汕头市2015届高三数学上学期期中试题(文科含解析)
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)全集U={a,b,c,d,e},M={a,d},N={a,c,e},则N∩∁UM为()
A. {c,e} B. {a,c} C. {d,e} D. {a,e}
2.(5分)命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是()
A. ∀x∈R,|x|+x2<0 B. ∀x∈R,|x|+x2≤0
C. ∃x0∈R,|x0|+x02<0 D. ∃x0∈R,|x0|+x02≥0
3.(5分)设函数f(x)=xlnx,则()
A. x=1为f(x)的极大值点 B. x=1为f(x)的极小值点
C. x=为f(x)的极大值点 D. x=为f(x)的极小值点
4.(5分)若tanα>0,则()
A. sinα>0 B. cosα>0 C. sin2α>0 D. cos2α>0
5.(5分)若函数是R上的单调减函数,则实数a的取值范围是()
A. (﹣∞,2) B. C. (0,2) D.
6.(5分)已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()
A. d=ac B. a=cd C. c=ad D. d=a+c
7.(5分)函数f(x)的定义域为R,f(﹣1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()
A. (﹣1,+∞) B. (﹣∞,﹣1) C. (2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)
8.(5分)在函数①y=cos丨2x丨,②y=丨cosx丨,③y=cos(2x+)④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为()
A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③
9.(5分)已知函数f(x)=4﹣x2,g(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,g(x)=log2x,则函数y=f(x)•g(x)的大致图象为()
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A. B. C. D.
10.(5分)设函数f(x)=xa+1(a∈Q)的定义域为[﹣b,﹣a]∪(a,b],其中0<a<b,且f(x)在[a,b]上的最大值为6,最小值为3,则f(x)在[﹣b,﹣a]上的最大值与最小值的和是()
A. ﹣5 B. 9 C. ﹣5或9 D. 以上不对
二.填空题(本大题共3小题,每小题5分,满分15分.)(一)必做题(11-13题)
11.(5分)函数f(x)=的定义域是.
12.(5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.
13.(5分)如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成,若∀x∈R,f(x)>f(x﹣1),则正实数a的取值范围为.
(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)(坐标系与参数方程选做题)
14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为.
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(几何证明选讲选做题)
15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=.
三.解答题(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(12分)设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0,其中a>0;命题q:实数x满足x2﹣x﹣6≤0,且¬p是¬q的必要不充分条件,求a的取值范围.
17.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).
18.(14分)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;
(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.
19.(14分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.
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20.(14分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)(n∈N*)在函数f(x)=2x的图象上.
(1)证明:数列{bn}为等比数列;
(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{anbn}2(n∈N*)的前n项和Sn.
21.(14分)已知函数f(x)=ex+e﹣x,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:f(x)是R上的偶函数.
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x02+3x0)成立.试比较ea﹣1与ae﹣1的大小,并证明你的结论.
广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)全集U={a,b,c,d,e},M={a,d},N={a,c,e},则N∩∁UM为()
A. {c,e} B. {a,c} C. {d,e} D. {a,e}
考点: 交、并、补集的混合运算.
专题: 集合.
分析: 根据全集U及M求出M的补集,找出N与M补集的交集即可.
解答: 解:∵全集U={a,b,c,d,e},M={a,d},N={a,c,e},
∴∁UM={b,c,e},
则N∩∁UM={c,e}.
故选:A.
点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
2.(5分)命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是()
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A. ∀x∈R,|x|+x2<0 B. ∀x∈R,|x|+x2≤0
C. ∃x0∈R,|x0|+x02<0 D. ∃x0∈R,|x0|+x02≥0
考点: 命题的否定.
专题: 简易逻辑.
分析: 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
解答: 解:根据全称命题的否定是特称命题,则命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R,|x0|+x02<0,
故选:C.
点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
3.(5分)设函数f(x)=xlnx,则()
A. x=1为f(x)的极大值点 B. x=1为f(x)的极小值点
C. x=为f(x)的极大值点 D. x=为f(x)的极小值点
考点: 利用导数研究函数的极值.
专题: 导数的概念及应用.
分析: 确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,即可求得函数f(x)的极小值.
解答: 解:函数的定义域为(0,+∞)
求导函数,可得f′(x)=1+lnx
令f′(x)=1+lnx=0,可得x=
∴0<x<时,f′(x)<0,x>时,f′(x)>0
∴x=时,函数取得极小值﹣,
故选D.
点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的极小值,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
4.(5分)若tanα>0,则()
A. sinα>0 B. cosα>0 C. sin2α>0 D. cos2α>0
考点: 三角函数值的符号.
专题: 三角函数的求值.
分析: 化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案.
解答: 解:∵tanα>0,
∴,
则sin2α=2sinαcosα>0.
故选:C.
