广东省深圳市宝安区2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

深圳市2014-2015高二数学第一学期期末试题（文科带解析） ‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）‎ ‎ A． （0，2] B． （1，2） C． [1，2） D． （1，4）‎ ‎2．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）‎ ‎ A． 充分必要条件 B． 充分非必要条件 ‎ C． 必要非充分条件 D． 非充分非必要条件 ‎3．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）‎ ‎ A． （）a＞（）b B． ＜ C． a2＞b2 D． a3＞b3‎ ‎4．（5分）下列结论正确的是（）‎ ‎ A． 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 ‎ B． 一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真 ‎ C． 命题“∀x∈R，x2﹣x≤‎0”‎的否定是“∃x∈R，x2﹣x≥‎‎0”‎ ‎ D． 命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞‎0”‎的否命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤‎‎0”‎ ‎5．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+ak=24，则正整数k的值为（）‎ ‎ A． 9 B． ‎10 ‎C． 11 D． 12‎ ‎6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=‎2A，a=1，b=，则c=（）‎ ‎ A． B． ‎2 ‎C． D． 1‎ ‎7．（5分）若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）‎ ‎ A． （0，4] B． [0，4] C． （﹣∞，0]∪[4，+∞） D． （﹣∞，0）∪[4，+∞）‎ ‎8．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A．，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线C的离心率为（）‎ ‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎9．（5分）数列{an}满足a1=2，an=，其前n项积Tn，则T2015=（）‎ - 16 -‎ ‎ A． 1 B． ﹣‎6 ‎C． 2 D． 3‎ ‎10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是（）‎ ‎ A． B． C． D． （﹣∞，3）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．‎ ‎11．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是 ．‎ ‎12．（5分）已知实数m，6，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为．‎ ‎13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为．‎ ‎14．（5分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则‎4m+2n的最小值为．‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15．（12分）已知p：|1﹣2x|≤5，q：x2﹣4x+4﹣‎9m2‎≤0（m＞0）．若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎16．（13分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=35，且a2，a7，a22成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎17．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．‎ ‎（1）求sin∠BAD；‎ ‎（2）求BD，AC的长．‎ - 16 -‎ ‎18．（14分）已知函数f（x）=xlnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值点；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在[1，e]上的最小值．（e=2.71828…）‎ ‎19．（14分）各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p（p∈R）‎ ‎（1）求常数p的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记bn=，求数列{bn}的前n项和T．‎ ‎20．（14分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；‎ ‎（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．‎ 广东省深圳市宝安区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）‎ ‎ A． （0，2] B． （1，2） C． [1，2） D． （1，4）‎ 考点： 交集及其运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： 分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可．‎ - 16 -‎ 解答： 解：A={x|0＜x＜2}，B={x|1≤x≤4}，‎ ‎∴A∩B={x|1≤x＜2}．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题是简单的计算题，一般都是在2015届高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是2015届高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．‎ ‎2．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）‎ ‎ A． 充分必要条件 B． 充分非必要条件 ‎ C． 必要非充分条件 D． 非充分非必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ 解答： 解：在三角形中，若A＞B，则边a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．‎ 若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，根据大边对大角，可知A＞B．‎ 所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用．‎ ‎3．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）‎ ‎ A． （）a＞（）b B． ＜ C． a2＞b2 D． a3＞b3‎ 考点： 不等式的基本性质． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： a＞b，可知，与大小不确定，a2与b2大小不确定．对于D：考察函数f（x）=x3在R上的单调递增，可知a3＞b3．‎ 解答： 解：∵a＞b，‎ ‎∴，与大小不确定，a2与b2大小不确定．因此A，B，C不正确．‎ 对于D：考察函数f（x）=x3在R上的单调递增，可知a3＞b3，因此正确．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．‎ ‎4．（5分）下列结论正确的是（）‎ ‎ A． 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 ‎ B． 一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真 ‎ C． 命题“∀x∈R，x2﹣x≤‎0”‎的否定是“∃x∈R，x2﹣x≥‎‎0”‎ ‎ D． 命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞‎0”‎的否命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤‎‎0”‎ - 16 -‎ 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： A．由p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，因此p∧q不一定为真命题；‎ B．原命题的逆命题与否命题同真假即可判断出；‎ C．命题“∀x∈R，x2﹣x≤‎0”‎的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞‎0”‎；‎ D．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞‎0”‎的否命题“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤‎0”‎．‎ 解答： 解：A．由p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，因此p∧q不一定为真命题，不正确；‎ B．由命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真，正确；‎ C．命题“∀x∈R，x2﹣x≤‎0”‎的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞‎0”‎，因此不正确；‎ D．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞‎0”‎的否命题“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤‎0”‎，因此不正确．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎5．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+ak=24，则正整数k的值为（）‎ ‎ A． 9 B． ‎10 ‎C． 11 D． 12‎ 考点： 等差数列的性质． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由已知条件推导出a1+5d=12，‎2a1+2d+（k﹣1）d=24，从而得到‎2a1+（2+k﹣1）d=‎2a1+10d，由此能求出k．‎ 解答： 解：∵等差数列{an}中，公差d≠0，S11=132，‎ ‎∴，‎ ‎∴（‎2a1+10d）×=132，‎ ‎∴a1+5d=12，‎ ‎∵a3+ak=24，‎ ‎∴‎2a1+2d+（k﹣1）d=24，‎ ‎∴‎2a1+（2+k﹣1）d=‎2a1+10d，‎ ‎∴2+k﹣1=10，‎ 解得k=9．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查正整数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．‎ ‎6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=‎2A，a=1，b=，则c=（）‎ ‎ A． B． ‎2 ‎C． D． 1‎ 考点： 正弦定理；二倍角的正弦． ‎ 专题： 解三角形．‎ - 16 -‎ 分析： 利用正弦定理列出关系式，将B=‎2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．‎ 解答： 解：∵B=‎2A，a=1，b=，‎ ‎∴由正弦定理=得：===，‎ ‎∴cosA=，‎ 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣‎3c，‎ 解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），‎ 则c=2．‎ 故选B 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎7．（5分）若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）‎ ‎ A． （0，4] B． [0，4] C． （﹣∞，0]∪[4，+∞） D． （﹣∞，0）∪[4，+∞）‎ 考点： 函数的定义域及其求法． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据二次根式，二次函数的性质值得到答案．‎ 解答： 解：由题意得：‎ ax2+ax+1≥0，‎ a=0时，复合题意，‎ a＞0时，△=a2﹣‎4a≤0，‎ 解得：0≤a≤4，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了二次根式的性质，二次函数的性质，是一道基础题．‎ ‎8．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A．，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线C的离心率为（）‎ ‎ A． 2 B． C． D． ‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y=x和y=﹣，由△AOB的面积为，求出b=a，c=‎2a，由此能求出双曲线的离心率．‎ 解答： 解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），‎ - 16 -‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是y=x，‎ 又∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，‎ ‎∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线 与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，‎ ‎∴A，B两点的纵坐标分别是y=x和y=﹣，‎ ‎∵△AOB的面积为，∴×1×=，‎ ‎∴b=a，c==‎2a，‎ ‎∴e==2．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，离心率的求法，是中档题．‎ ‎9．（5分）数列{an}满足a1=2，an=，其前n项积Tn，则T2015=（）‎ ‎ A． 