广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

汕头市2014-2015高二数学上学期期末试卷（文科带解析） ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知全集是实数集R，M={x|x＜1}，N={1，2，3，4}，则（∁RM）∩N等于（）‎ ‎ A． {4} B． {3，4} C． {2，3，4} D． {1，2，3，4}‎ ‎2．（5分）f（x）=sin2x是（）‎ ‎ A． 最小正周期为2π的偶函数 B． 最小正周期为2π的奇函数 ‎ C． 最小正周期为π的偶函数 D． 最小正周期为π的奇函数 ‎3．（5分）如果命题“p且q”是假命题，“¬q”也是假命题，则（）‎ ‎ A． 命题“¬p或q”是假命题 B． 命题“p或q”是假命题 ‎ C． 命题“¬p且q”是真命题 D． 命题“p且¬q”是真命题 ‎4．（5分）用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解，可以取的一个区间是（）‎ ‎ A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，4）‎ ‎5．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）‎ ‎ A． （x﹣1）2+y2=1 B． （x+1）2+y2=‎1 ‎C． x2+（y﹣1）2=1 D． x2+（y+1）2=1‎ ‎6．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是∠BAD=60°的菱形，且PA=PC，PB=BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC平行）可能是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．（5分）“a＞‎1”‎是“”的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎8．（5分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）‎ ‎ A． 若a，b与α所成的角相等，则α∥b ‎ B． 若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b ‎ C． 若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β ‎ D． 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b - 19 -‎ ‎9．（5分）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．（5分）已知函数，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：‎ ‎①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的个数为（）‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎C． 3 D． 4‎ ‎11．（5分）曲线y=﹣x3+2x在横坐标为﹣1的点处的切线为L，则点（3，2）到L的距离是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．（5分）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）‎ ‎ A． 0＜x+y＜1 B． x+y＞‎1 ‎C． x+y＜﹣1 D． ﹣1＜x+y＜0‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．（5分）已知x=3是函数f（x）=alnx+x2﹣10x的一个极值点，则实数a=．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，边AB=2，S△ABC=，则BC边的长为．‎ ‎15．（5分）等差数列{an}中，已知a4+a5=8，则S8=．‎ ‎16．（5分）设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ - 19 -‎ ‎17．（10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工．‎ ‎（Ⅰ）求每个报名者能被聘用的概率；‎ ‎（Ⅱ）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：‎ 分数段 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） [85，90）‎ 人数 1 2 6 9 5 1‎ 请你预测面试的切线分数大约是多少？‎ ‎（Ⅲ）公司从聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，求cosα的值．‎ ‎19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．‎ ‎（1）求证：BE⊥平面PAC；‎ ‎（2）求点E到平面PBF的距离．‎ ‎20．（12分）设函数f（x）=（x＞0），数列{an}满足a1=1，，（n∈N*，且n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设T2n=﹣4（a2+a4+a6+…+a2n），若T2n＞4tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．‎ - 19 -‎ ‎21．（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1，直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）求△PAB面积的最大值．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=‎ ‎（1）求f（x）在区间[﹣1，1）上的最大值；‎ ‎（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．‎ 广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知全集是实数集R，M={x|x＜1}，N={1，2，3，4}，则（∁RM）∩N等于（）‎ ‎ A． {4} B． {3，4} C． {2，3，4} D． {1，2，3，4}‎ 考点： 交、并、补集的混合运算． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由全集R及M，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．