点评: 本题考查三角函数值的符号,考查了二倍角的正弦公式,是基础题.
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5.(5分)若函数是R上的单调减函数,则实数a的取值范围是()
A. (﹣∞,2) B. C. (0,2) D.
考点: 函数单调性的性质;指数函数的单调性与特殊点.
专题: 计算题.
分析: 由函数是单调减函数,则有a﹣2<0,且注意2(a﹣2)≤.
解答: 解:∵函数是R上的单调减函数,
∴
∴
故选B
点评: 本题主要考查分段函数的单调性问题,要注意不连续的情况.
6.(5分)已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()
A. d=ac B. a=cd C. c=ad D. d=a+c
考点: 对数值大小的比较.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出.
解答: 解:由5d=10,可得,
∴cd=lgb=log5b=a.
故选:B.
点评: 本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式,属于基础题.
7.(5分)函数f(x)的定义域为R,f(﹣1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()
A. (﹣1,+∞) B. (﹣∞,﹣1) C. (2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)
考点: 导数的运算.
专题: 导数的概念及应用.
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分析: 构建函数F(x)=f(x)﹣(2x+4),由f(﹣1)=2得出F(﹣1)的值,求出F(x)的导函数,根据f′(x)>2,得到F(x)在R上为增函数,根据函数的增减性即可得到F(x)大于0的解集,进而得到所求不等式的解集.
解答: 解:设F(x)=f(x)﹣(2x+4),
则F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0,
又对任意x∈R,f′(x)>2,所以F′(x)=f′(x)﹣2>0,
即F(x)在R上单调递增,
则F(x)>0的解集为(﹣1,+∞),
即f(x)>2x+4的解集为(﹣1,+∞).
故选:A
点评: 本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式,解题的关键是构建函数,确定函数的单调性,属于中档题.
8.(5分)在函数①y=cos丨2x丨,②y=丨cosx丨,③y=cos(2x+)④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为()
A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③
考点: 三角函数的周期性及其求法.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论.
解答: 解:∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x,它的最小正周期为 =π,
②y=丨cosx丨的最小正周期为=π,
③y=cos(2x+)的最小正周期为 =π,
④y=tan(2x﹣)的最小正周期为 ,
故选:A.
点评: 本题主要考查三角函数的周期性及求法,属于基础题.
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9.(5分)已知函数f(x)=4﹣x2,g(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,g(x)=log2x,则函数y=f(x)•g(x)的大致图象为()
A. B. C. D.
考点: 函数的图象;函数奇偶性的性质.
专题: 压轴题;数形结合.
分析: 由已知中函数f(x)=4﹣x2,当x>0时,g(x)=log2x,我们易判断出函数在区间(0,+∞)上的形状,再根据函数奇偶性的性质,我们根据“奇×偶=奇”,可以判断出函数y=f(x)•g(x)的奇偶性,进而根据奇函数图象的特点得到答案.
解答: 解:∵函数f(x)=4﹣x2,是定义在R上偶函数
g(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,
故函数y=f(x)•g(x)为奇函数,共图象关于原点对称,故A,C不正确
又∵函数f(x)=4﹣x2,当x>0时,g(x)=log2x,
故当0<x<1时,y=f(x)•g(x)<0;
当1<x<2时,y=f(x)•g(x)>0;
当x>2时,y=f(x)•g(x)<0;故D不正确
故选B
点评: 本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质,在判断函数的图象时,分析函数的单调性,奇偶性,特殊点是最常用的方法.
10.(5分)设函数f(x)=xa+1(a∈Q)的定义域为[﹣b,﹣a]∪(a,b],其中0<a<b,且f(x)在[a,b]上的最大值为6,最小值为3,则f(x)在[﹣b,﹣a]上的最大值与最小值的和是()
A. ﹣5 B. 9 C. ﹣5或9 D. 以上不对
考点: 函数的最值及其几何意义.
专题: 综合题;函数的性质及应用.
分析: 先根据函数f(x)=xα+1得f(x)﹣1=xα,由题意知函数y=xα,或是奇函数或是偶函数,再根据奇(偶)函数的图象特征,利用函数y=xα在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,根据图象的对称性可得y=xα在区间[﹣b,﹣a]上的最大值与最小值的情况,从而得出答案.
解答: 解:令g(x)=xα,定义域为[﹣b,﹣a]∪[a,b],则
∵函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,
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∴g(x)=xα在区间[a,b]上的最大值为5,最小值为2,
若g(x)=xα是偶函数,则g(x)=xα在区间[﹣b,﹣a]上的最大值为5,最小值为2,
∴函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[﹣b,﹣a]上的最大值为6,最小值为3,最大值与最小值的和9;
若g(x)=xα是奇函数,则g(x)=xα在区间[﹣b,﹣a]上的最大值为﹣2,最小值为﹣5,
∴函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[﹣b,﹣a]上的最大值为﹣1,最小值为﹣4,最大值与最小值的和﹣5;
∴f(x)在区间[﹣b,﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9.
