广东省云浮市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

云浮市2014-2015高二数学第一学期期末试题（理科有解析） ‎ 一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。‎ ‎1．（5分）命题“若x＞2，则x2﹣3x+2＞‎0”‎的逆否命题是（）‎ ‎ A． 若x2﹣3x+2＜0，则x≥2 B． 若x≤2，则x2﹣3x+2≤0‎ ‎ C． 若x2﹣3x+2≤0，则x≥2 D． 若x2﹣3x+2≤0，则x≤2‎ ‎2．（5分）已知直线ax+y+2=0的倾斜角为，则a等于（）‎ ‎ A． 1 B． ﹣‎1 ‎C． D． ﹣2‎ ‎3．（5分）已知椭圆+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），则椭圆的短轴长为（）‎ ‎ A． 2 B． ‎4 ‎C． 6 D． 4‎ ‎4．（5分）已知向量，则与的夹角为（）‎ ‎ A． 0° B． 45° C． 90° D． 180°‎ ‎5．（5分）直线l过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心，且在y轴上的截距等于圆的半径，则直线l的方程为（）‎ ‎ A． 5x+y﹣3=0 B． 5x﹣y﹣3=‎0 ‎C． 4x+y﹣3=0 D． 3x+2y﹣6=0‎ ‎6．（5分）已知直线a，平面α，β，且a⊂α，则“a⊥β”是“α⊥β”的（）‎ ‎ A． 充要条件 B． 充分不必要条件 ‎ C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎7．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）‎ ‎ A． ‎90cm3 B． ‎95.5cm3 ‎C． ‎102cm3 D． ‎104cm3‎ ‎8．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P、Q两点，分别过P、Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1、Q1，若|PQ|=2，则四边形PP1Q1Q的面积是（）‎ ‎ A． B． ‎2 ‎C． 3 D． 1‎ - 15 -‎ 二、填空题:本大题共有6个小题，每小题5分，共30分 ‎9．（5分）命题“∃x∈Z，x2+2x+m≤‎0”‎的否定是．‎ ‎10．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为，则b=．‎ ‎11．（5分）已知球O的表面积是其半径的6π倍，则该球的体积为．‎ ‎12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与直线x+y﹣3=0以及x轴围成三角形面积为8，则p=．‎ ‎13．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x+m=0与圆（x﹣3）2+（y+2）2=4外切，点是圆C一动点，则点P到直线mx﹣4y+4=0的距离的最大值为．‎ ‎14．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．‎ 三、解答题：本大题共有6个小题，共80分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．‎ ‎15．（12分）已知直线l：x﹣2y﹣1=0，直线l1过点（﹣1，2）．‎ ‎（1）若l1⊥l，求直线l1与l的交点坐标；‎ ‎（2）若l1∥l，求直线l1的方程．‎ ‎16．（13分）设条件p：x2﹣6x+8≤0，条件q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎17．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B‎1C的中点 ‎（1）求证：DE∥平面ABC；‎ ‎（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．‎ - 15 -‎ ‎18．（14分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为 ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ ‎19．（14分）在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．‎ ‎（Ⅰ）证明DF⊥平面ABE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣E的余弦值．‎ ‎20．（14分）在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．‎ 广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。‎ - 15 -‎ ‎1．（5分）命题“若x＞2，则x2﹣3x+2＞‎0”‎的逆否命题是（）‎ ‎ A． 若x2﹣3x+2＜0，则x≥2 B． 若x≤2，则x2﹣3x+2≤0‎ ‎ C． 若x2﹣3x+2≤0，则x≥2 D． 若x2﹣3x+2≤0，则x≤2‎ 考点： 四种命题． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根据逆否命题的定义写出命题的逆否命题即可．‎ 解答： 解：命题“若x＞2，则x2﹣3x+2＞‎0”‎的逆否命题是：‎ 若x2﹣3x+2≤0，则x≤2，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题．‎ ‎2．（5分）已知直线ax+y+2=0的倾斜角为，则a等于（）‎ ‎ A． 1 B． ﹣‎1 ‎C． D． ﹣2‎ 考点： 直线的倾斜角． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出．‎ 解答： 解：∵直线ax+y+2=0的倾斜角为，‎ ‎∴﹣a=，‎ ‎∴a=1．‎ 点评： 本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．‎ ‎3．（5分）已知椭圆+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），则椭圆的短轴长为（）‎ ‎ A． 2 B． ‎4 ‎C． 6 D． 