汕头市2015届高三数学第一学期期中试卷(理科附解析)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知M={x|﹣2≤x≤4,x∈Z},N={x|﹣1<x<3},则M∩N=()
A. (﹣1,3) B. [﹣2,1) C. {0,1,2} D. {﹣2,﹣1,0}
2.(5分)函数f(x)=的定义域是()
A. (1,2) B. [1,2) C. (﹣∞,1)∪(2,+∞) D. (1,2]
3.(5分)函数的零点所在的区间是()
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,10)
4.(5分)函数f(x)=sin,x∈[﹣1,1],则()
A. f(x)为偶函数,且在[0,1]上单调递减
B. f(x)为偶函数,且在[0,1]上单调递增
C. f(x)为奇函数,且在[﹣1,0]上单调递增
D. f(x)为奇函数,且在[﹣1,0]上单调递减
5.(5分)若平面,满足|+|=1,+平行于y轴,=(2,﹣1),则=()
A. (﹣1,1) B. (﹣2,2) C. (﹣1,1)或(﹣3,1) D. (﹣2,2)或(﹣2,0)
6.(5分)平面向量、的夹角为60°,=(2,0),||=1,则|+|=()
A. B. C. 3 D. 7
7.(5分)在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若(m,n∈R),则的值为()
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
8.(5分)已知函数f(x)=x2+lnx,∃x0∈[1,e],使不等式f(x)≤m,则实数m的取值范围()
A. m≥1+ B. m C. m≥1 D. m≥1+e
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二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答
9.(5分)定积分=.
10.(5分)已知向量,满足,(﹣)⊥,向量与的夹角为.
11.(5分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(,),则log4f(2)=.
12.(5分)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.
13.(5分)如图是用二分法求方程x2﹣2=0近似解的程序框图,若输入x1=1,x2=2,ɛ=0.3,则输出的m是.(注:框图中的“=”,即为“←”或为“:=”)
三、填空题(共2小题,每小题3分,满分6分)
14.(3分)在极坐标系中,设曲线C1:ρ=2sinθ,C2:ρ=2cosθ分别相较于A、B两点,则线段AB直平分线的极坐标方程为.
15.(3分)(几何证明选讲)如图,圆O的直径AB=9,直线CE与圆O相切于点C,AD⊥CE于D,若AD=1,设∠ABC=θ,则sinθ=.
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三、解答题:本大题6小题,满分79分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(12分)已知函数f(x)=sinx+cos(x﹣),求函数f(x)的单调递减区间.
17.(11分)已知向量=(﹣3,2),=(2,1),=(3,﹣1),t∈R.
(1)求||的最小值及相应的t值;
(2)若与共线,求实数t.
18.(14分)已知函数f(x)=2sin2(+x)﹣
(Ⅰ)求f(x)的周期;
(Ⅱ)若x∈[,],求f(x)的最大值和最小值;
(Ⅲ)若f(+)=,a∈(0,),求sina的值.
19.(14分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角P﹣BD﹣A的大小.
20.(14分)已知函数f(x)=lnx﹣ax2﹣(1﹣2a)x(a>0)
(1)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(,2)上的零点的个数(e自然对数的底数).
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21.(14分)已知函数f(x)=ex,x∈R.
(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图象相切,求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.
(Ⅲ) 设a<b,比较与的大小,并说明理由.
广东省汕头市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知M={x|﹣2≤x≤4,x∈Z},N={x|﹣1<x<3},则M∩N=()
A. (﹣1,3) B. [﹣2,1) C. {0,1,2} D. {﹣2,﹣1,0}
考点: 交集及其运算.
专题: 计算题.
分析: 由列举法写出集合M,然后直接取符合集合N的元素构成集合即可.
解答: 解:由M={x|﹣2≤x≤4,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4},N={x|﹣1<x<3},
所以M∩N={0,1,2}.
故选C.
点评: 本题考查了交集及其运算,是基础的会考题型.