1 B． ﹣‎6 ‎C． 2 D． 3‎ 考点： 数列递推式． ‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析： 根据数列{an}满足a1=2，an=，可得数列{an}是周期为4的周期数列，且a‎1a2a3a4=1，即可得出结论．‎ 解答： 解：∵an=，‎ ‎∴an+1=，‎ ‎∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，‎ ‎∴数列{an}是周期为4的周期数列，且a‎1a2a3a4=1，‎ ‎∵2015=4×503+3，‎ ‎∴T2015=T3=3．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{an}是周期为4的周期数列，且a‎1a2a3a4=1是关键．‎ - 16 -‎ ‎10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是（）‎ ‎ A． B． C． D． （﹣∞，3）‎ 考点： 简单线性规划的应用；函数的单调性与导数的关系． ‎ 专题： 压轴题；图表型．‎ 分析： 先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．‎ 解答： 解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增 ‎∵两正数a，b满足f（‎2a+b）＜1，‎ ‎∴0＜‎2a+b＜4，∴b＜4﹣‎2a，0＜a＜2，画出可行域如图．‎ k=表示点Q（﹣1，﹣1）与点P（x，y）连线的斜率，‎ 当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：；‎ 当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．‎ 取值范围是C．‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．‎ - 16 -‎ ‎11．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是 x﹣y﹣2=0．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ 解答： 解：∵y=4x﹣x3，‎ ‎∴f'（x）=4﹣3x2，当x=﹣1时，f'（﹣1）=1得切线的斜率为1，所以k=1；‎ 所以曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为：‎ y+3=1×（x+1），即x﹣y﹣2=0．‎ 故答案为：x﹣y﹣2=0．‎ 点评： 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎12．（5分）已知实数m，6，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为．‎ 考点： 椭圆的简单性质；等比数列． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 利用等比数列的性质可得62=‎9m，解得m．则圆锥曲线+y2=1的方程即为=1．可得a，b，c，利用离心率计算公式即可得出．‎ 解答： 解：∵实数m，6，9构成一个等比数列，‎ ‎∴62=‎9m，‎ 解得m=4．‎ 则圆锥曲线+y2=1的方程即为=1．‎ ‎∴a=2，b=1，c==．‎ ‎∴椭圆的离心率e==．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了等比数列的性质、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为4．‎ 考点： 二元一次不等式（组）与平面区域． ‎ 专题： 数形结合．‎ - 16 -‎ 分析： 由不等式组作出平面区域为三角形ABC及其内部，联立方程组求出B的坐标，由两点间的距离公式求出BC的长度，由点到直线的距离公式求出A到BC边所在直线的距离，代入三角形面积公式得答案．‎ 解答： 解：由不等式组作平面区域如图，‎ 由图可知A（2，0），C（0，2），‎ 联立，解得：B（8，﹣2）．‎ ‎∴|BC|=．‎ 点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=．‎ ‎∴．‎ 故答案为：4．‎ 点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎14．（5分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则‎4m+2n的最小值为2．‎ 考点： 对数函数的图像与性质． ‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： 由题意可求得A（2，1）；从而可得‎2m﹣1+n=0，再由基本不等式求最值．‎ 解答： 解：由题意，令x﹣1=1，则y=1；‎ 故A（2，1）；‎ 故‎2m﹣1+n=0；‎ 故‎4m+2n=‎22m+2n≥2=2‎ - 16 -‎ ‎（当且仅当m=，n=时，等号成立）‎ 故答案为：2．‎ 点评： 本题考查了对数函数的应用及基本不等式的应用，属于基础题．‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15．（12分）已知p：|1﹣2x|≤5，q：x2﹣4x+4﹣‎9m2‎≤0（m＞0）．若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 求出不等式对应的条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ 解答： 解：因为p：|1﹣2x|≤5，即﹣2≤x≤3，‎ q：x2﹣4x+4﹣‎9m2‎≤0（m＞0）．‎ 即[x﹣（2﹣‎3m）][x﹣（2+‎3m）]≤0，‎ 即2﹣‎3m≤x≤2+‎3m，m＞0，‎ 若p是q的充分不必要条件，‎ 则且等号不能同时取得，‎ 即 解得m≥．‎ 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎16．（13分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=35，且a2，a7，a22成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ 考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质． ‎ 专题： 综合题；等差数列与等比数列．‎ 分析： （I）设数列的首项为a1，利用S5=35，且a2，a7，a22成等比数列，等差数列{an}的公差d≠0，求得数列的首项与公差，即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）先求出Sn，再用裂项法，可求数列的前n项和．‎ 解答： 解：（I）设数列的首项为a1，则 ‎∵S5=35，且a2，a7，a22成等比数列 - 16 -‎ ‎∴‎ ‎∵d≠0，∴d=2，a1=3‎ ‎∴an=3+（n﹣1）×2=2n+1；‎ ‎（II）Sn=‎ ‎∴‎ ‎∴Tn===﹣‎ 点评： 本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，正确求通项，利用裂项法求数列的和数关键．‎ ‎17．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．‎ ‎（1）求sin∠BAD；‎ ‎（2）求BD，AC的长．