4‎ 考点： 椭圆的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 利用椭圆+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），可得8﹣b2=4，求出b，即可求出椭圆的短轴长．‎ 解答： 解：因为椭圆+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），‎ 所以8﹣b2=4，‎ 所以b=2，‎ 所以2b=4，‎ 故选：B．‎ - 15 -‎ 点评： 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎4．（5分）已知向量，则与的夹角为（）‎ ‎ A． 0° B． 45° C． 90° D． 180°‎ 考点： 数量积表示两个向量的夹角． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，0°≤θ≤180°可得θ=90°‎ 解答： 解：设则与的夹角为θ 由向量夹角的定义可得，‎ ‎∵0°≤θ≤180°‎ ‎∴θ=90°‎ 故选C 点评： 解决本题的关键需掌握：向量数量积的坐标表示，还要知道向量的夹角的范围，只有数列掌握基础知识，才能在解题时灵活应用．‎ ‎5．（5分）直线l过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心，且在y轴上的截距等于圆的半径，则直线l的方程为（）‎ ‎ A． 5x+y﹣3=0 B． 5x﹣y﹣3=‎0 ‎C． 4x+y﹣3=0 D． 3x+2y﹣6=0‎ 考点： 直线与圆的位置关系． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 首先将圆的方程化为标准方程，明确圆心即半径，利用两点式求出直线方程．‎ 解答： 解：由已知得圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，‎ 所以圆心为（1，﹣2），半径为3，‎ 由两点式导弹直线方程为：，‎ 化简得5x+y﹣3=0．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了直线与圆的位置关系以及两点式求直线方程，属于基础题目．‎ ‎6．（5分）已知直线a，平面α，β，且a⊂α，则“a⊥β”是“α⊥β”的（）‎ ‎ A． 充要条件 B． 充分不必要条件 ‎ C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑．‎ - 15 -‎ 分析： 根据线面垂直和面面垂直之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 解答： 解：由面面垂直的判定定理得，若a⊥β，∵a⊂α，∴α⊥β成立，‎ 反之，若α⊥β，则a与β位置关系不确定，‎ 故“a⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面垂直和面面垂直之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎7．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）‎ ‎ A． ‎90cm3 B． ‎95.5cm3 ‎C． ‎102cm3 D． ‎104cm3‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，5直角三角形，高为5．利用长方体与三棱锥的体积计算公式就可得出．‎ 解答： 解：由题意，原几何体是一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，5直角三角形，高为5．‎ 因此该几何体的体积=3×6×6﹣‎ ‎=108﹣12.5=95.5．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了三视图、长方体与三棱锥的体积计算公式，属于基础题．‎ ‎8．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P、Q两点，分别过P、Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1、Q1，若|PQ|=2，则四边形PP1Q1Q的面积是（）‎ ‎ A． B． ‎2 ‎C． 3 D． 1‎ 考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质． ‎ 专题： 数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 分析：这是一个抛物线的焦点弦问题，所以要尽可能的利用抛物线的定义、性质结合图象将问题合理转化后求解．‎ 解答： 解：如图所示：由已知得|PP1|+|QQ1|=|PQ|=2，‎ 所以直角梯形PP1QQ1 的面积S==|P1Q1|，‎ 又因为∠QPP1=30°，所以在直角梯形PP1QQ1中，|P1Q1|=|PQ|sin∠QPP1=2sin30°=1．‎ 所求四边形PP1Q1Q的面积为1．‎ - 15 -‎ 故选D 点评： 抛物线的焦点弦问题常从定义出发，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转换，将所求的问题转化为我们所熟知的问题解决；同时要强化解析几何问题做题先画图的思想意识，充分利用数形结合的思想解题．‎ 另外，本题也可以借助于方程的思想求解，即先利用直线与抛物线方程联立消元，利用韦达定理、弦长公式求出p的值，再将所求的面积用P、Q的坐标表示，最后利用韦达定理采用“设而不求”的方法将面积表示并求出来．‎ 二、填空题:本大题共有6个小题，每小题5分，共30分 ‎9．（5分）命题“∃x∈Z，x2+2x+m≤‎0”‎的否定是“∀x∈Z，x2+2x+m＞0．‎ 考点： 命题的否定． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ 解答： 解：命题为特称命题，‎ 则命题“∃x∈Z，x2+2x+m≤‎0”‎的否定是：“∀x∈Z，x2+2x+m＞‎‎0”‎ 故答案为：∀x∈Z，x2+2x+m＞0‎ 点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎10．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为，则b=3．‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率，可得a=1，c=，求出b，即可求出b的值．