广东省韶关市2015届高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

韶关市2015届高三数学第一学期期末试题（理科有解析） ‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}，Q={5，7}，下列结论成立的是（）‎ ‎ A． Q⊆P B． P∪Q=P C． P∩Q=Q D． P∩Q={5}‎ ‎2．（5分）已知i为虚数单位，复数z=在复平面对应点Z在（）‎ ‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎3．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）‎ ‎ A． B． C． 2 D． ‎ ‎4．（5分）已知α为第二象限角，sinα=，则sin（π+2α）=（）‎ ‎ A． ﹣ B． C． D． ﹣‎ ‎5．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）‎ ‎ A． f（x）=cosx B． f（x）= C． f（x）=lgx D． f（x）=‎ ‎6．（5分）过双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线的渐近线于A、B两点，若△OAB（O为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为（）‎ ‎ A． B． C． D． 2‎ - 21 -‎ ‎7．（5分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）‎ ‎ A． 2 B． ‎6 ‎C． 2（+） D． 2（+）+2‎ ‎8．（5分）记{x}表示不超过x的最大整数，函数f（x）=，在x＞0时，恒有[f（x）]=0，则实数a的取值范围是（）‎ ‎ A． a＞1 B． 0＜a＜‎1 ‎C． a＞ D． 0＜a＜‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9～13题）‎ ‎9．（5分）数列{an}满足an+1=3an，n∈N*，且前3项之和等于13，则该数列的通项公式an=．‎ ‎10．（5分）（x2+）5的展开式中的常数项为（用数字作答）．‎ ‎11．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为．‎ ‎12．（5分）若不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|≥a解集是∅，则实数a的取值范围是．‎ ‎13．（5分）在平面直角坐标系中，有一个以O为顶点，边长为1的正方形OABC，其中A（1，0），B（1，1），曲线y=x2与y=在正方形内围成一小片阴影，在正方形内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．‎ - 21 -‎ 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=（ρ∈R）的距离最小值是．‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15．如图，在半圆O中，C是圆O上一点，直径AB⊥CD，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB=6，AD=1，则CE•BC=．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）设△ABC的三内角分别是A、B、C．若f（）=﹣，且AC=1，BC=3，求sinA的值．‎ ‎17．（12分）某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，落实“生命﹣和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立．成绩如下：（单位：个/分钟）‎ 甲 80 81 93 72 88 75 83 84‎ 乙 82 93 70 84 77 87 78 85‎ ‎（1）用茎叶图表示这两组数据 ‎（2）从统计学的角度考虑，你认为选派那位学生参加比赛合适，请说明理由？‎ ‎（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎（参考数据：22+12+112+102+62+72+12+22=316，02+112+122+22+52+52+42+32=344）‎ ‎18．（14分）如图，ABCD是边长为3的正方形，ABEF是矩形，平面ABCD⊥平面ABEF，G为EC的中点．‎ ‎（1）求证：AC∥平面BFG；‎ ‎（2）若三棱锥C﹣DGB的体积为，求三棱柱ADF﹣BCE的体积．‎ - 21 -‎ ‎19．（14分）已知数列{an}满足a1=，an+1an﹣2an+1+1=0，n∈N*．‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求证：＜+++…+＜n．‎ ‎20．（14分）设A、B是焦距为2的椭圆C1：x2+=1（a＞1）的左、右顶点，曲线C2上的动点P满足kAP﹣kBP=a，其中，kAP和kBP是分别直线AP、BP的斜率．‎ ‎（1）求曲线C2的方程；‎ ‎（2）直线MN与椭圆C1只有一个公共点且交曲线C2于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过点B，求直线MN的方程．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，a∈R；‎ ‎（1）设h（x）=f（x）+g（x），若h（x）在定义域内存在极值，求a的取值范围；‎ ‎（2）设f′（x）是f（x）的导函数，若0＜x1＜x2，a≠0，f′（t）=（x1＜t＜x2），求证：t＜．‎ 广东省韶关市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}，Q={5，7}，下列结论成立的是（）‎ ‎ A． Q⊆P B． P∪Q=P C． P∩Q=Q D． P∩Q={5}‎ - 21 -‎ 考点： 集合的包含关系判断及应用． ‎ 专题： 计算题；集合．