‎ 解答： 解：∵全集是实数集R，M={x|x＜1}，‎ ‎∴∁RM={x|x≥1}，‎ ‎∵N={1，2，3，4}，‎ ‎∴（∁RM）∩N={1，2，3，4}．‎ 故选D 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．‎ - 19 -‎ ‎2．（5分）f（x）=sin2x是（）‎ ‎ A． 最小正周期为2π的偶函数 B． 最小正周期为2π的奇函数 ‎ C． 最小正周期为π的偶函数 D． 最小正周期为π的奇函数 考点： 正弦函数的对称性；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 由T==π，又f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），可得f（x）=sin2x是最小正周期为π的奇函数．‎ 解答： 解：∵T==π 又∵f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），‎ 故f（x）=sin2x是最小正周期为π的奇函数．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎3．（5分）如果命题“p且q”是假命题，“¬q”也是假命题，则（）‎ ‎ A． 命题“¬p或q”是假命题 B． 命题“p或q”是假命题 ‎ C． 命题“¬p且q”是真命题 D． 命题“p且¬q”是真命题 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 因为命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个是假命题，因为“¬q”也是假命题，所以q是真命题，根据此信息进行判断；‎ 解答： 解：命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个为假命题，‎ 因为“¬q”也是假命题，可得q是真命题，可得p是假命题，‎ A、命题“¬p是真命题，可得命题“¬p或q”是真命题，故A错误；‎ B、因为q是真命题，故命题“p或q”是真命题，故B错误；‎ C、p是假命题，q为真命题，命题“¬p且q”是真命题，故C正确；‎ D、p是假命题，命题“p且¬q”是假命题，故D错误；‎ 故选C；‎ 点评： 本题主要考查了非P命题与p或q命题的真假的应用，注意“或”“且”“非”的含义，是一道基础题；‎ ‎4．（5分）用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解，可以取的一个区间是（）‎ ‎ A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，4）‎ 考点： 二分法求方程的近似解． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ - 19 -‎ 分析： 设f（x）=lgx﹣3+x，∵当连续函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3﹣x在区间（a，b）上有解，进而得到答案．‎ 解答： 解：设f（x）=lgx﹣3+x，‎ ‎∵当连续函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，‎ 即方程lgx=3﹣x在区间（a，b）上有解，‎ 又∵f（2）=lg2﹣1＜0，f（3）=lg3＞0，‎ 故f（2）•f（3）＜0，‎ 故方程lgx=3﹣x在区间（2，3）上有解，‎ 故选：C 点评： 本题考查的知识点是方程的根，函数的零点，其中熟练掌握函数零点的存在定理是解答的关键．‎ ‎5．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）‎ ‎ A． （x﹣1）2+y2=1 B． （x+1）2+y2=‎1 ‎C． x2+（y﹣1）2=1 D． x2+（y+1）2=1‎ 考点： 抛物线的简单性质；圆的标准方程． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先由抛物线的标准方程求得其焦点坐标，即所求圆的圆心坐标，再由圆过原点，求得圆的半径，最后由圆的标准方程写出所求圆方程即可 解答： 解；∵抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），‎ ‎∴所求圆的圆心坐标为（1，0）‎ ‎∵所求圆过坐标原点（0，0）‎ ‎∴其半径为1﹣0=1‎ ‎∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1‎ 点评： 本题主要考查了圆的标准方程的求法，抛物线的标准方程及其几何性质，属基础题 ‎6．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是∠BAD=60°的菱形，且PA=PC，PB=BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC平行）可能是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 简单空间图形的三视图． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面是∠BAD=60°的菱形，我们根据棱锥的正视图为三角形，结合看不到的棱画为虚线，看到的棱画为实线，比照四个答案中的图形，即可得到答案．‎ 解答： 解：由已知中的几何体P﹣ABCD为四棱锥 故其正视图的外边框为三角形 - 19 -‎ 又∵四棱锥P﹣ABCD的底面是∠BAD=60°的菱形，‎ ‎∴PD棱在正视图中看不到，故应该画为虚线，‎ PB棱在正视图中可能看到，故应该画为实线．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中要注意三视图中看不到的棱（或轮廓线）画为虚线，本题易忽略此点．‎ ‎7．（5分）“a＞‎1”‎是“”的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 充要条件． ‎ 分析： 可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法．‎ 解答： 解：由得：‎ 当a＞0时，有1＜a，即a＞1；‎ 当a＜0时，不等式恒成立．‎ 所以⇔a＞1或a＜0‎ 从而a＞1是的充分不必要条件．‎ 故应选：A 点评： 本题考查不等式的性质及其应用，解分式不等式的问题，不等式的等价变形！本题需要注意的是在利用不等式的乘法单调性时易出错，比如本题中若原不等式两边同乘以a，等到a＞1就是对不等式两边同乘以一个正数还是负数不等式是否改变方向认识不足导致的错误．‎ ‎8．（5分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）‎ ‎ A． 若a，b与α所成的角相等，则α∥b ‎ B． 若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b ‎ C． 