‎ 解答： 解：∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为，‎ ‎∴a=1，c=，‎ - 15 -‎ ‎∴b==3，‎ 故答案为：3‎ 点评： 本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎11．（5分）已知球O的表面积是其半径的6π倍，则该球的体积为π．‎ 考点： 球的体积和表面积． ‎ 专题： 计算题；球．‎ 分析： 设球O的半径为r，由球的表面积公式，解方程求得r，再由球的体积公式，计算即可得到．‎ 解答： 解：设球O的半径为r，‎ 则4πr2=6πr，‎ 解得r=，‎ 则球的体积为V=πr3=π×‎ ‎=π．‎ 故答案为：π．‎ 点评： 本题考查球的表面积和体积的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与直线x+y﹣3=0以及x轴围成三角形面积为8，则p=2．‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由抛物线方程得到其准线方程，求出直线和准线的交点，直线在x轴上的截距，代入三角形面积公式求得p．‎ 解答： 解：抛物线的准线方程为 x=﹣，‎ 联立，解得y=3+，‎ 在直线x+y﹣3=0中取y=0，得x=3，‎ ‎∴抛物线y2=2px（p＞0）的准线与直线x+y﹣3=0以及x轴围成三角形面积S=，‎ 解得：p=2．‎ 故答案为：2．‎ 点评： 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了三角形面积公式的应用，是基础题．‎ - 15 -‎ ‎13．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x+m=0与圆（x﹣3）2+（y+2）2=4外切，点是圆C一动点，则点P到直线mx﹣4y+4=0的距离的最大值为3．‎ 考点： 圆与圆的位置关系及其判定． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 根据两圆外切求出m的值，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．‎ 解答： 解：圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4﹣m，‎ ‎∵两圆相外切，‎ ‎∴，解得m=3，‎ ‎∵圆心C（2，0）到3x﹣4y+4=0的距离d=0，‎ ‎∴点P到直线3x﹣4y+4=0的距离的最大值为2+1=3，‎ 故答案为：3‎ 点评： 本题主要考查点到直线距离的求解，根据圆与圆的位置关系求出m是解决本题的关键．‎ ‎14．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．‎ 考点： 异面直线及其所成的角． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．‎ 解答： 解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B‎1F，则∠EB‎1F为直线AM与CN所成角 设边长为1，则B1E=B‎1F=，EF=‎ ‎∴cos∠EB‎1F=，‎ 故答案为 - 15 -‎ 点评： 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ 三、解答题：本大题共有6个小题，共80分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．‎ ‎15．（12分）已知直线l：x﹣2y﹣1=0，直线l1过点（﹣1，2）．‎ ‎（1）若l1⊥l，求直线l1与l的交点坐标；‎ ‎（2）若l1∥l，求直线l1的方程．‎ 考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： （1）由l1⊥l，可设直线l1的方程为2x+y+m=0，把点（﹣1，2）代入可得﹣2+2+m=0，解得m，联立直线方程即可得出交点．‎ ‎（2）由l1∥l，直线l1的方程为x﹣2y+n=0，把点（﹣1，2）代入即可得出．‎ 解答： 解：（1）∵l1⊥l，∴可设直线l1的方程为2x+y+m=0，把点（﹣1，2）代入可得﹣2+2+m=0，解得m=0．∴直线l1的方程为2x+y=0．‎ 联立，解得，∴交点为．‎ ‎（2）∵l1∥l，∴直线l1的方程为x﹣2y+n=0，‎ 把点（﹣1，2）代入可得﹣1﹣4+n=0，解得n=5．‎ ‎∴直线l1的方程为x﹣2y+5=0．‎ 点评： 本题考查了相互垂直、平行的直线斜率之间的关系、直线的交点，属于基础题．‎ ‎16．（13分）设条件p：x2﹣6x+8≤0，条件q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 分别求出关于p，q的x的范围，根据p是q的必要不充分条件，得到不等式，解出即可．‎ - 15 -‎ 解答： 解：设集合A={x|x2﹣6x+8≤0}，B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}，‎ 则A={x|2≤x≤4}，B={x|a≤x≤a+1}，‎ ‎∵p是q的必要不充分条件，∴B⊊A，‎ ‎∴，解得：2＜a＜3，‎ 又当a=2或a=3时，B⊊A，‎ ‎∴a∈．‎ 点评： 本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．‎ ‎17．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B‎1C的中点 ‎（1）求证：DE∥平面ABC；‎ ‎（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．‎ 考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ 专题： 计算题；证明题．‎ 分析： （1）取BC中点G，连接AG，EG，通过证明四边形EGAD是平行四边形，推出ED∥AG，然后证明DE∥平面ABC．‎ ‎（2）证明AD∥平面BCE，利用VE﹣BCD=VD﹣BCE=VA﹣BCE=VE﹣ABC，然后求解几何体的体积．‎ 解答： 解：（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，‎ 因为E是B‎1C的中点，所以EG∥BB1，‎ 且．‎ 由直棱柱知，AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，‎ 所以EG∥AD，EG=AD（4分）‎ 所以四边形EGAD是平行四边形，‎ 所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC 所以DE∥平面ABC． （7分）‎ ‎（2）解：因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，‎ 所以VE﹣BCD=VD﹣BCE=VA﹣BCE=VE﹣ABC，（10分）‎ 由（1）知，DE∥平面ABC，‎ 所以．