‎ 分析： 化简P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}={3，4，5，6}，从而解得．‎ 解答： 解：P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}={3，4，5，6}，‎ 故P∩Q={5}；‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．‎ ‎2．（5分）已知i为虚数单位，复数z=在复平面对应点Z在（）‎ ‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 复数代数形式的乘除运算． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ 解答： 解：复数z===﹣1﹣2i在复平面对应点Z（﹣1，﹣2）在第三象限．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．‎ ‎3．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）‎ ‎ A． B． C． 2 D． ‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 首先根据向量垂直的充要条件求出的坐标，进一步求出，最后求出向量的模．‎ 解答： 解：已知：，‎ 由于：‎ 所以：‎ 所以：x﹣2=0‎ 解得：x=2‎ - 21 -‎ 所以：=‎ 故选：A 点评： 本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，向量的模，向量的加减运算，属于基础题型．‎ ‎4．（5分）已知α为第二象限角，sinα=，则sin（π+2α）=（）‎ ‎ A． ﹣ B． C． D． ﹣‎ 考点： 二倍角的正弦；运用诱导公式化简求值． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 由α为第二象限角及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．‎ 解答： 解：∵α为第二象限角，sinα=，‎ ‎∴cosα=﹣=﹣，‎ 则原式=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=．‎ 故选：C．‎ 点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．‎ ‎5．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）‎ ‎ A． f（x）=cosx B． f（x）= C． f（x）=lgx D． f（x）=‎ 考点： 程序框图． ‎ 专题： 函数的性质及应用；算法和程序框图．‎ - 21 -‎ 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．‎ 解答： 解：∵A：f（x）=cosx、C：f（x）=lgx，不是奇函数，故不满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，‎ 又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②f（x）存在零点，‎ 而D：f（x）=既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，‎ 故D：f（x）=符合输出的条件．‎ 故选：D．‎ 点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．‎ ‎6．（5分）过双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线的渐近线于A、B两点，若△OAB（O为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为（）‎ ‎ A． B． C． D． 2‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由等边三角形和双曲线的对称性，可得，∠OAF=30°，再由渐近线方程，可得b=a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到．‎ 解答： 解：由于△OAB（O为坐标原点）是等边三角形，‎ 则由对称可得，∠OAF=30°，‎ 双曲线的渐近线方程为y=x，‎ 即有tan30°=，即b=a，‎ 又c==a，‎ 则e==．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．‎ - 21 -‎ ‎7．（5分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）‎ ‎ A． 2 B． ‎6 ‎C． 2（+） D． 2（+）+2‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据三视图得出空间几何体的直观图，运用几何体的性质求解侧面积．‎ 解答： 解：‎ 根据三视图画出直观图，‎ - 21 -‎ 得出：PA=2，AC=2，AB=，PB=，‎ PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴这个四棱锥的侧面积为2××+2×××=2（），‎ 故选：C 点评： 本题考查了空间几何体的三视图，空间几何体的性质，关键是确定直观图，恢复得出直线平面的位置关系，属于中档题．‎ ‎8．（5分）记{x}表示不超过x的最大整数，函数f（x）=，在x＞0时，恒有[f（x）]=0，则实数a的取值范围是（）‎ ‎ A． a＞1 B． 0＜a＜‎1 ‎C． a＞ D． 0＜a＜‎ 考点： 函数的零点． ‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用．‎ 分析： 由题意，0≤＜1；再结合x＞0求a的取值范围．