故选:C.
点评: 本题考查函数的最值,考查函数的奇偶性,考查分类讨论的数学思想,正确运用幂函数的性质是关键.
二.填空题(本大题共3小题,每小题5分,满分15分.)(一)必做题(11-13题)
11.(5分)函数f(x)=的定义域是(0,3)∪(3,+∞).
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数成立的条件,建立条件关系即可得到结论.
解答: 解:要使函数f(x)有意义,则,
即,
解得x>0且x≠3,
故函数的定义域为(0,3)∪(3,+∞)
故答案为:(0,3)∪(3,+∞)
点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
12.(5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是(0,).
考点: 根的存在性及根的个数判断.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象,利用数形结合判断a的范围即可.
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解答: 解:f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),在同一坐标系中画出函数f(x)与y=a的图象如图:由图象可知.
故答案为:(0,).
点评: 本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用.
13.(5分)如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成,若∀x∈R,f(x)>f(x﹣1),则正实数a的取值范围为(0,).
考点: 函数的图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由已知中的函数图象可得f(4a)=a,f(﹣4a)=﹣a,若∀x∈R,f(x)>f(x﹣1),则,解不等式可得正实数a的取值范围.
解答: 解:由已知可得:a>0,
且f(4a)=a,f(﹣4a)=﹣a,
若∀x∈R,f(x)>f(x﹣1),
则,解得a<,
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故正实数a的取值范围为:(0,),
故答案为:(0,)
点评: 本题考查的知识点是函数的图象,其中根据已知分析出不等式组,是解答的关键.
(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)(坐标系与参数方程选做题)
14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).
考点: 点的极坐标和直角坐标的互化.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: 直接由x=ρcosθ,y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程,然后联立方程组求得答案.
解答: 解:由2ρcos2θ=sinθ,得:2ρ2cos2θ=ρsinθ,
即y=2x2.
由ρcosθ=1,得x=1.
联立,解得:.
∴曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).
故答案为:(1,2).
点评: 本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.
(几何证明选讲选做题)
15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=3.
考点: 三角形的面积公式.
专题: 解三角形.
分析: 证明△CDF∽△AEF,可求.
解答: 解:∵四边形ABCD是平行四边形,EB=2AE,
∴AB∥CD,CD=3AE,
∴△CDF∽△AEF,
∴==3.
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故答案为:3.
点评: 本题考查三角形相似的判断,考查学生的计算能力,属于基础题.
三.解答题(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(12分)设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0,其中a>0;命题q:实数x满足x2﹣x﹣6≤0,且¬p是¬q的必要不充分条件,求a的取值范围.
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 计算题.
分析: 利用不等式的解法求解出命题p,q中的不等式范围问题,结合二者的关系得出关于字母a的不等式,从而求解出a的取值范围.
解答: 解:x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a,3a;由于a>0,
则x2﹣4ax+3a2<0的解集为(a,3a),故命题p成立有x∈(a,3a);
由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2,3],故命题q成立有x∈[﹣2,3],
若¬p是¬q的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件,
因此有(a,3a)⊊[﹣2,3],解得,﹣2≤a≤1
又a>0,所以0<a≤1,
故a的取值范围为:0<a≤1.
点评: 本题考查一元二次不等式的解法,考查二次不等式与二次函数的关系,注意数形结合思想的运用.
17.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).
考点: 两角和与差的正弦函数.
专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析: (1)通过函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=,直接求A的值;
(2)利用函数的解析式,通过f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求出cosθ,利用两角差的正弦函数求f(﹣θ).
解答: 解:(1)∵函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=,
∴f()=Asin(+)=Asin=,
∴.
(2)由(1)可知:函数f(x)=3sin(x+),
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∴f(θ)﹣f(﹣θ)=3sin(θ+)﹣3sin(﹣θ+)
=3[()﹣()]
=3•2sinθcos=3sinθ=,
∴sinθ=,
∴cosθ=,
∴f(﹣θ)=3sin()=3sin()=3cosθ=.
点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的解析式的求法,基本知识的考查.
18.(14分)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;
(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.
考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.
专题: 概率与统计.
分析: (Ⅰ)根据频率分布直方图求出a的值;
(Ⅱ)由图可知,成绩在[50,60)和[60,70)的频率分别为0.1和0.15,用样本容量20乘以对应的频率,即得对应区间内的人数,从而求出所求.
(Ⅲ)分别列出满足[50,70)的基本事件,再找到在[60,70)的事件个数,根据古典概率公式计算即可.
解答: 解:(Ⅰ)根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a=0.005.
(Ⅱ)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2,
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.