（14分）‎ - 15 -‎ 点评： 本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．‎ ‎18．（14分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为 ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ 考点： 圆的标准方程；圆的切线方程． ‎ 分析： （Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称，得到圆心在直线上代入得到①，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②，①②联立求出D和E，即可写出圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设l：x+y=a，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（﹣，﹣）‎ ‎∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称 ‎∴点（﹣，﹣）在直线x+y﹣1=0上 即D+E=﹣2，①且=2②‎ 又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0‎ 由①②解得D=2，E=﹣4‎ ‎∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0‎ ‎（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a ‎∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2‎ ‎∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于半径，‎ 即||=，∴a=﹣1或a=3‎ 所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3‎ 点评： 考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力，理解直线与圆相切即为圆心到直线的距离等于半径．‎ - 15 -‎ ‎19．（14分）在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．‎ ‎（Ⅰ）证明DF⊥平面ABE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣E的余弦值．‎ 考点： 平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定． ‎ 分析： （1）将DF平移到CG的位置，欲证DF⊥平面ABE，即证CG⊥平面ABE，根据线面垂直的判定定理可知，只需证CG与平面ABE内的两相交直线垂直即可；‎ ‎（2）过点A作AM⊥BE于M，过点M作MN⊥BD于N，连接AN，∠ANM是二面角A﹣BD﹣E的平面角，在Rt△AMN中利用余弦定理求出此角．‎ 解答： 解：（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG、FG．‎ 因为CD∥AE，GF∥AE，所以CD∥GF．‎ 又因为CD=1，，所以CD=GF．‎ 所以四边形CDFG是平行四边形，DF∥CG．（2分）‎ 在等腰Rt△ACB中，G是AB的中点，所以CG⊥AB．‎ 因为EA⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，所以EA⊥CG．‎ 而AB∩EA=A，所以CG⊥平面ABE．‎ 又因为DF∥CG，所以DF⊥平面ABE．（6分）‎ ‎（Ⅱ）因为DF⊥平面ABE，DF⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABE．‎ 过点A作AM⊥BE于M，则AM⊥平面BDE，所以AM⊥BD．‎ 过点M作MN⊥BD于N，连接AN，则BD⊥平面AMN，所以BD⊥AN．‎ 所以∠ANM是二面角A﹣BD﹣E的平面角．（10分）‎ 在Rt△ABE中，．‎ 因为，所以△ABD是等边三角形．又AN⊥BD，所以，NM=．‎ 在Rt△AMN中，．‎ 所以二面角A﹣BD﹣E的余弦值是．（12分）‎ - 15 -‎ 点评： 本题主要考查线面关系及面面关系的基础知识，同时考查空间想象能力和逻辑推理能力．‎ ‎20．（14分）在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．‎ 考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．由此可知动点P的轨迹C的方程．‎ ‎（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为，由方程组消去x，并整理得4（‎3m2‎+4）y2+12my﹣45=0，由此入手可推导出直线MA的斜率k的取值范围．‎ 解答： 解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），‎ 依题意，有 ‎．（3分）‎ 化简并整理，得．‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程是．（4分）‎ ‎（Ⅱ）依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为 ‎，（5分）‎ - 15 -‎ 由方程组消去x，并整理得 ‎4（‎3m2‎+4）y2+12my﹣45=0（6分）‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则 ‎∴，（7分）‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，（9分）‎ ‎①当m=0时，k=0；（10分）‎ ‎②当m≠0时，‎ ‎∵，∴0．‎ ‎∴．∴且k≠0．（11分）‎ 综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣．（12分）‎ 点评： 本题考查轨迹方程的求法和直线方程的知识，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．‎ - 15 -‎