‎ 解答： 解：由题意，‎ ‎0≤＜1；‎ 故≤＜；‎ 故ax≥1，‎ - 21 -‎ 又∵x＞0，‎ 故a＞1；‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9～13题）‎ ‎9．（5分）数列{an}满足an+1=3an，n∈N*，且前3项之和等于13，则该数列的通项公式an=3n﹣1．‎ 考点： 等比数列的通项公式． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 易得数列{an}是公比为3的等比数列，由已知数据可得a1，可得通项公式．‎ 解答： 解：∵数列{an}满足an+1=3an，‎ ‎∴=3，即数列{an}是公比为3的等比数列，‎ 又∵前3项之和等于13，‎ ‎∴a1+‎3a1+‎9a1=13，∴a1=1，‎ ‎∴该数列的通项公式an=1×3n﹣1=3n﹣1‎ 故答案为：3n﹣1‎ 点评： 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的判定，属基础题．‎ ‎10．（5分）（x2+）5的展开式中的常数项为10（用数字作答）．‎ 考点： 二项式定理． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．‎ 解答： 解：（x2+）5的展开式中的通项公式为 Tr+1=•x10﹣2r•x﹣3r=•x10﹣5r．‎ 令10﹣5r=0，解得 r=2，∴展开式中的常数项为 =10，‎ 故答案为 10．‎ 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎11．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．‎ 考点： 简单线性规划的应用． ‎ - 21 -‎ 专题： 计算题；数形结合．‎ 分析： 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．‎ 解答： 解：满足约束条件的平面区域如图示：‎ 由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．‎ 故答案为：2．‎ 点评： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．‎ ‎12．（5分）若不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|≥a解集是∅，则实数a的取值范围是（2，+∞）．‎ 考点： 绝对值不等式的解法． ‎ 专题： 计算题；不等式的解法及应用．‎ 分析： 根据绝对值的性质，我们可以求出|x﹣1|﹣|x﹣3|的最大值，结合不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|≥a（x∈R）的解集为空集，可得|x﹣1|﹣|x﹣3|＜a恒成立，即a大于|x﹣1|﹣|x﹣3|的最大值，解不等式可得实数a的取值范围．‎ 解答： 解：∵|x﹣1|﹣|x﹣3|=|x﹣1|﹣|3﹣x|≤|x﹣1﹣x+3|=2，‎ 若不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|≥a（x∈R）的解集为空集，‎ 则|x﹣1|﹣|x﹣3|＜a恒成立．‎ 即a＞2．‎ ‎∴实数a的取值范围是（2，+∞）．‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ 点评： 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据绝对值的性质求出不等式左边的最值是解答的关键．‎ - 21 -‎ ‎13．（5分）在平面直角坐标系中，有一个以O为顶点，边长为1的正方形OABC，其中A（1，0），B（1，1），曲线y=x2与y=在正方形内围成一小片阴影，在正方形内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．‎ 考点： 几何概型． ‎ 专题： 计算题；概率与统计．‎ 分析： 欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．‎ 解答： 解：由题意，阴影部分的面积为==，‎ 因为正方形的面积为1，‎ 所以点M取自阴影部分的概率为p=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=（ρ∈R）的距离最小值是﹣1．‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0化为x2+y2﹣4x+3=0，可得圆心C（2，0），半径r=1．直线θ=（ρ∈R）化为．利用点到直线的距离公式可得：圆心C到直线的距离d，即可得出圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=（ρ∈R）的距离最小值=d﹣r．‎ 解答： 解：圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0化为x2+y2﹣4x+3=0，配方为（x﹣2）2+y2=1，可得圆心C（2，0），半径r=1．‎ 直线θ=（ρ∈R）化为．‎ ‎∴圆心C到直线的距离d==，‎ ‎∴圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=（ρ∈R）的距离最小值=d﹣r=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ - 21 -‎ 点评： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆上的点到直线的距离，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15．如图，在半圆O中，C是圆O上一点，直径AB⊥CD，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB=6，AD=1，则CE•BC=5．‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 直线与圆；推理和证明．‎ 分析： 由已知条件利用垂直径定理和相交弦定理得CD2=AD•BD，从而得CD=，=，由DE⊥BC，利用等积法能求出DE=，由勾股定理得CE=，由此能求出CE•BC．‎ 解答： 解：∵C是圆O上一点，直径AB⊥CD，垂足为D，AB=6，AD=1，‎ ‎∴CD2=AD•BD=1×（6﹣1）=5，解得CD=，‎ ‎∴==，‎ ‎∵DE⊥BC，垂足为E，‎ ‎∴，解得DE===，‎ ‎∴CE===，‎ ‎∴CE•BC=×=5．‎ 故答案为：5．‎ 点评： 本题考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意垂径定理和相交弦定理的合理运用．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）设△ABC的三内角分别是A、B、C．若f（）=﹣，且AC=1，BC=3，求sinA的值．‎ 考点： 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理． ‎ - 21 -‎ 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．‎ 分析： （1）由两角和的余弦公式化简解析式可得f（x）=﹣cos2x，从而可求最小正周期和最大值；‎ ‎（2）由已知先求得cosC的值，即可求sinC的值，由余弦定理可得：AB的值，从而由正弦定理得sinA的值．‎ 解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（2x+）+sin2x=﹣cos2x﹣sin2x+sin2x=﹣cos2x ‎∴函数f（x）的最小正周期T==π，函数f（x）的最大值是1；‎ ‎（2）∵f（x）=﹣cos2x，‎ ‎∴f（）=﹣cosC=﹣，可得：cosC=．‎ ‎∴sinC==‎ ‎∴由余弦定理可得：AB2=BC2+AC2﹣2×AC×BC×cosC=9+1﹣2×=7，既得AB=‎ ‎∴由正弦定理：可得：sinA===．‎ 点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦定理、余弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．‎ ‎17．（12分）某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，落实“生命﹣和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立．成绩如下：（单位：个/分钟）‎ 甲 80 81 93 72 88 75 83 84‎ 乙 82 93 70 84 77 87 78 85‎ ‎（1）用茎叶图表示这两组数据 ‎（2）从统计学的角度考虑，你认为选派那位学生参加比赛合适，请说明理由？‎ ‎（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎（参考数据：22+12+112+102+62+72+12+22=316，02+112+122+22+52+52+42+32=344）‎ 考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （1）由班上甲乙两位同学的8次测试成绩，能作出表示这两组数据的茎叶图．‎ ‎（2）求出，，，，由，＜，得甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．‎ ‎（3）由题意知，ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ 解答： 解：（1）由班上甲乙两位同学的8次测试成绩，‎ - 21 -‎ 作出表示这两组数据的茎叶图，如右图所示．‎ ‎（2）=（80+81+93+72+88+75+83+84）=82，‎ ‎=（82+93+70+84+77+87+78+85）=82，‎ ‎=[22+12+112+（﹣10）2+62+（﹣7）2+12+22]=39.5，‎ ‎=[02+122+（﹣12）2+22+（﹣5）2+52+（﹣4）2+32]=43，‎ ‎∵，＜，‎ ‎∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．‎ ‎（3）由题意知，ξ的取值为0，1，2，3，‎ 由表格知高于79个每分钟的频率为，∴高于79个每分钟的根率为，‎ P（ξ=0）=（1﹣）3=，‎ P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）=，‎ P（ξ=3）=，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ 0 1 2 3‎ ‎ P ‎ Eξ==．‎ 点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．‎ ‎18．（14分）如图，ABCD是边长为3的正方形，ABEF是矩形，平面ABCD⊥平面ABEF，G为EC的中点．‎ ‎（1）求证：AC∥平面BFG；‎ ‎（2）若三棱锥C﹣DGB的体积为，求三棱柱ADF﹣BCE的体积．‎ - 21 -‎ 考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）根据线线平行得到线面平行即可，（2）先求出三角形BCE的面积，从而求出三棱柱ADF﹣BCE的体积．‎ 解答： 解：（1）如图示：‎ 连结AE交BF于点O，连结OG，‎ ‎∵O、G分别是AE、CE的中点，‎ ‎∴OG∥AC，‎ ‎∵AC⊄平面BFG，OG⊂平面BFG，‎ ‎∴AC∥平面BFG；‎ ‎（2）∵VC﹣DGB=•S△BCG•3=，‎ ‎∴S△BCG=，‎ ‎∴S△BCE=，‎ ‎∴三棱柱ADF﹣BCE的体积是：3×=．‎ 点评： 本题考查了面面平行的判定定理，考查了求几何体的体积问题，本题属于中档题．‎ ‎19．（14分）已知数列{an}满足a1=，an+1an﹣2an+1+1=0，n∈N*．‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求证：＜+++…+＜n．