‎ 考点： 余弦定理的应用． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．‎ 解答： 解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，‎ ‎∴sin∠ADC====，‎ 则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．‎ ‎（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，‎ - 16 -‎ 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，‎ 即AC=7．‎ 点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．‎ ‎18．（14分）已知函数f（x）=xlnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值点；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在[1，e]上的最小值．（e=2.71828…）‎ 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： （1）由已知得f′（x）=lnx+1，x＞0，由f′（x）=0，得x=，由此利用导数性质能求出函数f（x）的极值点．‎ ‎（2）由已知得g′（x）=lnx+1﹣a，由g′（x）=0时，x=ea﹣1．由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数g（x）在[1，e]上的最小值．‎ 解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，‎ ‎∴f′（x）=lnx+1，x＞0，‎ 由f′（x）=0，得x=，‎ x∈（0，）时，f′（x）＜0；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）极小值=f（）==﹣．‎ ‎（2）∵f（x）=xlnx，‎ ‎∴g（x）=f（x）﹣a（x﹣1）=xlnx﹣a（x﹣1），‎ ‎∴g′（x）=lnx+1﹣a，‎ ‎∴g′（x）=0时，x=ea﹣1．‎ ‎∴①当ea﹣1＜1时，即a＜1时，‎ g（x）在[1，e]上单调递增，故在x=1处取得最小值为0；‎ ‎②当1≤≤e时，即0≤a≤1时，‎ g（x）在[1，e]内，当x=ea﹣1取最小值为：‎ ea﹣1（a﹣1）﹣aea﹣1+a=a﹣ea﹣1；‎ ‎③当ea﹣1＞e时，即a＞2时，‎ g（x）在[1，e]内单调递减，‎ 故在x=e处取得最小值为e﹣a（e﹣1）=（1﹣a）e+1．‎ 点评： 本题考查函数极值点的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ - 16 -‎ ‎19．（14分）各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p（p∈R）‎ ‎（1）求常数p的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记bn=，求数列{bn}的前n项和T．‎ 考点： 数列递推式；数列的求和． ‎ 专题： 计算题；压轴题．‎ 分析： （1）根据a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p，令n=1，解方程即可求得结果；‎ ‎（2）由2Sn=2an2+an﹣1，知2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），所以（an﹣an﹣1﹣1）（an+an﹣1）=0，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（3）根据求出数列{bn}的通项公式，利用错位相减法即可求得结果．‎ 解答： 解：（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p ‎∴‎2a1=2pa12+pa1﹣p，即2=2p+p﹣p，解得p=1；‎ ‎（2）2Sn=2an2+an﹣1，①‎ ‎2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），②‎ ‎①﹣②即得（an﹣an﹣1﹣）（an+an﹣1）=0，‎ 因为an+an﹣1≠0，所以an﹣an﹣1﹣=0，‎ ‎∴‎ ‎（3）2Sn=2an2+an﹣1=2×，‎ ‎∴Sn=，‎ ‎∴=n•2n Tn=1×21+2×22+…+n•2n③‎ 又2Tn=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n2n+1 ④‎ ‎④﹣③Tn=﹣1×21﹣（22+23+…+2n）+n2n+1=（n﹣1）2n+1+2‎ ‎∴Tn=（n﹣1）2n+1+2‎ 点评： 本题考查数列的性质和应用，数列前n项和与数列通项公式的关系，以及错位相减法求数列的前n项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．‎ ‎20．（14分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．‎ - 16 -‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；‎ ‎（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的标准方程． ‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．‎ ‎（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出 k1，k2，将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值．‎ ‎（III）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．‎ 解答： 解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x2+y2=b2，‎ ‎∵直线x﹣y+2=0与圆相切，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 又，‎ 即，‎ a2=b2+c2，‎ 解得，c=1，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），‎ ‎，，‎ 则，即，‎ 则，，‎ 即，‎ ‎∴k1•k2为定值．‎ ‎（Ⅲ）设M（x，y），其中．‎ - 16 -‎ 由已知及点P在椭圆C上可得，‎ 整理得（3λ2﹣1）x2+3λ2y2=6，其中．‎ ‎①当时，化简得y2=6，‎ 所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段；‎ ‎②当时，方程变形为，其中，‎ 当时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分；‎ 当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足的部分；‎ 当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆 点评： 求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．‎ - 16 -‎