2.(5分)函数f(x)=的定义域是()
A. (1,2) B. [1,2) C. (﹣∞,1)∪(2,+∞) D. (1,2]
考点: 函数的定义域及其求法.
分析: 根据函数的解析式可得 ,解得x的范围,从而求得函数的定义域.
解答: 解:∵函数f(x)=,∴,解得 1<x<2,故函数的定义域为 (1,2),
故选A.
点评: 本题主要考查求函数的定义域的方法,属于基础题.
3.(5分)函数的零点所在的区间是()
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,10)
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考点: 函数的零点与方程根的关系.
专题: 计算题.
分析: 本题考查的知识点是函数零点,要想判断函数零点所在的区间,我们可以将四个答案中的区间一一代入进行判断,看是否满足f(a)•f(b)<0,
解答: 解:∵f(2)=<0
f(3)=>0
∴f(2)•f(3)<0
∴f(x)的零点点所在的区间是(2,3)
故选C
点评: 连续函数f(x)在区间(a,b)上,如果f(a)•f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)必然存在零点.
4.(5分)函数f(x)=sin,x∈[﹣1,1],则()
A. f(x)为偶函数,且在[0,1]上单调递减
B. f(x)为偶函数,且在[0,1]上单调递增
C. f(x)为奇函数,且在[﹣1,0]上单调递增
D. f(x)为奇函数,且在[﹣1,0]上单调递减
考点: 复合三角函数的单调性;正弦函数的奇偶性.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 利用诱导公式化简函数f(x)的解析式为cosπx,故函数为偶函数.再由当x∈[0,1]时,可得函数y=cosπx 是减函数,从而得出结论.
解答: 解:∵函数f(x)=sin=cosπx,故函数为偶函数,故排除C、D.
当x∈[0,1]时,πx∈[0,π],函数y=cosπx 是减函数,
故选A.
点评: 本题主要考查诱导公式、余弦函数的奇偶性和单调性,属于中档题.
5.(5分)若平面,满足|+|=1,+平行于y轴,=(2,﹣1),则=()
A. (﹣1,1) B. (﹣2,2) C. (﹣1,1)或(﹣3,1) D. (﹣2,2)或(﹣2,0)
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 设出向量的坐标,由题意,得到坐标的方程解之即可.
解答: 解:设则=(x,y),因为平面,满足|+|=1,+平行于y轴,=(2,﹣1),
所以+=(x+2,y﹣1),所以(x+2)2+(y﹣1)2=1,并且x+2=0,
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所以x=﹣2,y=2或者0;
所以=(﹣2,0)或(﹣2,2);
故选D.
点评: 本题考查了向量的坐标运算以及向量平行的性质,属于基础题.
6.(5分)平面向量、的夹角为60°,=(2,0),||=1,则|+|=()
A. B. C. 3 D. 7
考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
专题: 计算题.
分析: 根据题意,由的坐标,可得||,进而可得•的值,利用公式|+|2=2+2•+2,计算出|+|2,开方可得答案.
解答: 解:根据题意,=(2,0),则||=2,
又由||=1且、夹角为60°,则•=2×1×cos60°=1,
|+|2=2+2•+2=4+2+1=7;
则|+|=;
故选B.
点评: 本题考查数量积的运用,注意先根据的坐标,求出的模.
7.(5分)在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若(m,n∈R),则的值为()
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
考点: 向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 利用三角形的相似,可得,再利用向量的加法运算,即可得到结论.
解答: 解:因为AD∥BC,所以△AEF∽△CBF,
因为点E是AD的中点,所以.
所以
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∵=
∴
∵
∴m=,n=﹣,
∴=﹣2.
故选B.
点评: 本题考查向量的加法运算,考查三角形相似知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
8.(5分)已知函数f(x)=x2+lnx,∃x0∈[1,e],使不等式f(x)≤m,则实数m的取值范围()
A. m≥1+ B. m C. m≥1 D. m≥1+e
考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 易知x2,lnx在[1,e]上都是增函数,从而可得f(x)=x2+lnx在[1,e]上是增函数,从而求出函数f(x)的取值范围,从而由题意求实数m的取值范围.