‎ - 21 -‎ 考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质． ‎ 专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．‎ 分析： （1）由数列递推式求得，然后利用作差法证明数列{}是等差数列；‎ ‎（2）由（1）中的等差数列求出数列{an}的通项，整理后利用放缩法证明不等式右边，利用数学归纳法证明不等式左边．‎ 解答： 证明：（1）由an+1an﹣2an+1+1=0，得，‎ 则=．‎ ‎∴数列{}是以﹣1为公差的等差数列；‎ ‎（2）由数列{}是以﹣1为公差的等差数列，且，‎ ‎∴，则．‎ ‎∴=＜1，‎ 则+++…+＜1=1+…+1=n；‎ 下面利用数学归纳法证明＜+++…+．‎ ‎∵，‎ 当n=1时，，‎ 假设当n=k时结论成立，即，‎ - 21 -‎ 那么，当n=k+1时，‎ ‎，‎ 要证，‎ 只要证k2（k+2）2+（k+1）2（k+3）＞（k+1）3（k+2），‎ 也就是证：k4+4k3+4k2+k3+3k2+2k2+6k+k+3＞k4+2k3+3k3+6k2+3k2+6k+2+k，‎ 即证：3＞2．‎ 此式显然成立．‎ ‎∴．‎ 综上，当n=k+1时，不等式＜+++…+成立．‎ ‎∴＜+++…+＜n．‎ 点评： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了放缩法及数学归纳法证明数列不等式，属中高档题．‎ ‎20．（14分）设A、B是焦距为2的椭圆C1：x2+=1（a＞1）的左、右顶点，曲线C2上的动点P满足kAP﹣kBP=a，其中，kAP和kBP是分别直线AP、BP的斜率．‎ ‎（1）求曲线C2的方程；‎ ‎（2）直线MN与椭圆C1只有一个公共点且交曲线C2于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过点B，求直线MN的方程．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）由题易知A（﹣1，0）、B（1，0），通过设P（x，y），利用﹣=2（x≠±1）计算即得结论；‎ ‎（2）通过分析可设直线MN的方程为：y=kx+m，代入椭圆C1方程，利用根的判别式可得m2=k2+4，结合kBM•kMN=m﹣k=﹣1，计算即可．‎ 解答： 解：（1）由题易知b2=1，‎ ‎∴，解得a=2，‎ ‎∴A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），‎ - 21 -‎ 设P（x，y），则﹣=2（x≠±1），即y=1﹣x2（x≠±1），‎ ‎∴曲线C2的方程为：y=1﹣x2（x≠±1）；‎ ‎（2）若直线MN垂直于x轴，则与曲线C2只有一个交点，与题意不符，‎ ‎∴直线MN垂直斜率，设直线MN的方程为：y=kx+m，‎ 代入椭圆C1方程，整理得：（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，‎ 由题意可得直线与椭圆相切，‎ ‎∴△1=（‎2km）2﹣4（4+k2）（m2﹣4）=0，即m2=k2+4，‎ 将y=kx+m代入y=1﹣x2（x≠±1），‎ 整理得：x2+kx+m﹣1=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则△2=（﹣k）2﹣4（m﹣1）＞0 （*）‎ 由韦达定理可知：x1+x2=﹣k，x1x2=m﹣1，‎ ‎∴kBM•kMN=•=‎ ‎===m﹣k，‎ ‎∵以线段MN为直径的圆过点B，∴BM⊥BN，∴m﹣k=﹣1，‎ 又∵m2=k2+4，∴k=﹣，m=﹣，‎ 经检验满足条件（*）式，‎ ‎∴直线MN的方程为：3x+2y+5=0．‎ 点评： 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，a∈R；‎ ‎（1）设h（x）=f（x）+g（x），若h（x）在定义域内存在极值，求a的取值范围；‎ ‎（2）设f′（x）是f（x）的导函数，若0＜x1＜x2，a≠0，f′（t）=（x1＜t＜x2），求证：t＜．‎ 考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： （1）先求出h（x），求出h′（x）=，根据条件，方程x2﹣ax+1=0①有两个不同实数根，从而△＞0，并且x=0时x2﹣ax+1=1＞0，从而判断出方程①的小根大于0，这样能求得a的一个范围，和△＞0求得的a的范围求交集即可；‎ - 21 -‎ ‎（2）求f′（x），从而求出f′（t），将x1，x2带入f（x）解析式，从而便得到，从而可作差比较t和的大小：t=，令，这样即可得到，容易判断只要判断2（μ﹣1）﹣（1+μ）lnμ的符号即可，可设φ（μ）=2（μ﹣1）﹣（1+μ）lnμ，通过两次求导便可以判断该函数为减函数，从而得出φ（μ）＜0，这样即得出要证的结论．‎ 解答： 解：（1）h（x）=，h′（x）=；‎ ‎∵h（x）在定义域内存在极值；‎ 令x2﹣ax+1=0，则△=a2﹣4＞0，即a＞2，或a＜﹣2；‎ 设H（x）=x2﹣ax+1，H（0）=1＞0；‎ ‎∴方程x2﹣ax+1=0的小根，解得：a＞2；‎ ‎∴a的取值范围为（2，+∞）；‎ ‎（2）f′（x）=，∴f′（t）=；‎ ‎∴根据条件=；‎ ‎∴；‎ ‎∵a≠0；‎ ‎∴；‎ ‎∴=；‎ - 21 -‎ 设，μ＞1，∴x2=μx1；‎ ‎∴=；‎ ‎∵lnμ＞0，x1＞0；‎ 所以只需判断2（μ﹣1）﹣（1+μ）lnμ的符号；‎ 设φ（μ）=2（μ﹣1）﹣（1+μ）lnμ，μ＞1；‎ φ′（μ）=1﹣，φ″（μ）=；‎ ‎∵μ＞1；‎ ‎∴φ″（μ）＜0；‎ 即φ′（μ）为减函数，∴φ′（μ）＜φ′（1）=0；‎ ‎∴φ（μ）为减函数，∴φ（μ）＜φ（1）=0；‎ ‎∴，即t．‎ 点评： 考查函数极值的概念，一元二次方程实根的情况和判别式△的关系，要熟悉二次函数的图象，对数的运算，作差的方法比较两个式子的大小，对数函数的单调性，以及函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的运用．‎ - 21 -‎