若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β ‎ D． 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b 考点： 平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． ‎ 专题： 证明题．‎ 分析： 根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a⊂β或a∥β，再由b⊥β得到结论．‎ 解答： 解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；‎ - 19 -‎ B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A‎1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；‎ C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；‎ D、∵a⊥α，α⊥β，‎ ‎∴a⊂β或a∥β 又∵b⊥β ‎∴a⊥b 故选D 点评： 本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．‎ ‎9．（5分）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 椭圆的标准方程． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先根据长轴长是短轴长的2倍确定a与b的关系，进而根据椭圆a，b，c的关系a2=b2+c2可表示出c，再由e=得到答案．‎ 解答： 解：∵a=2b ‎∴c==b e==‎ 故选B．‎ 点评： 本题主要考查椭圆离心率的计算．属基础题．‎ ‎10．（5分）已知函数，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：‎ ‎①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的个数为（）‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎C． 3 D． 4‎ 考点： 函数零点的判定定理． ‎ 专题： 数形结合．‎ 分析： 利用零点就是两函数图象的交点，再利用图象得结论．‎ 解答： 解：因为函数在（0，+∞）上是减函数，‎ - 19 -‎ 又因为f（c）＜0＜f（a）＜f（b），所以a＜b＜c，‎ 又因为零点就是两函数图象的交点，‎ 在同一坐标系内画出函数y=与y=lnx的图象，‎ 如图a、b、c，d的位置如图所示只有②③成立．‎ 故可能成立的有两个．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查函数零点的判定的应用和数形结合思想的应用，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．‎ ‎11．（5分）曲线y=﹣x3+2x在横坐标为﹣1的点处的切线为L，则点（3，2）到L的距离是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．‎ 解答： 解：函数的f（x）的导数f′（x）=﹣3x2+2，‎ 则f′（﹣1）=﹣3+2=﹣1，即切线斜率k=﹣1，‎ 当x=﹣1时，y=1﹣2=﹣1，即切点坐标为（﹣1，﹣1），‎ 则切线方程为y+1=﹣（x+1），‎ 即x+y+2=0，‎ 则点（3，2）到L的距离d=，‎ 故选：A 点评： 本题主要考查导数的几何意义的应用以及点到直线的距离的计算，根据导数求出函数的切线方程是解决本题的关键．‎ ‎12．（5分）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）‎ - 19 -‎ ‎ A． 0＜x+y＜1 B． x+y＞‎1 ‎C． x+y＜﹣1 D． ﹣1＜x+y＜0‎ 考点： 向量的加法及其几何意义． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 如图所示由 =，可得 x＜0 y＜0，故 x+y＜0，故排除A、B．再由 =‎ x2+y2+2xy•，得1=x2+y2+2xy•cos∠AOB． 当∠AOB=120°时，由（x+y）2=1+3xy＞1，‎ 可得x+y＜﹣1，从而得出结论．‎ 解答： 解：如图所示：∵=，∴x＜0，y＜0，‎ 故 x+y＜0，故排除A、B．‎ ‎∵|OC|=|OB|=|OA|，∴=x2+y2+2xy•，‎ ‎∴1=x2+y2+2xy•cos∠AOB． ‎ 当∠AOB=120°时，x2+y2﹣xy=1，即（x+y）2﹣3xy=1，‎ 即（x+y）2=1+3xy＞1，‎ 故 x+y＜﹣1，‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量 数量积运算的综合运用，排除法解选择题，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．（5分）已知x=3是函数f（x）=alnx+x2﹣10x的一个极值点，则实数a=12．‎ - 19 -‎ 考点： 利用导数研究函数的极值． ‎ 专题： 计算题；导数的综合应用．‎ 分析： 由于x=3是函数f（x）=alnx+x2﹣10x的一个极值点，可得f′（3）=0，解出并验证即可．‎ 解答： 解：f′（x）=+2x﹣10（x＞0）．‎ ‎∵x=3是函数f（x）=alnx+x2﹣10x的一个极值点，‎ ‎∴f′（3）=+6﹣10=0，解得a=12．‎ ‎∴f′（x）=‎ ‎∴0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，3＞x＞2时，f′（x）＜0，‎ ‎∴x=3是函数f（x）=12lnx+x2﹣10x的一个极小值点，‎ 故答案为：12．‎ 点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，边AB=2，S△ABC=，则BC边的长为．‎ 考点： 余弦定理；三角形的面积公式． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 由AB，sinA及已知的面积，利用三角形面积公式求出AC的长，再由AB，AC及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的长．‎ 解答： 解：∵∠A=60°，边AB=2，S△ABC=，‎ ‎∴S△ABC=AB•AC•sinA，即=×‎2AC×，‎ 解得：AC=1，‎ 由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=4+1﹣2=3，‎ 则BC=．‎ 故答案为：‎ 点评： 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎15．