解答: 解:∵x2,lnx在[1,e]上都是增函数,
∴f(x)=x2+lnx在[1,e]上是增函数,
∴≤f(x)≤,
则∃x0∈[1,e],使不等式f(x)≤m可化为
≤m,
即m.
故选B.
点评: 本题考查了函数的单调性的判断与应用,同时考查了存在性问题的处理方法,属于中档题.
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二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答
9.(5分)定积分=e2.
考点: 定积分.
专题: 计算题.
分析: 求出被积函数的原函数,将积分的上限、下限代入求值即可.
解答: 解:=(lnx+x2)|1e
=lne+e2﹣(ln1+12)
=e2故答案为:e2.
点评: 本题考查利用微积分基本定理求积分值、考查定积分的公式,属于基础题.
10.(5分)已知向量,满足,(﹣)⊥,向量与的夹角为.
考点: 数量积表示两个向量的夹角.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由题意可得 ()•=﹣=0,再利用两个向量的数量积的定义求得 cos<>的值,即可求得向量与的夹角.
解答: 解:由题意可得 ()•=﹣=0,即 1﹣1××cos<>=0,
解得 cos<>=.
再由<>∈[0,π],可得<>=,
故答案为 .
点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,根据三角函数的值求角,属于中档题.
11.(5分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(,),则log4f(2)=.
考点: 幂函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 设幂函数f(x)=xα,把点(,)代入可得,解得α,可得f(x).再利用对数的运算性质即可得出.
解答: 解:设幂函数f(x)=xα,
把点(,)代入可得,解得α=.
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∴f(x)=.
∴f(x)=.
∴log4f(2)==.
故答案为:.
点评: 本题考查了幂函数的定义、对数的运算性质,属于基础题.
12.(5分)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=2.
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题: 计算题.
分析: 根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数,从而求出切线的斜率,再根据两直线垂直建立等式关系,解之即可.
解答: 解:∵y=eax∴y′=aeax
∴曲线y=eax在点(0,1)处的切线方程是y﹣1=a(x﹣0),即ax﹣y+1=0
∵直线ax﹣y+1=0与直线x+2y+1=0垂直
∴﹣a=﹣1,即a=2.
故答案为:2
点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两直线垂直的应用等有关问题,属于基础题.
13.(5分)如图是用二分法求方程x2﹣2=0近似解的程序框图,若输入x1=1,x2=2,ɛ=0.3,则输出的m是1.25.(注:框图中的“=”,即为“←”或为“:=”)
考点: 程序框图.
专题: 图表型.
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分析: 按照用二分法求函数零点近似值得步骤求解即可.注意验证精确度的要求.
解答: 解:令f(x)=x2﹣2,
则f(1)=﹣1<0,f(2)=2>0,取m=1.5,f(1.5)=0.25>0,此时|1.5﹣1|=0.5>0.3,不合精确度要求.
再取m=1.25,f(1.25)=﹣0.4375<0.此时|1.25﹣1.5|=0.25<0.3,符合精确度要求.
则输出的m是 1.25.
故答案可为:1.25.
点评: 本题主要考查用二分法求区间根的问题,属于基础题型.二分法是把函数的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而求零点近似值的方法.
三、填空题(共2小题,每小题3分,满分6分)
14.(3分)在极坐标系中,设曲线C1:ρ=2sinθ,C2:ρ=2cosθ分别相较于A、B两点,则线段AB直平分线的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1.
考点: 简单曲线的极坐标方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: 把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标,求出线段AB的垂直平分线的方程,再化为直角坐标方程即可.
解答: 解:曲线C1:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,∴x2+y2=2y.
C2:ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x.
联立,解得,.
∴A(0,0),B(1,1).
线段AB的中点为M.
∵kAB=1,∴线段AB直平分线的斜率k=﹣1.