(Ⅲ)记成绩落在[50,60)中的2人为A,B,成绩落在[60,70)中的3人为C,D,E,则成绩在[50,70)的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个,
其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3个,
故所求概率为P=.
点评: 本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用,属于中档题.
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19.(14分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.
考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: (Ⅰ)设BD与AC 的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC;
(Ⅱ)通过AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求出AB,作AH⊥PB角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可.
解答: 解:(Ⅰ)证明:设BD与AC 的交点为O,连结EO,
∵ABCD是矩形,
∴O为BD的中点
∵E为PD的中点,
∴EO∥PB.
EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC
∴PB∥平面AEC;
(Ⅱ)∵AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,
∴V==,
∴AB=,
作AH⊥PB交PB于H,
由题意可知BC⊥平面PAB
∴BC⊥AH,
故AH⊥平面PBC.
又
A到平面PBC的距离.
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点评: 本题考查直线与平面垂直,点到平面的距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
20.(14分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)(n∈N*)在函数f(x)=2x的图象上.
(1)证明:数列{bn}为等比数列;
(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{anbn}2(n∈N*)的前n项和Sn.
考点: 数列与函数的综合;数列的函数特性;数列的求和.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: (1)利用等比数列的定义证明即可;
(2)先由(Ⅰ)求得an,bn,再利用错位相减求数列{anbn2}的前n项和Sn.
解答: (1)证明:由已知得,bn=2an>0,
当n≥1时,==2an+1﹣an=2d,
∴数列{bn}为首项是2a1,公比为2d的等比数列;
(2)解:f′(x)=2xln2
∴函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y﹣2a2=2a2ln2(x﹣a2),
∵在x轴上的截距为2﹣,
∴a2﹣=2﹣,∴a2=2,
∴d=a2﹣a1=1,an=n,bn=2n,anbn2=n4n,
∴Tn=1•4+2•42+3•43+…+(n﹣1)•4n﹣1+n•4n,
4Tn=1•42+2•43+…+(n﹣1)•4n+n•4n+1,
∴Tn﹣4Tn=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=,
∴Tn=.
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点评: 本题考查等差数列与等比数列的概念,等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式,导数的几何意义等知识;考查学生的运算求解能力、推理论证能力,属中档题.
21.(14分)已知函数f(x)=ex+e﹣x,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:f(x)是R上的偶函数.
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x02+3x0)成立.试比较ea﹣1与ae﹣1的大小,并证明你的结论.
考点: 函数奇偶性的判断;函数恒成立问题;不等式比较大小.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)根据函数奇偶性的定义即可证明f(x)是R上的偶函数;
(2)利用参数分离法,将不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围.
(3)构u造函数,利用函数的单调性,最值与单调性之间的关系,分别进行讨论即可得到结论.
解答: (1)证明:∵f(x)=ex+e﹣x,
∴f(﹣x)=e﹣x+ex=f(x),
∴f(x)是R上的偶函数;
(2)解:若关于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,
即m(ex+e﹣x﹣1)≤e﹣x﹣1,
∵x>0,
∴ex+e﹣x﹣1>0,
即m≤在(0,+∞)上恒成立,
设t=ex,(t>1),则m≤在(1,+∞)上恒成立,
∵=﹣=﹣,当且仅当t=2,即x=ln2时等号成立,
∴m≤;
(3)令g(x)=ex+e﹣x﹣a(﹣x3+3x),
则g′(x)=ex﹣e﹣x+3a(x2﹣1),
当x>1,g′(x)>0,即函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,
故此时g(x)的最小值g(1)=e+﹣2a,
由于存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,
故e+﹣2a<0,
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即a>(e+),
令h(x)=x﹣(e﹣1)lnx﹣1,
则h′(x)=1﹣,
由h′(x)=1﹣=0,解得x=e﹣1,
①当0<x<e﹣1时,h′(x)<0,此时函数单调递减,
②当x>e﹣1时,h′(x)>0,此时函数单调递增,
∴h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(e﹣1),
注意到h(1)=h(e)=0,
∴当x∈(1,e﹣1)⊆(0,e﹣1)时,h(e﹣1)≤h(x)<h(1)=0,
当x∈(e﹣1,e)⊆(e﹣1,+∞)时,h(x)<h(e)=0,
∴h(x)<0,对任意的x∈(1,e)成立.
①a∈((e+),e)⊆(1,e)时,h(a)<0,即a﹣1<(e﹣1)lna,从而ae﹣1>ea﹣1,
②当a=e时,ae﹣1=ea﹣1,
③当a∈(e,+∞),e)⊆(e﹣1,+∞)时,当a>e﹣1时,h(a)>h(e)=0,即a﹣1>(e﹣1)lna,从而ae﹣1<ea﹣1.
点评: 本题考查函数奇偶性的判断、最值以及恒成立问题的处理方法,关键是借助于导数解答本题.
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