（5分）等差数列{an}中，已知a4+a5=8，则S8=32．‎ 考点： 等差数列的前n项和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由等差数列的性质和求和公式可得S8=4（a4+a5），代值计算可得．‎ 解答： 解：∵等差数列{an}中a4+a5=8，‎ ‎∴S8==4（a1+a8）‎ - 19 -‎ ‎=4（a4+a5）=32‎ 故答案为：32‎ 点评： 本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．‎ ‎16．（5分）设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是[0，]．‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 综合题．‎ 分析： 不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），C（1，0），的几何意义是点（x，y）与（P﹣2，0）连线的斜率，由此可求结论．‎ 解答： 解：不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），C（1，0）‎ 的几何意义是点（x，y）与（P﹣2，0）连线的斜率，由于PB的斜率为，PA，PC的斜率为0‎ 所以的取值范围是[0，]‎ 故答案为：[0，]‎ 点评： 本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义．‎ - 19 -‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．（10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工．‎ ‎（Ⅰ）求每个报名者能被聘用的概率；‎ ‎（Ⅱ）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：‎ 分数段 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） [85，90）‎ 人数 1 2 6 9 5 1‎ 请你预测面试的切线分数大约是多少？‎ ‎（Ⅲ）公司从聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？‎ 考点： 等可能事件的概率． ‎ 专题： 常规题型．‎ 分析： （Ⅰ）利用古典概型求概率是解决本题的关键，根据每个人入选的概率相等可以计算出所求的概率；‎ ‎（Ⅱ）利用概率是样本频率的近似值，通过对应成比例得出被聘用的最低分数线；‎ ‎（Ⅲ）利用古典概型求概率是解决本题的关键，可以列举出样本空间的所有情况和所求事件的所有情况，通过算起比值得到所求的概率．‎ 解答： 解：（Ⅰ）设每个报名者能被聘用的概率为P，依题意有：‎ P==0.02．‎ 答：每个报名者能被聘用的概率为0.02．‎ ‎（Ⅱ）设24名笔试者中有x名可以进入面试，依样本估计总体可得：‎ ‎，解得：x=6，从表中可知面试的切线分数大约为80分．‎ 答：可以预测面试的切线分数大约为80分．‎ ‎（Ⅲ）从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：‎ ‎（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），‎ ‎（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），‎ ‎（d，e），（d，f），（e，f），共15种．‎ 选派一男一女参加某项培训的种数有：‎ ‎（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），‎ ‎（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），共8种 所以选派结果为一男一女的概率为．‎ 答：选派结果为一男一女的概率为．‎ 点评： 本题主要考查概率、统计的基本知识，考查应用意识．弄清频率和概率的关系，把握古典概型计算概率的基本方法，必要时利用枚举法计算概率．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ - 19 -‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，求cosα的值．‎ 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值． ‎ 专题： 作图题；综合题．‎ 分析： （I）观察图象可得函数的最值为1，且函数先出现最大值可得A=1；函数的周期T=π，结合周期公式T=可求ω；由函数的图象过（）代入可得φ ‎（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），从而由f（）=，代入整理可得sin（）=，结合已知0＜a＜，可得cos（α+）=．，利用，代入两角差的余弦公式可求 解答： 解：（Ⅰ）由图象知A=1‎ f（x）的最小正周期T=4×（﹣）=π，故ω==2‎ 将点（，1）代入f（x）的解析式得sin（+φ）=1，‎ 又|φ|＜，∴φ=‎ 故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）‎ ‎（Ⅱ）f（）=，即sin（）=，注意到0＜a＜，则＜＜，‎ 所以cos（α+）=．‎ 又cosα=[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=‎ - 19 -‎ 点评： 本题主要考查了（i）由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；‎ ‎（ii）三角函数的同角平方关系，两角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常见的拆角技巧：①2α=（α+β）+（α﹣β）②2β=（α+β）﹣（α﹣β）③α=（α+β）﹣β④β=（α+β）﹣α ‎19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．‎ ‎（1）求证：BE⊥平面PAC；‎ ‎（2）求点E到平面PBF的距离．‎ 考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）利用等腰三角形的性质可得BE⊥PC．再利用线面垂直的判定和性质即可证明BE⊥平面PAC；‎ ‎（2）利用等体积法：VE﹣PFB=VB﹣PEF，求点E到平面PBF的距离．‎ 解答： （1）证明：∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．‎ ‎∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，‎ 又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∴AC⊥BE．