∴线段AB直平分线的直角坐标方程为:,
化为x+y=1.
∴线段AB直平分线的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1.
故答案为:ρcosθ+ρsinθ=1.
点评: 本题考查了曲线的极坐标与直角坐标方程的互化、线段的垂直平分线的方程的求法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
15.(3分)(几何证明选讲)如图,圆O的直径AB=9,直线CE与圆O相切于点C,AD⊥CE于D,若AD=1,设∠ABC=θ,则sinθ=.
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考点: 与圆有关的比例线段.
专题: 直线与圆.
分析: 利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出.
解答: 解:∵直线CE与圆O相切于点C,∴∠ACD=∠ABC.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB=90°.
∴△ACD∽△ABC,∴,∴AC2=AB•AD=9×1=9,解得AC=3.
∴.
故答案为.
点评: 熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键.
三、解答题:本大题6小题,满分79分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(12分)已知函数f(x)=sinx+cos(x﹣),求函数f(x)的单调递减区间.
考点: 三角函数中的恒等变换应用.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 首先通过恒等变换不函数变形成正弦型函数,进一步求出单调区间.
解答: 解:(1)已知:f(x)=sinx+cos(x﹣)=sinx+= …(1分)
令:(k∈Z)
解得:(k∈Z)
所以:函数的单调递减区间为:[](k∈Z)
点评: 本题考查的知识点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的单调区间的求法.
17.(11分)已知向量=(﹣3,2),=(2,1),=(3,﹣1),t∈R.
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(1)求||的最小值及相应的t值;
(2)若与共线,求实数t.
考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量共线(平行)的坐标表示.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: (1)利用求模公式表示出||,根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值;
(2)利用向量共线定理可得关于t的方程,解出即得t值;
解答: 解:(1)∵=(﹣3,2),=(2,1),=(3,﹣1),
∴+t=(﹣3,2)+t(2,1)=(﹣3+2t,2+t),
∴|+t|==
=≥=(当且仅当t=时等号成立).
(2)∵=(﹣3,2)﹣t(2,1)=(﹣3﹣2t,2﹣t),
又与共线,
∴(﹣3﹣2t)×(﹣1)=3×(2﹣t),解得t=.
点评: 本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识,属基础题.
18.(14分)已知函数f(x)=2sin2(+x)﹣
(Ⅰ)求f(x)的周期;
(Ⅱ)若x∈[,],求f(x)的最大值和最小值;
(Ⅲ)若f(+)=,a∈(0,),求sina的值.
考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.
专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析: (Ⅰ)化简可得f(x)=1+2sin(2x﹣),从而可求f(x)的周期;
(Ⅱ)若x∈[,],则可确定2x﹣的取值范围,从而可求f(x)的最大值和最小值;
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(Ⅲ)由已知可求出sin()=,从而可求cos(),故可求sinα=sin[()+]的值.
解答: 解:(Ⅰ)f(x)=2sin2(+x)﹣=[1﹣cos(+2x)]﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin(2x﹣)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
∴f(x)的周期T==π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
(Ⅱ)∵x∈[,],∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)
∴2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)
∴f(x)max=3,f(x)min=2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
(Ⅲ)∵f(+)=1+2sin()=1+2sin()=∴sin()=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
∵a∈(0,),所以,(未说明角的范围扣1分)∴cos()=﹣﹣﹣(12分)
∴sinα=sin[()+]==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14分)
点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,属于基础题.
19.(14分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角P﹣BD﹣A的大小.
考点: 用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定.
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专题: 综合题.
分析: 解法一:(I)由已知中底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=90°,且PA⊥平面ABCD,我们结合线面垂直的性质及勾股定理,可以得到BD与平面PAC中两个相交直线PA,AC均垂直,进而根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)连接PE,可得∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角,解三角形AEP即可得到二面角P﹣BD﹣A的大小.
