 3‎ ‎ P(ξ) ‎ 故ξ的期望Eξ==.‎ 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查学生的运算能力,考查学生探究研究问题的能力,解题时要认真审题,理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,体现了化归的重要思想.‎ ‎18.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,点D,E分别在棱PB,PC上,且BC∥平面ADE ‎(Ⅰ)求证:DE⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)当二面角A﹣DE﹣P为直二面角时,求多面体ABCED与PAED的体积比.‎ - 22 -‎ 考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. ‎ 专题: 计算题.‎ 分析: (I)欲证DE⊥平面PAC,观察本题的条件,BC⊥平面PAC易证,而BC∥平面ADE结合DE=平面PBC∩平面ADE,可证得BC∥ED,由此证法思路已明.‎ ‎(Ⅱ)由(I),结合二面角A﹣DE﹣P为直二面角,可证得AE⊥面PBC,即得AE⊥PC,再由,∠BCA=90°,AP=AC可得出E是中点,由于求多面体ABCED与PAED的体积比可以转化为求面BCED与面PAED的比,问题得解.‎ 解答: 解:(Ⅰ)∵BC∥平面ADE,BC⊂平面PBC,‎ 平面PBC∩平面ADE=DE ‎∴BC∥ED(2分)‎ ‎∵PA⊥底面ABC,BC⊂底面ABC∴PA⊥BC.(3分)‎ 又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.‎ ‎∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(5分)‎ ‎∴DE⊥平面PAC.(6分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DE⊥平面PAC,‎ 又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,‎ ‎∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角,(8分)‎ ‎∴∠AEP=90°,即AE⊥PC,(9分)‎ ‎∵AP=AC,∴E是PC的中点,ED是△PBC的中位线.(10分)‎ ‎∴(12分)‎ 点评: 本题考查利用线面垂直的条件证明线面垂直以及求棱锥的体积比,本题中两个问题的证明都转化为了另外问题的证明,体现了做题的灵活性.‎ - 22 -‎ ‎19.(14分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 考点: 数列与函数的综合;数列的求和. ‎ 专题: 等差数列与等比数列.‎ 分析: (1)由“对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上”可得到Sn=bn+r,依次求出a1、a2、a3,由等比数列的性质(a2)2=a1×a3,解可得答案.‎ ‎(2)结合(1)可知an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,从而bn=,符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式,用错位相减法求解即可.‎ 解答: 解:(1)因为对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ 所以得Sn=bn+r,‎ 当n=1时,a1=S1=b+r,‎ a2=S2﹣S1=b2+r﹣(b1+r)=b2﹣b1=(b﹣1)b,‎ a3=S3﹣S2=b3+r﹣(b2+r)=b3﹣b2=(b﹣1)b2,‎ 又因为{an}为等比数列,所以(a2)2=a1×a3,则[(b﹣1)b]2=(b﹣1)b2×(b+r)‎ 解可得r=﹣1,‎ ‎(2)当b=2时,an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,bn=‎ 则Tn=‎ Tn=‎ 相减,得Tn=‎ ‎+=‎ 所以Tn=‎ 点评: 本题主要考查数列与函数的综合运用,主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系,错位相减法求和等问题,属中档题,是常考类型.‎ ‎20.(14分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;‎ ‎(Ⅱ)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值.‎ - 22 -‎ 考点: 用空间向量求平面间的夹角;异面直线及其所成的角;二面角的平面角及求法. ‎ 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角.‎ 分析: (1)根据题意,得△ABE是正三角形,∠AEB=60°,等腰△CDE中∠CED=(180°﹣∠ECD)=30°,所以∠AED=90°,得到DE⊥AE,结合DE⊥AA1,得DE⊥平面A1AE,从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE.‎ ‎(2)取BB1的中点F,连接EF、AF,连接B‎1C.证出EF∥A1D,可得∠AEF(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.利用勾股定理和三角形中位线定理,算出△AEF各边的长,再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值.‎ ‎(3)建立的空间直角坐标系中,求得平面A1DE的一个法向量,平面CA1D的法向量,利用向量数量积求解夹角余弦值,则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值.‎ 解答: 解:(1)依题意,BE=EC=BC=AB=CD,‎ ‎∴△ABE是正三角形,∠AEB=60°,‎ 又∵△CDE中,∠CED=∠CDE=(180°﹣∠ECD)=30°‎ ‎∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°,即DE⊥AE,‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD,DE⊆平面ABCD,∴DE⊥AA1,‎ ‎∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面A1AE,‎ ‎∵DE⊆平面A1DE,∴平面A1AE⊥平面A1DE.‎ ‎(2)取BB1的中点F,连接EF、AF,连接B‎1C,‎ ‎∵△BB‎1C中,EF是中位线,∴EF∥B‎1C ‎∵A1B1∥AB∥CD,A1B1=AB=CD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,可得B‎1C∥A1D ‎∴EF∥A1D,‎ 可得∠AEF(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.‎ ‎∵△CDE中,DE=CD==A1E=,AE=AB=1‎ ‎∴A‎1A=,由此可得BF=,AF=EF==,‎ ‎∴cos∠AEF==,即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为 - 22 -‎ ‎(Ⅲ)取BE的中点F,以A为原点,AF所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,AA1=‎ 则A(0,0,0),D(0,2,0),C(,,0),‎ A1(0,0,),‎ 又,‎ 设平面CA1D的法向量 则得,‎ 同理可得平面A1DE的一个法向量为=()‎ 设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ,且θ为锐角 则cosθ=|cos<>|===‎ 所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为.‎ 点评: 本题在直平行六面体中,求证面面垂直并求异面直线所成角余弦,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识,属于中档题.‎ ‎21.(14分)已知函数.‎ - 22 -‎ ‎(1)当时,如果函数g(x)=f(x)﹣k仅有一个零点,求实数k的取值范围;‎ ‎(2)当a=2时,试比较f(x)与1的大小;‎ ‎(3)求证:(n∈N*).‎ 考点: 不等式的证明;函数的零点;利用导数研究函数的极值. ‎ 专题: 数形结合;分类讨论;函数的性质及应用.‎ 分析: (1)利用函数f(x)的导数求出它的单调区间和极值,由题意知 k大于f(x)的极大值,或 k小于f(x)的极小值.‎ ‎(2)令h(x)=f(x)﹣1,由h′(x)>0得h(x)在(0,+∞)上是增函数,利用h(1)=0,分x>1、‎ ‎0<x<1、当x=1三种情况进行讨论.‎ ‎(3)根据(2)的结论,当x>1时,,令,有,可得 ,由 ,证得结论.‎ 解答: 解:(1)当时,,定义域是(0,+∞),‎ ‎ 求得,令f'(x)=0,得,或x=2.‎ ‎∵当或x>2时,f'(x)>0; 当时,f'(x)<0,‎ ‎∴函数f(x)在(0,]、(2,+∞)上单调递增,在上单调递减.‎ ‎∴f(x)的极大值是 ,极小值是 .‎ ‎∵当x趋于 0时,f(x)趋于﹣∞;当x趋于+∞时,f(x)趋于+∞,‎ 由于当g(x)仅有一个零点时,函数f(x)的图象和直线y=k仅有一个交点,‎ k的取值范围是{k|k>3﹣ln2,或}.‎ ‎(2)当a=2时,,定义域为(0,+∞).‎ 令,∵,‎ ‎∴h(x)在(0,+∞)上是增函数. ①当x>1时,h(x)>h(1)=0,即f(x)>1;‎ ‎②当0<x<1时,h(x)<h(1)=0,即f(x)<1; ③当x=1时,h(x)=h(1)=0,即f(x)=1.‎ ‎(3)证明:根据(2)的结论,当x>1时,,即.‎ - 22 -‎ 令,则有,∴. ‎ ‎∵,∴.‎ 点评: 本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考查分类讨论思想和数形结合思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识,属于中档题.‎ - 22 -‎

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