‎ 又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC …（6分）‎ ‎（2）解：在Rt△PBC中，‎ 在Rt△PBA中，‎ ‎∵，‎ ‎∴…（10分）‎ 设点E到平面PBF的距离为d ‎∵VB﹣PEF=VE﹣PBF ‎∴‎ - 19 -‎ 即 ‎∴…（12分）‎ 点评： 本题考查了线面平垂直的判定，考查等体积法求点E到平面PBF的距离，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．‎ ‎20．（12分）设函数f（x）=（x＞0），数列{an}满足a1=1，，（n∈N*，且n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设T2n=﹣4（a2+a4+a6+…+a2n），若T2n＞4tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．‎ 考点： 等差数列的性质；数列递推式． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）由已知得，（n≥2），从而an﹣an﹣1=2，由此能求出an=2n﹣1．‎ ‎（2）由已知得T2n=，从而，由此利用在n∈N*单调递增，能求出实数t的取值范围．‎ 解答： 解：（1）∵f（x）=（x＞0），‎ ‎∴，（n≥2）‎ ‎∴an﹣an﹣1=2，…（2分）‎ 又∵a1=1，∴数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列．‎ ‎∴an=2n﹣1．（n∈N*）…（4分）‎ ‎（2）解：T2n=﹣4（a2+a4+a6+…+a2n）‎ ‎=，…（8分）‎ ‎∵恒成立，∴，‎ 又在n∈N*单调递增，‎ 故，即t＜﹣3．…（12分）‎ - 19 -‎ 点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎21．（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1，直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）求△PAB面积的最大值．‎ 考点： 椭圆的简单性质． ‎ 专题： 向量与圆锥曲线．‎ 分析： （1）设出点P的坐标为（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由椭圆方程求得左右焦点坐标，然后结合求得P的坐标所满足的关系式，再根据P在椭圆上得另一关系式，联立即可求得P的坐标；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0求出m的范围，然后分别利用弦长公式和点到直线的距离公式求出弦AB的长及点P到直线AB的距离，代入三角形的面积公式利用基本不等式求最值．‎ 解答： 解：（1）依题意，设点P的坐标为（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），‎ 由椭圆方程可得，，‎ 则，‎ ‎∵，∴，‎ 即 ①，‎ 又P是椭圆上一点，∴，②‎ 联立①②得，，‎ - 19 -‎ 又x0＞0，y0＞0，∴，‎ 故点P的坐标为；‎ ‎（2）∵直线AB的方程为，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立直线方程和椭圆方程，得，消去y得．‎ ‎∴，，‎ 由△＞0，得，‎ 点P（1，）到直线AB的距离为，‎ ‎，‎ 则 ‎=．‎ 当且仅当取等号，‎ ‎∴三角形PAB面积的最大值为．‎ 点评： 本题考查了平面向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线位置关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用一元二次方程的根与系数关系求解，该题还运用了换元法和函数的单调性求最值，综合性强．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=‎ ‎（1）求f（x）在区间[﹣1，1）上的最大值；‎ ‎（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． ‎ 专题： 综合题；导数的综合应用．‎ 分析： （1）当﹣1≤x＜1时，求导函数，可得f（x）在区间[﹣1，1）上的最大值；‎ ‎（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．‎ 解答： 解：（1）∵‎ - 19 -‎ 当﹣1≤x＜1时，，…（1分）‎ 令f'（x）=0得x=0或，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ ‎ （﹣1，0） 0 ‎ ‎ ﹣ 0 + 0 ﹣‎ ‎ 递减 极小值 递增 极大值 递减 ‎…（3分）‎ 又f（﹣1）=2，，f（0）=0‎ ‎∴f（x）在区间[﹣1，1）上的最大值为2…（4分）‎ ‎（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，‎ 不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1．…（5分）‎ ‎∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，‎ ‎∴，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）‎ 是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．…（6分）‎ 若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，‎ 而此方程无实数解，因此t＞1．…（8分）‎ ‎∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即． （*）…（9分）‎ 考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则，‎ ‎∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，‎ 当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．…（11分）‎ ‎∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．‎ 因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（12分）‎ 点评： 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，综合性强，属于中档题．‎ - 19 -‎