解法二:(I)以A为坐标原点,建立空间坐标系,根据向量垂直,数量积为零,判断出BD⊥AP,BD⊥AC,再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)分别求出平面PBD与平面ABD的一个法向量,代入向量夹角公式,即可得到二面角P﹣BD﹣A的大小.
解答: 解法一:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD.∴BD⊥PA.
又,.∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.
又PA∩AC=A.∴BD⊥平面PAC.
…..(6分)
(Ⅱ)连接PE.∵BD⊥平面PAC.∴BD⊥PE,BD⊥AE.∴∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角.
在Rt△AEB中,,
∴,∴∠AEP=60°,∴二面角P﹣BD﹣A的大小为60°. …..(12分)
解法二:(Ⅰ)如图,建立坐标系,
则A(0,0,0),,,D(0,2,0),P(0,0,3),
∴,,,∴.
∴BD⊥AP,BD⊥AC,
又PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC.
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(Ⅱ)设平面ABD的法向量为m=(0,0,1),
设平面PBD的法向量为n=(x,y,1),
则n,n∴解得∴.
∴cos<m,n>==.∴二面角P﹣BD﹣A的大小为60°.
点评: 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,(I)的关键是熟练掌握空间中直线与平面垂直的判定定理,(II)的关键法一是得到∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角,法二是求出平面PBD与平面ABD的一个法向量.
20.(14分)已知函数f(x)=lnx﹣ax2﹣(1﹣2a)x(a>0)
(1)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(,2)上的零点的个数(e自然对数的底数).
考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题: 导数的综合应用.
分析: (1)先求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值;(2)通过讨论a的范围,从而得出函数的零点的个数.
解答: 解:(1)∵函数f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=﹣,
∵x>0,a>0,∴2ax+1>0,
∴0<x<1时,f′(x)>0,x>1时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
∴x=1时,f(x)最大值=f(1)=a﹣1;
(2)由(1)得,x=1时,f(x)的最大值是a﹣1,
①0<a<1时,f(1)<0,函数f(x)与x轴没有交点,故函数f(x)没有零点,
②a=1时,f(1)=0,若x≠1,则f(x)<f(1),即f(x)<0,且x=1∈(,2),
此时,函数f(x)与x轴只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点,
③a>1时,f(1)>0,又f=﹣a﹣<0,f(2)=ln2﹣2<0,
函数f(x)与x轴有2个交点,故函数f(x)有2个零点,
综上:0<a<1时,f(x)没有零点,a=1时,f(x)有1个零点,a>1时,f(x)有2个零点.
点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查了函数的零点问题,考查了导数的应用,是一道中档题.
21.(14分)已知函数f(x)=ex,x∈R.
(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图象相切,求实数k的值;
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(Ⅱ) 设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.
(Ⅲ) 设a<b,比较与的大小,并说明理由.
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;反函数;根的存在性及根的个数判断;不等关系与不等式.
专题: 压轴题;导数的综合应用.
分析: (I)先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可;
(II)由f(x)=mx2,令h(x)=,利用导数研究函数h(x)的单调性即可得出;
(III)利用作差法得 ===,令g(x)=x+2+(x﹣2)ex(x>0),利用导数研究其单调性即可证明.
解答: 解:(I)函数f(x)=ex的反函数为g(x)=lnx,∴.
设直线y=kx+1与g(x)的图象相切于点P(x0,y0),则,解得,k=e﹣2,
∴k=e﹣2.
(II)当x>0,m>0时,令f(x)=mx2,化为m=,
令h(x)=,则,
则x∈(0,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
∴当x=2时,h(x)取得极小值即最小值,.
∴当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数为0;
当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数为1;
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当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点个数为2.
(Ⅲ) =
=
=,
令g(x)=x+2+(x﹣2)ex(x>0),则g′(x)=1+(x﹣1)ex.
g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上单调递增,且g′(0)=0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,有g(x)>g(0)=0.
∵当x>0时,g(x)=x+2+(x﹣2)•ex>0,且a<b,
∴,
即当a<b时,.
点评: 本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识,考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法,考查了推理能力和计算能力.
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